新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题27 复数的概念与运算(原卷版)

专题27复数的概念与运算【考纲要求】一、复数的概念【思维导图】【考点总结】1．数系的扩充与复数的相关概念(1)复数的引入

为了解决SKIPIF1<0+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：

①SKIPIF1<0=-1，即i是方程SKIPIF1<0+1=0的根；

②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.

在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.(2)复数的概念

我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.这样，方程SKIPIF1<0+1=0在复数集C中就有解x=i了.(3)复数的表示复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.(4)复数的分类对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集，即RSKIPIF1<0C.

复数z=a+bi可以分类如下：

复数SKIPIF1<0，

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.2．复数相等在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.3．复数的几何意义(1)复平面

根据复数相等的定义，可得复数z=a+biSKIPIF1<0有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)SKIPIF1<0平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.

如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.(2)复数的几何意义——与点对应

由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+biSKIPIF1<0复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.(3)复数的几何意义——与向量对应

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量SKIPIF1<0由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量SKIPIF1<0唯一确定.

因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+biSKIPIF1<0平面向量SKIPIF1<0，这是复数的另一种几何意义.4．复数的模向量SKIPIF1<0的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=SKIPIF1<0(rSKIPIF1<00,r∈R).5．共轭复数(1)定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用SKIPIF1<0表示，即若z=a+bi，则SKIPIF1<0=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.(2)几何意义互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.(3)性质①SKIPIF1<0=z.

②实数的共轭复数是它本身，即z=SKIPIF1<0SKIPIF1<0z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.6．复数的模的几何意义(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义.(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部.二、复数的四则运算1．复数的加法运算及其几何意义(1)复数的加法法则

设SKIPIF1<0=a+bi，SKIPIF1<0=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)复数的加法满足的运算律

对任意SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∈C，有

①交换律：SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0；

②结合律：(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0).(3)复数加法的几何意义在复平面内，设SKIPIF1<0=a+bi，SKIPIF1<0=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=(a,b)，SKIPIF1<0=(c,d).以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对应的线段为邻边作平行四边形SKIPIF1<0(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.2．复数的减法运算及其几何意义(1)复数的减法法则类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).

根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.(2)复数减法的几何意义两个复数SKIPIF1<0=a+bi，SKIPIF1<0=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么这两个复数的差SKIPIF1<0-SKIPIF1<0对应的向量是SKIPIF1<0-SKIPIF1<0，即向量SKIPIF1<0.如果作SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，那么点Z对应的复数就是SKIPIF1<0-SKIPIF1<0(如图所示).

这说明两个向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的差SKIPIF1<0就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.3．复数的乘法运算(1)复数的乘法法则

设SKIPIF1<0=a+bi，SKIPIF1<0=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+SKIPIF1<0=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把SKIPIF1<0换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.(2)复数乘法的运算律对于任意SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∈C，有

①交换律：SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0；

②结合律：(SKIPIF1<0SKIPIF1<0)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(SKIPIF1<0SKIPIF1<0)；

③分配律：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0.

在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0和正整数m,n，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.4．复数的除法(1)定义

我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或SKIPIF1<0(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(1)复数的除法法则(a+bi)÷(c+di)=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.【题型汇编】题型一：复数的概念题型二：复数的四则运算【题型讲解】题型一：复数的概念一、单选题1．（2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为虚数单位）是纯虚数，则SKIPIF1<0（

）A．-1 B．0 C．1 D．22．（2023·全国·高三专题练习）设复数z满足条件SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最大值是（）A．3 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．43．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0为纯虚数，则实数m的值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．1或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或04．（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0，则在复平面内SKIPIF1<0对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为虚数单位，则复数SKIPIF1<0在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．（2022·北京实验学校平谷校区高三阶段练习）在复平面内，复数SKIPIF1<0对应的点的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题7．（2023·全国·高三专题练习）已知复数SKIPIF1<0对应的向量为SKIPIF1<0，复数SKIPIF1<0对应的向量为SKIPIF1<0，则（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在复平面上对应的点关于实轴对称，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<08．（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如SKIPIF1<0，也即复数SKIPIF1<0的模的几何意义为SKIPIF1<0对应的点SKIPIF1<0到原点的距离.下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．复数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分别对应向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0对应的复数为9+iC．若点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0对应的点在第三象限D．若复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则复数SKIPIF1<0对应的点所构成的图形面积为SKIPIF1<09．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知复数SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三、解答题10．（2022·全国·高三专题练习）已知复数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0R，问m为何值时SKIPIF1<0．11．（2022·全国·高三专题练习）已知复数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)复数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对应的向量分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为坐标原点，当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值.12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的方程SKIPIF1<0有实数根.(1)求实数a的值；(2)设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.13．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求z；（2）已知复数SKIPIF1<0为纯虚数，求实数m的值.14．（2023·全国·高三专题练习）已知复数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求m的值；(2)若z是纯虚数，求SKIPIF1<0的值．题型二：复数的四则运算一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0，若复数SKIPIF1<0在复平面内对应的点位于实轴上，则SKIPIF1<0（）A．0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<02．（2023·全国·高三专题练习）已知i是虚数单位，则复数SKIPIF1<0在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．（2023·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若复数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若复数SKIPIF1<0为纯虚数，则SKIPIF1<0D．若复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则复数SKIPIF1<0的虚部为SKIPIF1<04．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<05．（2023·全国·模拟预测）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2023·山西大同·高三阶段练习）若复数z满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是虚数单位，则SKIPIF1<0（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2023·湖北·高三阶段练习）若复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的虚部为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·湖北孝感·高三阶段练习）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2022·湖南·高三阶段练习）若复数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是虚数单位）是纯虚数，则SKIPIF1<0等于（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．810．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的虚部为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．（2022·广东·盐田高中高三阶段练习）若复数SKIPIF1<0（i为虚数单位，a，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）为纯虚数，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2023·福建漳州·三模）若复数z满足SKIPIF1<0，则z=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题13．（2023·全国·高三专题练习）已知复数SKIPIF1<0满足方程SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0可能为纯虚数 B．该方程共有两个虚根C．SKIPIF1<0可能为SKIPIF1<0 D．该方程的各根之和为214．（2023·全国·高三专题练习）已知不相等的复数SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0是实数，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不一定相等B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIP