人教A版必修二高中数学第一章 章末检测同步课堂导学案【含详细解析】

章末检测一、选择题1．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()答案B解析该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的投影距左右两边距离相等，因此选B.2．下列说法中正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是三角形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台C．有一个面是多边形，其余各面都是五边形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点答案D解析A不正确，棱柱的各个侧面为四边形；B不正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥而得到的，其侧棱的延长线必交于一点，故D正确．C不正确，不符合棱锥的定义．3．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是()A．(1)(2)B．(2)(3)C．(3)(4)D．(1)(4)答案D解析正方体的三视图都相同都是正方形，球的三视图都相同都为圆面．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()答案D解析先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原为空间几何体．由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D.5.如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是()答案D解析四边形D1MBN在上下底面的正投影为A；在前后面上的正投影为B；在左右面上的正投影为C；故答案为D.6．已知底面边长为1，侧棱长为eq\r(2)的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A.eq\f(32π,3)B．4πC．2πD.eq\f(4π,3)答案D解析正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，所以球的半径r＝eq\r(\f(\r(2),2)2＋\f(\r(2),2)2)＝1，球的体积V＝eq\f(4π,3)r3＝eq\f(4π,3).故选D.7.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为()A．6B．3eq\r(2)C．6eq\r(2)D．12答案D解析由斜二测画法规则可知，△OAB为直角三角形，且两直角边长分别为4和6，故面积为12.8．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A．21＋eq\r(3)B．18＋eq\r(3)C．21D．18答案A解析由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示．因此该几何体的表面积为6×(4－eq\f(1,2))＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝21＋eq\r(3).故选A.9．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3答案B解析此几何体为一个长方体ABCDA1B1C1D1被截去了一个三棱锥ADEF，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6，故其体积为6×3×6＝108(cm3)．三棱锥的三条棱AE、AF、AD的长分别为4、4、3，故其体积为eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×4×3))×4＝8(cm3)，所以所求几何体的体积为108－8＝100(cm3)．10．已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.eq\f(\r(2),6)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(\r(2),2)答案A解析利用三棱锥的体积变换求解．由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，如图所示，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×AB2＝eq\f(\r(3),4)，高OD＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3)，∴VS－ABC＝2VOABC＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).二、填空题11．底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为________cm2.答案16π解析∵圆柱的底面半径为r＝eq\f(1,2)×4＝2(cm)．∴S侧＝2π×2×4＝16π(cm2)．12．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，则eq\f(V1,V2)的值是________．答案eq\f(3,2)解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，则eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．12B．18C．24D．30答案C解析由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，V棱柱ABC－A1B1C1＝S△ABC·AA1＝eq\f(1,2)×4×3×5＝30，V棱锥P－A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·PB1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×3×3＝6.故几何体ABC－PA1C1的体积为30－6＝24.故选C.14．已知正四棱锥OABCD的体积为eq\f(3\r(2),2)，底面边长为eq\r(3)，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．答案24π解析V四棱锥OABCD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)h＝eq\f(3\r(2),2)，得h＝eq\f(3\r(2),2)，∴OA2＝h2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＝eq\f(18,4)＋eq\f(6,4)＝6.∴S球＝4πOA2＝24π.三、解答题15．如图所示，四棱锥VABCD的底面为边长等于2cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC＝4cm，求这个正四棱锥的体积．解如图，连接AC、BD相交于点O，连接VO，∵AB＝BC＝2cm，在正方形ABCD中，求得CO＝eq\r(2)cm，又在直角三角形VOC中，求得VO＝eq\r(14)cm，∴VVABCD＝eq\f(1,3)SABCD·VO＝eq\f(1,3)×4×eq\r(14)＝eq\f(4,3)eq\r(14)(cm3)．故这个正四棱锥的体积为eq\f(4,3)eq\r(14)cm3.16．如图，正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′BC′D的体积．解(1)∵ABCDA′B′C′D′是正方体，∴六个面都是正方形，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq\r(2)a，∴S三棱锥A′－BC′D＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，S正方体＝6a2，∴eq\f(S三棱锥A′－BC′D,S正方体)＝eq\f(\r(3),3).(2)显然，三棱锥A′ABD、C′BCD、DA′D′C′、BA′B′C′是完全一样的，∴V三棱锥A′BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′ABD＝a3－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(1,3)a3.17．如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4cm与2cm，如图所示，俯视图是一个边长为4cm的正方形．(1)求该几何体的全面积；(2)求该几何体的外接球的体积．解(1)由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的全面积是：2×4×4＋4×4×2＝64(cm2)，即几何体的全面积是64cm2.(2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d，球的半径是r，d＝eq\r(16＋16＋4)＝eq\r(36)＝6(cm)，所以球的半径为r＝3(cm)．因此球的体积V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)×27π＝36π(cm3)，所以外接球的体积是36πcm3.18.如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求：(1)AD的长；(2)容器的容积．解(1)设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD＝x，则OD＝72－x，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2πR＝\f(60·π,180)×72,72－x＝3R))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝1