第三节 条件概率

一、条件概率二、乘法公式三、全概率公式与贝叶斯公式四、小结第三节条件概率第一章一、条件概率例1.某班有50名学生，其中男生30名，女生20名。已过英语四级的有40人，其中男生25人，女生15人。现任抽取1名学生，求：(1)已过英语四级的概率是多少？(2)已知抽到的是男生，问已过英语四级的概率是多少？分析：A表示“抽到的是男生”，B表示“已过英语四级”，则P(A)=30/50,P(AB)=25/50,一般地，设样本空间有n个样本点，事件A含有m个样本点(m>0),AB含有r个样本点(r≤m),则有同理，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率.定义1.4求条件概率的方法有两种：次取到白球的概率。例2.(1)在缩减样本空间A中求事件B的概率，就得到P(B|A)；(2)在样本空间中,先求出P(AB),P(A),再由定义求P(B|A)。袋中有5个球，其中3个红球2个白球，现从袋中不放回地连取两个球。已知第一次取到红球时，求第二解：A表示第一次取到红球，B表示第二次取到白球，则条件概率具有以下性质：(2)规范性二、

乘法公式

如果P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)；

如果P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)。推广：P(A1A2···An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A2A1)···P(An|A1A2···An-1)

特别地，

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).例4.依次请甲、乙、丙三个同学回答一个问题，如果前面的同学回答对了就停止，回答错误则由后面的同学回答。已知他们依次答对的概率分别是0.4、0.6、0.8。分别求出问题由甲、乙、丙答出的概率。解：设A、B、C分别表示问题由甲、乙、丙答出，则例3.有甲、乙两个同型号的箱子，甲箱中装有3个红球2个白球，乙箱中装有4个红球3个白球。现在任意取一箱，再从该箱中任意取出一球，求：(1)恰好取到甲箱的白球的概率；(2)取到白球的概率。解：A表示取到甲箱，B表示取到白球，则三、全概率公式与贝叶斯公式定理1.1在随机试验E中,设A1,A2,···,An构成一个完备事件组,且P(Ai)>0,i=1,2,3,···,n.B为任意事件,

则全概率公式P(B)=P(A1B+A2B+···+AnB)=P(A1B)+P(A2B)+···+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+···+P(An)P(B|An).说明

全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.例6.解：B表示抽到的是次品，A1,A2,A3分别表示抽到甲、乙、丙厂的产品，则一批产品由甲、乙、丙三个工厂生产，产量依次为45%、35%、20%，各厂的次品率依次为2%、3%、5%。现从该批产品中任抽一件，求：(1)抽到次品的概率;(2)若已抽到次品，问它是来自甲厂的概率。定理1.2在随机试验E中,设A1,A2,···,An构成一个完备事件组,且P(Ai)>0,i=1,2,3,···,n.B为任意事件,P(B)>0,则贝叶斯公式例7.根据以往统计可知，每天早上机器开动时，机器处于良好状态的概率为75%。当机器处于良好状态时，产品的合格率为90%,当机器有故障时,产品的合格率为30%。某日，从当天生产的产品中任取一件,求：(1)该产品是合格品的概率；(2)若已知抽到的是合格品,求该天机器处于良好状态的概率。若抽到的是一件不合格品，求该天机器处于良好状态的概率。解：B表示抽到合格品，A表示机器处于良好状态,则问题：上题中概率0.75是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.9叫做后验概率.先验概率与后验概率利用后验概率作出的决策称为贝叶斯决策。例

(补)解：A表示得肺癌，B表示吸烟者，则若人群中肺癌的发病率为0.1%,得肺癌的人中吸烟者占90%,没得肺癌的人中不吸烟者占80%,求吸烟者患肺癌的概率。例(补)(练习).老师在出考试题时,平时练习过的题目占60%，学生答卷时，平时练习过的题目在考试时答对的概率为95%，平时未练习过的题目在考试时答对的概率为30%，求：(1)考生答对第一题的概率；(2)若考生答对了第一题，则第一题是平时没有练习过的题目的概率。解：B表示考生答对第一题，A表示平时练习过的题目，则例1(综).设A、B为随机事件，已知求：解：例2(综).甲、乙二人进行击剑练习，甲先向乙进攻，击中的概率为0.2;若未击中，则乙还击，击中甲的概率为0.3；若未击中甲，则甲再次进攻，击中乙的概率为0.4。求这几个回合中：(1)甲被击中的概率；(2)乙被击中的概率；(3)若乙被击中，求他是在第一回合中被击中的概率。解：Ai表示第i回合击中对方，i=1,2,3.A表示甲被击中，B表示乙被击中，则例(补)：解：A表示“丢失的是黑球”，B表示“取出的两个球都是白球”，则装有10个白球5个黑球的罐中丢失一球,但是不知道是什么颜色的球，随机地从罐中摸出两个球，结果都是白球。问丢失的是黑球的概率。例(补).有两个同型号的箱子，甲箱中装有12件正品8件次品，乙箱中装有8件正品4件次品。放入乙箱，再从乙箱中任取一件，求取得次品的概率。解：Ai表示从甲箱任取的2件产品中有i件次品，i=0,1,2.B表示从乙箱中取一件是次品，则从甲箱中任意取出两件产品解练习：由贝叶斯公式得所求概率为即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.1.条件概率全概率公式贝