数学-广东省三校（诺德安达学校、金石实验中学、英广实验学校）2025届上学期第一次联合模拟考试（一模）试题和答案

绝密★启用前2024-2025学年度上学期广东省三校“决胜高考，梦圆乙巳”第一次联合模拟考试参加学校：诺德安达学校、金石实验中学、英广实验学校学校:姓名：班级：考号：注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，请2B用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一个圆台的上、下底面的半径分别为和4，高为4，则它的表面积为()A.41nB.42nC.D.(18+7V3)m2.7.某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本·已知在高一年级中抽取了60名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为()A.66B.54C.40D.363.已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，B(0,b)满足，则椭圆的离心率等于()A.B.C.D.4.由数字，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有()A.60个B.48个C.36个D.24个5.已知f(ac)是定义在R上的奇函数，且f(ac)在(0,+oo)上单调递增，f(2)=0，则(ac-1)·f(ac)<0的解集为()A.(-2,2)B.(1,2)C.(-2,0)U(1,2)D.(-2,+O)6.19世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，以他的名字命名的卢卡斯数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=an+an+1，若其前n项和为sn，则S1=()A.A12B.a12-1C.a12-2D.a12-37.已知向量w=(1,t)，了=(-3,1)，且(2d+F)1F，则向量W与的夹角等于()A.B.C.D.8.设函数f(r)=ai8-2+2ar，则()A.函数f(ac)无极值点B.=1为f(ac)的极小值点C.r=2为f(ar)的极大值点D.r=2为f(ac)的极小值点二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.午饭时间；B同学从教室到食堂的路程S与时间t的函数关系如图，记t时刻的瞬时速度为V(t)，区间(0,t],[0,ta),[t1,ta]上的平均速度分别为，则下列判断正确的有()A.B.C.对于v(i=1,2,3)，存在m;E(0,t2)，使得V(mz)=D.整个过程小明行走的速度一直在加快10.对于函数，下列说法正确的是()A.f(ac)在(0,e)上单调递减，在(e,+oo)上单调递增B.当0<a1<aa<1时，a1·lInar2>2·lna1C.若函数y=f(Iacl)-k(keR)有两个零点，则k=eD.设g(r)=a"+a(aeR)，若对，3urze(1,+)，使得g(ac1)=f(r2)成立，则a>e11.已知o为坐标原点，焦点为F的抛物线C:a2=2py(p>0)过点M(2,1)，过M且与垂直的直线l与抛第2页，共11页物线C的另一交点为N，则()A.p=2B.IMFl=3C.MNI=12V5D.直线l与抛物线C的准线相交于点(3,-1)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若函数f(ar)=ace"-(m-1)e2存在唯一极值点，则实数m的取值范围是.13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P、Q分别在A1B1、C1D1上，且A1P=2PB1，CQ=2QD1，则异面直线BP与DQ所成角的余弦值为.14.已知等差数列的公差，且成等比数列，则的值为.四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB上BC，PA=PB=PC=AC=4，o为AC中点.(1)证明：pol平面ABG；若点在棱BC上，，且AB=BC，求二面角M-PA-C的大小.16.(本小题12分)已知实数a,b满足a+b≥3.17.(本小题12分)16.如图，在三棱锥P-ABC中，PA上底面ABG，AC上BG，H为PC的中点，M为AH中点，PA=AC=2，.Ⅰ求证：AH上平面PBG；Ⅱ求PM与平面AHB成角的正弦值；Ⅲ在线段PB上是否存在点N，使得MN//平面ABG，若存在，请说明点N的位置，若不存在，请说明理由.18.(本小题12分)已知无穷数列{an}(an0,neN")，构造新数列满足a')=anx1-an，满足满足a,")=anxIt-"-a,t-y(k>2,keN")，若为常数数列，则称{an}为k阶等差数列;同理令,,,,若为常数数列，则称{an}为k阶等比数列.