2024-2025学年新教材高中数学第七章复数测评习题含解析新人教A版必修第二册

第七章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2024北京高考)已知复数z=2+i,则z=()A.2 B.4 C.3 D.5解析∵z=2+i,∴=2-i.∴z=(2+i)(2-i)=5.故选D.答案D2.若复数z满意z(2+3i)=i,则在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限解析z=,∴i,对应的点为,位于第四象限.答案D3.(2024全国Ⅰ高考)设z=,则|z|=()A.2 B. C. D.1解析∵z=,∴z=i,∴|z|=.故选C.答案C4.若复数z的实部为1,且|z|=2,则复数z的虚部是()A.- B.± C.±i D.i解析依题意设z=1+bi(b∈R),则=2,解得b=±,即复数z的虚部是±.答案B5.若复数z的共轭复数是,且z+=6,z=10,则z=()A.1±3i B.3±i C.3+i D.3-i解析设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,所以解得即z=3±i.答案B6.已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=cos37°+isin37°,则z1z2为()A.i B.iC.i D.i解析z1z2=cos(23°+37°)+isin(23°+37°)=cos60°+isin60°=i.答案A7.已知z是复数,且p:z=i;q:z+∈R.则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析明显,当z=i时,z+i+i+=1∈R,但当z+∈R时,若令z=a+bi(a,b∈R),则a+bi+=a++b-i,所以有b=0或a2+b2=1,不肯定有z=i.故p是q的充分不必要条件,选A.答案A8.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是()A.3+4i B.4+3iC.+3i D.3+i解析设z=x+yi(x,y∈R),则有+2x+2yi=13+6i,于是解得因为13-2x≥0,故x≤,所以x=不符合要求,故z=4+3i.答案B二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.在复平面内,复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称,则()A.复数z=1+iB.||=C.复数z对应的点位于第一象限D.复数的实部是-1解析复数=-1-i对应的点的坐标为(-1,-1).∵复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称,∴复数z对应的点的坐标为(-1,1),∴复数z=-1+i.故A,C均错.=-1-i,||=的实部是-1,B,D正确.答案BD10.(2024广东六校联考)已知复数z=a+bi(a,b∈R),且a+b=1,下列说法正确的是()A.z不行能为纯虚数B.若z的共轭复数为,且z=,则z是实数C.若z=|z|,则z是实数D.|z|可以等于解析当a=0时,b=1,此时z=i为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为,且z=,则a+bi=a-bi,所以b=0,B正确;由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,C正确;由|z|=得a2+b2=,又a+b=1,所以8a2-8a+3=0,Δ=64-4×8×3=-32<0,无实数解,即|z|不行以等于,D错误.答案BC11.实数x,y满意(1+i)x+(1-i)y=2,设z=x+yi,则下列说法正确的是()A.z在复平面内对应的点在第一象限B.|z|=C.z的虚部是iD.z的实部是1解析实数x,y满意(1+i)x+(1-i)y=2,可化为x+y-2+(x-y)i=0,∴解得x=y=1,∴z=x+yi=1+i.对于A,z在复平面内对应的点的坐标为(1,1),位于第一象限,故A正确.对于B,|z|=,故B正确.对于C,z的虚部是1,故C错误.对于D,z的实部是1,故D正确.答案ABD12.设f(θ)=cosθ+isinθ(i为虚数单位),则f2(θ)=cos2θ+isin2θ,f3(θ)=cos3θ+isin3θ,…,若f10(θ)为实数,则θ的值可能等于()A. B. C. D.解析f10(θ)=cos10θ+isin10θ,要使f10(θ)为实数,则sin10θ=0,10θ=kπ(k∈Z),故θ=(k∈Z),当k=1时,θ=,当k=2时,θ=.答案AC三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2024湖北武汉检测)若=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b=.

解析因为=1+i=a+bi,所以a=b=1.故a+b=2.答案214.6=.

解析原式=cos+isin=3i.答案i15.假如复数z满意|z+i|+|z-i|=2,那么|z+1+i|的最小值是,最大值是.

解析由于|z+i|+|z-i|=2,则点Z在以(0,1)和(0,-1)为端点的线段上,|z+1+i|表示点Z到点(-1,-1)的距离.由图知最小值为1,最大值为.答案116.设复数z=(a2-1)+(a2-3a+2)i,若z2<0,则实数a的值为.

解析由z2<0知z肯定为纯虚数,所以得解得a=-1.答案-1四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知复数z满意|z|=1+3i-z,求的值.解设z=a+bi(a,b∈R),∵|z|=1+3i-z,∴-1-3i+a+bi=0,即解得∴z=-4+3i,∴=3+4i.18.(12分)当实数m为何值或何取值范围时,复数z=+(m2-2m)i为(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?解(1)若z为实数,可得解得m=2.∴当m=2时,z为实数.(2)z为虚数,则虚部m2-2m≠0,且m≠0,解得m≠2,且m≠0.∴当m的取值范围为(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)时,z为虚数.(3)z为纯虚数,则解得m=-3.∴当m=-3时,z为纯虚数.19.(12分)已知z为复数,z+2i和均为实数,其中i是虚数单位.(1)求复数z和|z|;(2)若z1=i对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.解(1)设z=a+bi(a,b∈R),则b+2=0,解得b=-2.因为i为实数,所以=0,解得a=4.所以z=4-2i,|z|=2.(2)z1=4++2-i对应的点在第四象限,则解得-2<m<,或1<m<.故实数m的取值范围为.20.(12分)设△ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+bi,z2=cosA+icosB,若复数z1z2为纯虚数,试推断△ABC的形态,并说明理由.解△ABC为等腰三角形或直角三角形.理由如下:因为z1=a+bi,z2=cosA+icosB,所以z1z2=(acosA-bcosB)+i(acosB+bcosA).又因为z1z2为纯虚数,所以①由①及正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.因为A,B为△ABC的内角,所以0<2A<2π,0<2B<2π,且2A+2B<2π.所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=.即A=B或C=.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.21.(12分)已知复数z1=m+ni,z2=2-2i和z=x+yi,设z=i-z2,m,n,x,y∈R.若复数z1所对应的点M(m,n)在曲线y=(x+2)2+上运动,求复数z所对应的点P(x,y)的轨迹C的方程.解∵z1=m+ni,z2=2-2i,∴z=i-z2=(m-ni)i-(2-2i)=(n-2)+(m+2)i.∴x+yi=(n-2)+(m+2)i.∴x=n-2,y=m+2,即n=x+2,m=y-2.又点M(m,n)在曲线y=(x+2)2+上运动,∴x+2=[(y-2)+2]2+,整理上式,得点P(x,y)的轨迹C的方程为y2=2.22.(12分)已知z1,z2是复数,定义复数的一种运算“”为:z1z2=是否存在复数z,使得(1+2i)z为纯虚数,而z(1+2i)是实数?若存在,求出复数z;若不存在,说明理由.解存在.假设存在复数z,使得(1+2i)z为纯虚数,而z(1+2i)是实数,设z=x+yi(x,y∈R).由于|1+2i|=,所以(1)当|z|<时,依据题意,(1+2i)z=(1+2i)z=(1+2i)(x+yi)=(x-2y)+(y+2x)i是纯虚数,所以①又z(1+2i)=z+(1+2i)=(x+yi)+(1+2i)=(x+1)+(y+2)i是实数,所以y+2=0,②由①②得所以z=-4-2i,但这时|z|=2与|z|<冲突