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文档简介
浙江省温州市环大罗山联盟2024-2025学年高三阶段性测试(六)数学试题试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数若恒成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有点的()A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度3.圆锥底面半径为,高为,是一条母线,点是底面圆周上一点,则点到所在直线的距离的最大值是()A. B. C. D.4.在平行六面体中,M为与的交点,若,,则与相等的向量是()A. B. C. D.5.为虚数单位,则的虚部为()A. B. C. D.6.已知函数为奇函数,且,则()A.2 B.5 C.1 D.37.若实数、满足,则的最小值是()A. B. C. D.8.已知等差数列的前项和为,,,则()A.25 B.32 C.35 D.409.圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.10.已知m为实数,直线:,:,则“”是“”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件11.如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为176,320,则输出的a为()A.16 B.18 C.20 D.1512.已知,则的大小关系为A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知抛物线的焦点为,过点且斜率为1的直线与抛物线交于点,以线段为直径的圆上存在点,使得以为直径的圆过点,则实数的取值范围为________.14.设等差数列的前项和为,若,,则数列的公差________,通项公式________.15.已知函数为奇函数,则______.16.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).(1)求直线和曲线的普通方程;(2)设为曲线上的动点,求点到直线距离的最小值及此时点的坐标.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展,灯光展涉及到10000盏灯,每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为,并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长(单位:),得到下面的频数表:亮灯时长/频数1020402010以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长.(1)试估计的值;(2)设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.①求的数学期望和方差;②若随机变量满足,则认为.假设当时,灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计,在一场灯光展中,处于最佳灯光亮度的时长(结果保留为整数).附:①某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商;②若,则,,.18.(12分)运输一批海鲜,可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择,它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时,每千米的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元(),运输的路程为S(千米).设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用(包括运费和损耗费)分别为(元)、(元)、(元).(1)请分别写出、、的表达式;(2)试确定使用哪种运输工具总费用最省.19.(12分)设为等差数列的前项和,且,.(1)求数列的通项公式;(2)若满足不等式的正整数恰有个,求正实数的取值范围.20.(12分)已知矩阵,二阶矩阵满足.(1)求矩阵;(2)求矩阵的特征值.21.(12分)已知圆M:及定点,点A是圆M上的动点,点B在上,点G在上,且满足,,点G的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点,与直线和分别交于P、Q两点.当时,求(O为坐标原点)面积的取值范围.22.(10分)车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件,对之前加工的100个零件的加工时间进行统计,结果如下:加工1个零件用时(分钟)20253035频数(个)15304015以加工这100个零件用时的频率代替概率.(1)求的分布列与数学期望;(2)刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座,用时40分钟,另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
由恒成立,等价于的图像在的图像的上方,然后作出两个函数的图像,利用数形结合的方法求解答案.【详解】因为由恒成立,分别作出及的图象,由图知,当时,不符合题意,只须考虑的情形,当与图象相切于时,由导数几何意义,此时,故.故选:D此题考查的是函数中恒成立问题,利用了数形结合的思想,属于难题.2.C【解析】
根据三角函数图像的变换与参数之间的关系,即可容易求得.【详解】为得到,将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),故可得;再将向左平移个单位长度,故可得.故选:C.本题考查三角函数图像的平移,涉及诱导公式的使用,属基础题.3.C【解析】分析:作出图形,判断轴截面的三角形的形状,然后转化求解的位置,推出结果即可.详解:圆锥底面半径为,高为2,是一条母线,点是底面圆周上一点,在底面的射影为;,,过的轴截面如图:,过作于,则,在底面圆周,选择,使得,则到的距离的最大值为3,故选:C点睛:本题考查空间点线面距离的求法,考查空间想象能力以及计算能力,解题的关键是作出轴截面图形,属中档题.4.D【解析】
根据空间向量的线性运算,用作基底表示即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知因为,,则即,故选:D.本题考查了空间向量的线性运算,用基底表示向量,属于基础题.5.C【解析】
利用复数的运算法则计算即可.【详解】,故虚部为.故选:C.本题考查复数的运算以及复数的概念,注意复数的虚部为,不是,本题为基础题,也是易错题.6.B【解析】
由函数为奇函数,则有,代入已知即可求得.【详解】.故选:.本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.7.D【解析】
根据约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,得,可得点,由得,平移直线,当该直线经过可行域的顶点时,该直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.故选:D.本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是基础题.8.C【解析】
