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文档简介
云南省河口县民中2024-2025学年招生全国统一考试(浙江)模拟测试数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知为抛物线的焦点,点在抛物线上,且,过点的动直线与抛物线交于两点,为坐标原点,抛物线的准线与轴的交点为.给出下列四个命题:①在抛物线上满足条件的点仅有一个;②若是抛物线准线上一动点,则的最小值为;③无论过点的直线在什么位置,总有;④若点在抛物线准线上的射影为,则三点在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.42.已知,则()A. B. C. D.3.已知三棱柱()A. B. C. D.4.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数除以正整数后的余数为,则记为,例如.现将该问题以程序框图的算法给出,执行该程序框图,则输出的等于().A. B. C. D.5.已知复数,其中,,是虚数单位,则()A. B. C. D.6.若复数(为虚数单位),则()A. B. C. D.7.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点P是C的右支上一点,连接与y轴交于点M,若(O为坐标原点),,则双曲线C的渐近线方程为()A. B. C. D.8.设i为数单位,为z的共轭复数,若,则()A. B. C. D.9.已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为()A. B. C. D.10.已知中,角、所对的边分别是,,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件11.一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行,则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为()A. B. C. D.12.如图所示的“数字塔”有以下规律:每一层最左与最右的数字均为2,除此之外每个数字均为其两肩的数字之积,则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知集合U={1,3,5,9},A={1,3,9},B={1,9},则∁U(A∪B)=________.14.已知圆,直线与圆交于两点,,若,则弦的长度的最大值为_______.15.如图,直线是曲线在处的切线,则________.16.已知命题:,,那么是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,底面为矩形,侧面底面,为棱的中点,为棱上任意一点,且不与点、点重合..(1)求证:平面平面;(2)是否存在点使得平面与平面所成的角的余弦值为?若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由.18.(12分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,且过点.求椭圆的方程;已知是椭圆的内接三角形,①若点为椭圆的上顶点,原点为的垂心,求线段的长;②若原点为的重心,求原点到直线距离的最小值.19.(12分)如图,四棱锥中,四边形是矩形,,,为正三角形,且平面平面,、分别为、的中点.(1)证明:平面;(2)求几何体的体积.20.(12分)如图在直角中,为直角,,,分别为,的中点,将沿折起,使点到达点的位置,连接,,为的中点.(Ⅰ)证明:面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.21.(12分)如图,在四棱柱中,平面,底面ABCD满足∥BC,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)眼保健操是一种眼睛的保健体操,主要是通过按摩眼部穴位,调整眼及头部的血液循环,调节肌肉,改善眼的疲劳,达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果,在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查,并得到如图的频率分布直方图.(1)若直方图中后三组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以上的人数;(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系,对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查,得到下表中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系?(3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人,进一步调查他们良好的护眼习惯,在这8人中任取2人,记坚持做眼保健操的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.附:0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
①:由抛物线的定义可知,从而可求的坐标;②:做关于准线的对称点为,通过分析可知当三点共线时取最小值,由两点间的距离公式,可求此时最小值;③:设出直线方程,联立直线与抛物线方程,结合韦达定理,可知焦点坐标的关系,进而可求,从而可判断出的关系;④:计算直线的斜率之差,可得两直线斜率相等,进而可判断三点在同一条直线上.【详解】解:对于①,设,由抛物线的方程得,则,故,所以或,所以满足条件的点有二个,故①不正确;对于②,不妨设,则关于准线的对称点为,故,当且仅当三点共线时等号成立,故②正确;对于③,由题意知,,且的斜率不为0,则设方程为:,设与抛物线的交点坐标为,联立直线与抛物线的方程为,,整理得,则,所以,则.故的倾斜角互补,所以,故③正确.对于④,由题意知,由③知,则,由,知,即三点在同一条直线上,故④正确.故选:C.本题考查了抛物线的定义,考查了直线与抛物线的位置关系,考查了抛物线的性质,考查了直线方程,考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题,结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.2.B【解析】
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可.【详解】,本题正确选项:本题考查诱导公式的应用,同角三角函数基本关系式的应用,考查计算能力.3.C【解析】因为直三棱柱中,AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,所以BC=5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径.取BC中点D,则OD⊥底面ABC,则O在侧面BCC1B1内,矩形BCC1B1的对角线长即为球直径,所以2R==13,即R=4.C【解析】从21开始,输出的数是除以3余2,除以5余3,满足条件的是23,故选C.5.D【解析】试题分析:由,得,则,故选D.考点:1、复数的运算;2、复数的模.6.B【解析】