(1)已知{an}为二阶等差数列，且a1=1，ag=4求{an}的通项公式;(2)若{an}为阶等差数列，{b}为一阶等比数列，证明：{b"}为阶等比数列;(3)已知，令{d}的前项和为证明：T<2.19.(本小题12分)如果三个互不相同的函数y=f(ac)，y=g(ac)，y=h(ar)在区间D上恒有f(ar)≤h(ac)≤g(r)或g(ar)≤h(ac)≤f(ar)，则称y=h(r)为y=f(ar)与y=g(a:)在区间D上的“分割函数”.(1)证明：函数fi(ar)=ac为函数y=ln(a+1)与y=e"-1在(-1,+oo)上的分割函数；(2)若函数y=aac2+ba+c(a*0)为函数y=2a2+2与y=4在(-o,+0o)上的“分割函数”，求实数a的取值范(3)若[m,n]三[-2,2，且存在实数k，d，使得函数y=ka十d为函数y=i4-42与y=42-16在区间[m,nl第3页，共11页上的“分割函数”，求n-m的最大值.第4页，共11页1.【答案】B【解析】解：依题意结合圆台的上、下底面的半径分别为和4，圆台的高为h=4，所以圆台的母线长为，故选：B.根据题意，结合圆台的侧面积公式，即可求解.本题考查圆台的表面积的计算，属于基础题.2.【答案】B【解析】【分析】先算出总人数中高二与高一学生人数之比，再由抽取的样本中高二与高一学生人数之比不变求出高二应抽取人数.【详解】解：在总人数中高二与高一学生人数之比为360：400=9:10所以在抽取的样本中高二与高一学生人数之比仍为360：400=9:10因为高一抽取了60人，所以高二应抽取54人故选：B.【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.3.【答案】B【解析】解解：.·.FB上AB,即,整理得2ac-2b2=0即,即,即e2+e-,即e2+e-1=0求得:e-故选B首先根据.形=0推断出FB上AB，进而根据勾股定理可知FB2+IAB2=(a+e)2，把进而整理关于a和C的方程求得即离心率巳的值.本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生熟练掌握椭圆的标准方程中，b和C的关系以及椭圆的图象.4.【答案】B【解析】试题分析：先排末位有2种不同的方法，然后再排前面4个位置有种不同的方法，由数字，2，3，4，5组成没有重复数字的五位偶数有，故选B考点：本题考查了排列的运用点评：对于有特殊元素的排列问题优先安排，然后再排其余元素，属基础题【解析】【分析】本题考查了函数的单调性与奇偶性，是中档题.利用函数的单调性与奇偶性做出函数图象，然后按ac-1的符号进行分类讨论.【解答】解：由题意画出f(ac)的大致图象如图所示，或由(a-1)f(ar)<0，可得或结合y=f(ar)的图象得-2<ar<0或1<<2.故选C.【解析】【分析】本题考查裂项相消法求和，属于基础题.根据递推公式累加即可.【解答】解：因为An+2=An十An1,所以An=An+2一An+1,S1o=a1+a2+··+a10=(a3-a2)+(ay-a3)+···+(a12-a11)=a12-a2,即s10=a12-3.第5页，共11页7.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，考查利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角，属于基础题.利用向量垂直则数量积为零，可求出t，再由利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角即可.【解答】解：因为w=(1,t)，万=(-3,1)，所以，所以-1x(-3)+(2t+1)xl=0，则t=-2，所以w=(1,-2)，,由,所以.8.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查．熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键.首先求出函数的导函数"(ar)=3ac2-2ac+2，求得其单调区间，然后求极值.【解答】解：:f(ar)=ai"-2+2ar，,"函数f(ac)在R上单调递增，函数的单调递增区间为(-0o,+o).函数f(ac)无极值点.故选：A.9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查函数图象的实际应用，瞬时速度，平均速度，属于中档题.可通过题意，分别表示出V%，再根据选项A，B进行比大小，即可确定；选项C可根据图像，由曲线与直线的交点，即可判断，选项D，可以观察曲线在各点处的切线方程的斜率，即可判断.【解答】解：由题意可知由图像可知t1<ta，t2-t1<t1，即21,-a，因此，tz-2(tz-t1)=2t1-ta>0，所以ta>2(ty-t1)，因此，此时，故A正确；,故B不正确；由图像可知，直线与曲线的交点为，故存在m;e(0,t2)，使得V(m)=，即当时，V(t1)=比，t时刻的瞬时速度为v(t),判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，由图象可知，当t=t1时，切线方程的斜率最大，故而在此时，速度最快，故D不正确.故选：AC.第6页，共11页【解析】解：对于A选项，的定义域为(0,1)U1,+)，所以A选项错误；对于B选项当0<<1时，fI(ar)<0，f(ac)递减，由于lna1<0，Inrz<0，(ln1)·(lnar2)>0，所以由两边乘以(lnv1)·(lnar2)得，所以B选项正确；对于c选项，令y=f(Ial)-k=0，f(acl)=k，由于，所以在区间(0,1)，(1,e)，nocu，f(ac)递减，在区间(e,+oo)，fI(ar)>0，f(ar)递增，,当时，当0<,当时，函数y=f(I)的定义域为(-o,-1)u(-1,0)u(0,1)u(1,+oo)，又f(-acl)=f(Iacl)，所以函数y=f(Ial)为偶函数，由此画出y=f(Iacl)的图象如图所示，由图可知，当k=e或k:<0时，直线y=k与y=f(Iacl)的图象有两个交点，即当k=e或k:<0时，函数y=f(acl)-k有两个零点，所以c选项错误；对于D选项，由上述分析可知，ZZE(1,+o)，则f(ara)E[e,+)，a1ER，g(ac)≥a，要使“对vaeR，3arze(1,+)，使得g(c1)=f(ac2)成立”，则需a≥e，所以D选项正确.故选：BD.根据函数的定义域即可判断A；利用导数判断函数f(ac)在(0,1)上的单调性即可判断B；求出函数f(ac)的单调区间，作出函数y=f(Iacl)的图象，结合图象即可判断C；结合C选项即可判断D.本题考查导数的综合应用，化归转化思想，数形结合思想，属难题.【解析】【分析】本题考查抛物线的标准方程和定义，考查抛物线中的弦长问题，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.将点M(2,1)代入抛物线方程可确定抛物线方程，可判断A；由抛物线定义可求，可判断B；求出直线l的方程，与抛物线方程联立解得点N，从而求出，可判断C；易求出直线l与准线交点，可判断D.【解答】解：由抛物线c:a2=2py(p>0)过点M(2,1)，可得4=2p，则p=2，故A正确；抛物线c:"=4y，准线方程为y=-l，所以|MF=1-(-1)=2，故B错误；由已知可得，直线l与OM垂直，且过M(2,1)，所以直线l的方程为y-1=-2(ac-2)，即y=-2a十5，联立方程组得2+8-20=0，解得ar=-10或1=2，故N(-10,25)，由直线l的方程y=-21十5，令y=-l，得a=3，所以直线l与抛物线c的准线相交于点(3,-1)，故D正确.故选：ACD.12.【答案】(-o,l]第7页，共11页【解析】【分析】【分析】本题考查利用导数根据极值或极值点求参，属于中档题.由f'(c)=0，可得出，可知直线y=2m-2与函数的图象有一个交点(非切点)，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【解答】解：f(ar)=ace"-(m-1)e2e⃞,acER，则"(ar)=(ar+1)e"-2(m-1)ee"=[ur+1-2(m-1)e"]e"，若函数f(ar)=ace"-(m-1)e2"存在唯一极值点，则"(ac)=0在aeR上有唯一的根，所以由f'(ac)=0可得az+1-2(m-1)e"=0，则有唯一的根，直线y=2m-2与函数的图象有一个交点非切点，所以当ace(-o,0)时，g'(ac)>0，g(a:)单调递增，当aE(0,+o)时，g'(ac)<0，g(ar:)单调递减，所以，函数g(ar)的极大值为g(0)=1，且当ac<-1时，g(ac)<0，当>—1时，g(ac)>0，则函数g(a:)的图象如下图所示：所以，当2m-2≤0时，即当m≤l时，直线y=2m-2与函数的图象有一个交点非切点，因此，实数m的取值范围是【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.以D为原点，DA为轴，DC为Y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BP与DQ所成角的余弦值.【解答】解：设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为3，以D为原点，DA为轴，DC为Y轴，DD1为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)，Q(0,1,3)，B(3,3,0)，P(3,2,3)，设异面直线BP与DQ所成角为，异面直线BP与DQ所成角的余弦值为.故答案为：.【解析】解：等差数列的公差，且成等比数列，.(a1+2d)2=a1x(a1+8d)，解得a1=d，,故答案为：.根据等差数列的公差，且，A3，ag成等比数列，求出与d等量关系，再根据通项公式代入式子，即可求出答案.本题综合考查了等差，等比数列的性质，运算解决求值问题，注意通项公式的运用.15.【答案】解：(1)证明：因为PA=PC，且O为AC中点，所以POLAC，因为AB上BC，且为AC中点，所以，因为PA=PC=AC=4，且o为AC中点，所以PB2=PO2+OB2，所以poloB，又OBnAC=O，OB,AC平面ABC，第8页，共11页所以pol平面ABC；(2)因为AB=BC，且O为AC中点，所以ACLOB，从而OB，OC，OP两两垂直，如图，建立以o为原点，以OB，Oc，分别为，Yy，轴的空间直角坐标系，易知A(0,-2,0)，P(0,0,2V3)，C(0,2,0)，B(2,0,0)，,即,可求得设M(ac,y,z)，由,即,可求得所以门=(0,-2,-2V⃞,,不妨设平面PAM的一个法向量为W=(ur,y,z)，则即令z=1，则，y=-VF，所以，取平面PAG的一个法向量为成=(1,0,0)，所以，所以二面角M-PA-C的大小为30".【解析】本题考查平面与平面所成角的向量求法，线面垂直的判定，属于中档题.(1)证得PO_AC和PoloB，然后根据线面垂直的判定定理即可得出结论；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.16.【答案】解：(1)因为2a2+2l2-(a+b)2=a2-2ab+⃞=(a-b)2>0，当a=b时等号成立，则2a2+22>(a+b)2，因为a+b≥3，所以2a2+2b'>(a+b)2>a+b;=2a2+2B2-(a+b)>(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1)>3x2=6【解析】(1)直接利用(2)根据绝对值不等式并结合(1)中结论即可证明.17.【答案】Ⅰ见证明；(ⅡⅢ)点N是靠近B点的四等分点【解析】【分析】Ⅰ根据线面垂直判定与性质定理进行论证，Ⅱ先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得平面AHB的一个法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据向量夹角与线面角关系得结果，Ⅲ先设N坐标，再根据与平面的法向量的数量积为零解得结果.【详解】Ⅰ证明：PA上底面ABG，,又AC上BC，PAnAC=A，平面，平面，..·H为PC的中点，PA=AC，..,·,AH上平面PBC；Ⅱ第9页，共11页18.【答案】解：(1)由af'=az-a1=3，由，则{a}为公差为2，首项为3的等差数列，则a)=3+2(n-1)=2n+1，则an1-an=2n+1，设{an}为k阶等差数列，则af)=a"-aff-1)=d(d为常数)，则a1=a")+d(n-1)为一次多项式，猜测an是关于的k次多项式，下用数学归纳法证明：当k=1猜测an是关于的k次多项式，下用数学归纳法证明：当k=1时，显然成立;假设当k=m时，an是关于的次多项式，当k=m+1时，则a"是关于的次多项式，由是m+1次多项式，故是关于的k次多项式，又{b}是一阶等比，则，则，由an是关于的k次多项式，则nan是关于n的k+l次多项式，则nan是k+l阶等差数列.故是常数列，故{b"}是k+l阶等比数列.则-.设平面ABH的法向量为=(a,y,x)，则，取=(2,-1,1).设PM与平面AHB成角为，则sin----.所以PM与平面AHB成角的正弦值为Ⅲ假设在线段PB上存在点N，使得MN//平面ABG.则，得证!,【解析】本题考查数列的新定义，等差数列与等比数列的综合，数学归纳法，属于难题.(1)由新定义得faf'}为公差为2，首项为3的等差数列，由等差数列的通项公式求解；(2)设【解析】本题考查数列的新定义，等差数列与等比数列的综合，数学归纳法，属于难题.(1)由新定义得faf'}为公差为2，首项为3的等差数列，由等差数列的通项公式求解；(2)设{an}为k阶等差数列，则为常数)，则a⃞'=a")+d(mn-1)为一次多项式，猜测an是关于的k次多项式，用数学归纳法证明；.点N是靠近B点的四等分点.【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量研究线面角与线面平行，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.第10页，共11页(3)设(3)设相消求和证明结论.19.【答案】解：(1)证明：设F(ac)=ln(ar+1)-z，时，F'(ac)时，F'(ac)>0，F(ac)在(-1,0)上单调递增，F'(ar)<0，F(ar)在(0,+oo)单调递减，当n>0时，所以F(ac)在a=0处取得极大值，即为最大值，(3)关于函数y=i4-42，当与时，yl<0；当ae(-v2,0)与a(3)关于函数y=i4-42，当与时，yl<0；当ae(-v2,0)与ae(v2,+o)时，y>0，可知是函数y=i4-42极小值点，0是极大值点，该函数与y=42-16的图象如图所示：当-1<ar<1时，H'(ac)<0，H(ac)在(-1,1)上单调递减，当r>1时，H'(ar)>0，H(r)在(1,+o)上单调递增，所以H(ar)在r=1处取得极小值，即为最小值，故H(ar)≥H(1)=0，所以ZE(-1,+o)时综上：ze(-1,+)时，ln(ar+1)≤ar≤e"-'，所以函数fi(a)=z为函数y=ln(a+1)与在(-1,+o)上