专题02 数列（考点串讲+7热考题型）（高教版2021·拓展模块下册）（解析版）

专题02数列考点串讲考点串讲考点一、数列的概念（1）数列及其有关概念一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．（2）数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列（3）函数与数列的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．（4）数列的单调性递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列（5）通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．（6）数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．（7）数列的前n项和Sn与an的关系把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))考点二、等差数列（1）等差数列的定义及通项公式定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示，即（，，为常数）或（，为常数）.等差中项：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即．等差数列通项公式：等差数列的判定方法：(定义法)；(中项法)；(通项法,一次函数)；(和式法,其图象是过原点的抛物线上的散点).（2）等差数列前n项和，（3）等差数列常用的性质设为等差数列,公差为,则：若,则.特别地,若,则；下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为；若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列；连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为．考点三、等比数列（1）等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：．（2）等比中项如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中．（3）等比数列的通项公式首相为，公比为的等比数列的通项公式为：（4）等比数列的前项和公式（5）等比数列的性质设等比数列的公比为：若，且，则，特别地，当时，；下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为；若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列；连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列．热考题型热考题型类型一、数列的概念【例1】下列叙述正确的是A．与是相同的数列 B．是常数列C．数列的通项 D．数列是递增数列【答案】D【解析】数列与各项顺序不同，不是相同的数列，故错误；数列是摆动数列，故错误；数列，通项，故错误；单调递增，则数列是递增数列，故正确.故选：.【例2】已知数列中，，，则的值为（

）A．5 B．6C．7 D．8【答案】D【解析】因为，，所以，，.故选：D.【例3】数列、、、的下一项应该是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】观察数列、、、的项之间的规律，可得根号下的数依次增加4，故数列、、、的下一项应该是.故选：C.【变式1】下列说法错误的是A．数列4，7，3，4的首项是4B．数列{an}中，若a1=3，则从第2项起，各项均不等于3C．数列1，2，3，…就是数列{n}D．数列中的项不能是代数式【答案】B【解析】根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．故选：B．【变式2】已知数列，，，，则数列的第五项为（

）A．9 B．15 C．24 D．39【答案】C【解析】因，，，则，.故选：C.【变式3】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由符号来看，奇数项为正，偶数项为负，所以符号满足，由数值1，3，5，7，9…显然满足奇数，所以满足2n-1,所以通项公式为.故选：C.类型二、已知Sn求an【例1】数列的前项和，则.【答案】【解析】当时，，当时，，当时上式也符合，所以.故答案为：.【变式1】已知数列的前n项和，则的值为（）A．15 B．37 C．27 D．64【答案】B【解析】由题意得，.故选：B．【变式2】若数列的前项和为，则数列的通项公式．【答案】【解析】当时，，当时，，，也满足上式，∴.故答案为：6n－5．类型三、等差数列的通项公式【例1】在等差数列中，，公差，，则等于（

）A．92 B．47 C．46 D．45【答案】C【解析】因为，即，所以.故选：C.【变式1】已知等差数列满足：，则（

）A． B．10 C．15 D．20【答案】C【解析】由题知，等差数列满足：，设等差数列的公差为，所则，解得，所以，故选：C.【变式2】已知数列满足，其中，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】由，得，所以是等差数列，.故选：C.类型四、等差数列的前n项和【例1】在等差数列中，，则数列的前19项之和为（

）A．98 B．95 C．93 D．90【答案】B【解析】设等差数列的前n项和为，由题意可得：，可得，所以.故选：B.【变式1】在等差数列中，已知，则（

）A．230 B．420C．450 D．540【答案】B【解析】.故选：B.【变式2】已知等差数列中，，则（

）A．24 B．36 C．48 D．96【答案】C【解析】等差数列中，，则.故选：C.类型五、等比数列的通项公式【例1】已知是等比数列，且，则（）A．16 B．32 C．24 D．64【答案】A【解析】，得，.故选：A.【变式1】在等比数列中，，则首项.【答案】/0.25【解析】设等比数列的公比为，则，则，则，所以.故答案为：.【变式2】在等比数列中，，，则=（

）A． B．1 C．1或 D．【答案】B【解析】设公比为则由，得，故.故选：B.类型六、等比数列的前n项和【例1】已知数列是公比为正数的等比数列，是其前项和，，，则（

）A．31 B．63 C．127 D．255【答案】C【解析】由题意，设数列的公比为，则，所以.故选：C.【变式1】已知在等比数列中，，，前n项和，则（

）．A．9 B．8 C．7 D．6【答案】D【解析】因为，，所以，所以.故选：D.【变式2】已知等比数列的前n项和为，若，则（

）A．32 B．28 C．48 D．60【答案】D【解析】由可知公比，所以，因此.故选：D.类型七、等差、等比的综合【例1】若3与13的等差中项是4与的等比中项，则（

）A．12 B．16 C．8 D．20【答案】B【解析】3与13的等差中项为8，所以8是4与的等比中项，所以，解得：.故选：B.【例2】已知等差数列的公差为，若成等比数列，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设等差数列的首项为，则，因为成等比数列，所以，解得.故选：B.【变式1】数1与4的等差