根据复数的除法法则计算,由共轭复数的概念写出.【详解】,,故选:B本题主要考查了复数的除法计算,共轭复数的概念,属于容易题.7.C【解析】
利用三角形与相似得,结合双曲线的定义求得的关系,从而求得双曲线的渐近线方程。【详解】设,,由,与相似,所以,即,又因为,所以,,所以,即,,所以双曲线C的渐近线方程为.故选:C.本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解,考查数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力。8.A【解析】
由复数的除法求出,然后计算.【详解】,∴.故选:A.本题考查复数的乘除法运算,考查共轭复数的概念,掌握复数的运算法则是解题关键.9.C【解析】
如图所示,当点C位于垂直于面的直径端点时,三棱锥的体积最大,设球的半径为,此时,故,则球的表面积为,故选C.考点:外接球表面积和椎体的体积.10.D【解析】
由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】中,角、所对的边分别是、,由大边对大角定理知“”“”,“”“”.因此,“”是“”的充分必要条件.故选:D.本题考查充分条件、必要条件的判断,考查三角形的性质等基础知识,考查逻辑推理能力,是基础题.11.A【解析】
求出满足条件的正的面积,再求出满足条件的正内的点到顶点、、的距离均不小于的图形的面积,然后代入几何概型的概率公式即可得到答案.【详解】满足条件的正如下图所示:其中正的面积为,满足到正的顶点、、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示,阴影部分区域的面积为.则使取到的点到三个顶点、、的距离都大于的概率是.故选:A.本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用,考查计算能力,属于中等题.12.A【解析】
结合所给数字特征,我们可将每层数字表示成2的指数的形式,观察可知,每层指数的和成等比数列分布,结合等比数列前项和公式和对数恒等式即可求解【详解】如图,将数字塔中的数写成指数形式,可发现其指数恰好构成“杨辉三角”,前10层的指数之和为,所以原数字塔中前10层所有数字之积为.故选:A本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题,逻辑推理,等比数列前项和公式应用,属于中档题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.{5}【解析】易得A∪B=A={1,3,9},则∁U(A∪B)={5}.14.【解析】
设为的中点,根据弦长公式,只需最小,在中,根据余弦定理将表示出来,由,得到,结合弦长公式得到,求出点的轨迹方程,即可求解.【详解】设为的中点,在中,,①在中,,②①②得,即,,.,得.所以,.故答案为:.本题考查直线与圆的位置关系、相交弦长的最值,解题的关键求出点的轨迹方程,考查计算求解能力,属于中档题.15..【解析】
求出切线的斜率,即可求出结论.【详解】由图可知直线过点,可求出直线的斜率,由导数的几何意义可知,.故答案为:.本题考查导数与曲线的切线的几何意义,属于基础题.16.真命题【解析】
由幂函数的单调性进行判断即可.【详解】已知命题:,,因为在上单调递增,则,所以是真命题,故答案为:真命题本题主要考查了判断全称命题的真假,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析(2)存在,为中点【解析】
(1)证明面,即证明平面平面;(2)以为坐标原点,为轴正方向,为轴正方向,为轴正方向,建立空间直角坐标系.利用向量方法得,解得,所以为中点.【详解】(1)由于为中点,.又,故,所以为直角三角形且,即.又因为面,面面,面面,故面,又面,所以面面.(2)由(1)知面,又四边形为矩形,则两两垂直.以为坐标原点,为轴正方向,为轴正方向,为轴正方向,建立空间直角坐标系.则,设,则,设平面的法向量为,则有,令,则,则平面的一个法向量为,同理可得平面的一个法向量为,设平面与平面所成角为,则由题意可得,解得,所以点为中点.本题主要考查空间几何位置关系的证明,考查空间二面角的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.;①;②.【解析】
根据题意列出方程组求解即可;①由原点为的垂心可得,轴,设,则,,根据求出线段的长;②设中点为,直线与椭圆交于,两点,为的重心,则,设:,,,则,当斜率不存在时,则到直线的距离为1,,由,则,,,得出,根据求解即可.【详解】解:设焦距为,由题意知:,因此,椭圆的方程为:;①由题意知:,故轴,设,则,,,解得:或,,不重合,故,,故;②设中点为,直线与椭圆交于,两点,为的重心,则,当斜率不存在时,则到直线的距离为1;设:,,,则,,则,则:,,代入式子得:,设到直线的距离为,则时,;综上,原点到直线距离的最小值为.本题考查椭圆的方程的知识点,结合运用向量,韦达定理和点到直线的距离的知识,属于难题.19.(1)见解析;(2)【解析】
(1)由题可知,根据三角形的中位线的性质,得出,根据矩形的性质得出,所以,再利用线面平行的判定定理即可证出平面;(2)由于平面平面,根据面面垂直的性质,得出平面,从而得出到平面的距离为,结合棱锥的体积公式,即可求得结果.【详解】解:(1)∵,分别为,的中点,∴,∵四边形是矩形,∴,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)取,的中点,,连接,,,,则,由于为三棱柱,为四棱锥,∵平面平面,∴平面,由已知可求得,∴到平面的距离为,因为四边形是矩形,,,,设几何体的体积为,则,∴,即:.本题考查线面平行的判定、面面垂直的性质和棱锥的体积公式,考查逻辑推理和计算能力.20.(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)取中点,连结、,四边形是平行四边形,由,,得,从而,,求出,由此能证明.(Ⅱ)以为原点,、、所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】证明:(Ⅰ)取中点,连结、,∵,,∴四边形是平行四边形,∵,,,∴,∴,∴,在中,,又∵为的中点,∴,又∵,∴.解:(Ⅱ)∵,,,∴,以为原点,、、所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,设,则,,,,∴,,,设面的法向量,则,取,得,同理,得平面的法向量,设二面角的平面角为,则,∴二面角的余弦值为.本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角,考查基本分析求解能力,属中档题.21.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)证明,根据得到,得到证明.(Ⅱ)如图所示,分别以为轴建立空间直角坐标系,平面的法向量,,计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ)平面,平面,故
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