设出等差数列的首项和公差,即可根据题意列出两个方程,求出通项公式,从而求得.【详解】设等差数列的首项为,公差为,则,解得,∴,即有.故选:C.本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用,涉及等差数列的前项和公式的应用,属于容易题.9.B【解析】
三视图对应的几何体为如图所示的几何体,利用割补法可求其体积.【详解】根据三视图可得原几何体如图所示,它是一个圆柱截去上面一块几何体,把该几何体补成如下图所示的圆柱,其体积为,故原几何体的体积为.故选:B.本题考查三视图以及不规则几何体的体积,复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系,另外,不规则几何体的体积可用割补法来求其体积,本题属于基础题.10.A【解析】
根据直线平行的等价条件,求出m的值,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当m=1时,两直线方程分别为直线l1:x+y﹣1=0,l2:x+y﹣2=0满足l1∥l2,即充分性成立,当m=0时,两直线方程分别为y﹣1=0,和﹣2x﹣2=0,不满足条件.当m≠0时,则l1∥l2⇒,由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2,由得m≠2,则m=1,即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件,故答案为:A(1)本题主要考查充要条件的判断,考查两直线平行的等价条件,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题也可以利用下面的结论解答,直线和直线平行,则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.11.A【解析】
根据题意可知最后计算的结果为的最大公约数.【详解】输入的a,b分别为,,根据流程图可知最后计算的结果为的最大公约数,按流程图计算,,,,,,,易得176和320的最大公约数为16,故选:A.本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.12.D【解析】
分析:由题意结合对数的性质,对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解:由题意可知:,即,,即,,即,综上可得:.本题选择D选项.点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由题意求出以线段AB为直径的圆E的方程,且点D恒在圆E外,即圆E上存在点,使得,则当与圆E相切时,此时,由此列出不等式,即可求解。【详解】由题意可得,直线的方程为,联立方程组,可得,设,则,,设,则,,又,所以圆是以为圆心,4为半径的圆,所以点恒在圆外.圆上存在点,使得以为直径的圆过点,即圆上存在点,使得,设过点的两直线分别切圆于点,要满足题意,则,所以,整理得,解得,故实数的取值范围为本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用,以及直线与圆的位置关系的应用,其中解答中准确求得圆E的方程,把圆上存在点,使得以为直径的圆过点,转化为圆上存在点,使得是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题。14.2【解析】
直接利用等差数列公式计算得到答案.【详解】,,解得,,故.故答案为:2;.本题考查了等差数列的基本计算,意在考查学生的计算能力.15.【解析】
利用奇函数的定义得出,结合对数的运算性质可求得实数的值.【详解】由于函数为奇函数,则,即,,整理得,解得.当时,真数,不合乎题意;当时,,解不等式,解得或,此时函数的定义域为,定义域关于原点对称,合乎题意.综上所述,.故答案为:.本题考查利用函数的奇偶性求参数,考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用,考查计算能力,属于中等题.16.(1),;(2),.【解析】
(1)利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程;(2)利用参数方程,结合点到直线的距离公式,将问题转化为求解二次函数最值的问题,即可求得.【详解】(1)直线的普通方程为.在曲线的参数方程中,,所以曲线的普通方程为.(2)设点.点到直线的距离.当时,,所以点到直线的距离的最小值为.此时点的坐标为.本题考查将参数方程转化为普通方程,以及利用参数方程求距离的最值问题,属中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)①,,②72【解析】
(1)将每组数据的组中值乘以对应的频率,然后再将结果相加即可得到亮灯时长的平均数,将此平均数除以(个小时),即可得到的估计值;(2)①利用二项分布的均值与方差的计算公式进行求解;②先根据条件计算出的取值范围,然后根据并结合正态分布概率的对称性,求解出在满足取值范围下对应的概率.【详解】(1)平均时间为(分钟)∴(2)①∵,∴,②∵,,∴∵,,∴∴即最佳时间长度为72分钟.本题考查根据频数分布表求解平均数、几何概型(长度模型)、二项分布的均值与方差、正态分布的概率计算,属于综合性问题,难度一般.(1)如果,则;(2)计算正态分布中的概率,一定要活用正态分布图象的对称性对应概率的对称性.18.(1),,.(2)当时,此时选择火车运输费最省;当时,此时选择飞机运输费用最省;当时,此时选择火车或飞机运输费用最省.【解析】
(1)将运费和损耗费相加得出总费用的表达式.(2)作差比较、的大小关系得出结论.【详解】(1),,.(2),故,恒成立,故只需比较与的大小关系即可,令,故当,即时,,即,此时选择火车运输费最省,当,即时,,即,此时选择飞机运输费用最省.当,即时,,,此时选择火车或飞机运输费用最省.本题考查了常见函数的模型,考查了分类讨论的思想,属于基础题.19.(1);(2).【解析】
(1)设等差数列的公差为,根据题意得出关于和的方程组,解出这两个量的值,然后利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式;(2)求出,可得出,可知当为奇数时不等式不成立,只考虑为偶数的情况,利用数列单调性的定义判断数列中偶数项构成的数列的单调性,由此能求出正实数的取值范围.【详解】(1)设等差数列的公差为,则,整理得,解得,,因此,;(2),满足不等式的正整数恰有个,得,由于,若为奇数,则不等式不可能成立.只考虑为偶数的情况,令,则,..当时,,则;当时,,则;当时,,则.所以,,又,,,,.因此,实数的取值范围是.本题考查数列的通项公式的求法,考查正实数的取值范围的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.20.(1)(2)特征值为或.【解析】
(1)先设矩阵,根据,按照运算规律,即可求出矩阵.(2)令矩阵的特征多项式等于,即可求出矩阵的特征值.【详解】解:(1)设矩阵由题意,因为,所以,即所以,(2)矩阵的
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