第二讲：直线的投影、两直线的相对位置(平行、相交、交叉)

第二章

点、直线、平面的投影直线的投影直角三角形法求线段实长及倾角直线上的点两直线的相对位置关系8/19/20241直线的投影两点决定一条直线。分别将两点的同名（同面）投影用直线连接，就得到直线的投影。ZXOYHYWa’aa”b’bb”直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。abc(d)直线对投影面的倾角：对水平投影面的倾角——

对正立投影面的倾角——

对侧立投影面的倾角——

8/19/20242直线在三投影面体系中分为：各种位置直线的投影特性投影面平行线一般位置直线特殊位置直线水平线正平线侧平线投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线平行于某一投影面，且倾斜于另两个投影面垂直于某一投影面与三个投影面都倾斜8/19/20243投影面平行线——正平线（平行于Ｖ面且…）侧平线（平行于Ｗ面且…）水平线（平行于Ｈ面且…）各种位置直线的投影特性8/19/20244正平线—平行于V面，倾斜于H、W面的直线。aa

b

a

b

b

Xa

b

a

b

baOZYHYWAB

正平线的投影特性：1、正面投影反映直线段的实长。该投影与OX轴、OZ轴的夹角，分别反映该直线与H、W面的倾角。（a

b

=AB，反映

、

角的真实大小）；2、在H面、W面上的投影，分别平行于OX轴、OZ轴，且小于实长。（ab

OX;a

b

OZ）实长8/19/20245水平线侧平线投影面平行线投影面平行线的投影特性：1、在其所平行的投影面上的投影，反映直线段的实长。该投影与投影轴的夹角，反映该直线与其它两投影面的倾角；2、在其它两投影面上的投影，平行于相应的投影轴，且小于实长。Xa

b

a

b

baOzYHYW

XZa

b

b

baOYHYW

8/19/20246投影面垂直线正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）各种位置直线的投影特性8/19/20247b

a(b)a

a

b

Zb

Xa

b

a(b)OYHYWa

铅垂线—垂直于水平投影面的直线AB铅垂线的投影特性：1、水平投影积聚为一点（ab积聚成一点）；2、在其它两个投影面上的投影反映实长，且分别垂直于OX轴、OY轴。（a

b

=a

b

=AB；a

b

OX

；a

b

OYW

）8/19/20248正垂线侧垂线投影面垂直线垂直线的投影特性：1、在其所垂直的投影面上的投影，积聚为一点；2、在其它两个投影面上的投影，反映实长，且垂直于相应的投影轴。8/19/20249投影特性：三个投影都是缩短了的倾斜线段,都不反映空间线段的实长及与三个投影面的倾角。与三个投影面都倾斜的直线。一般位置直线（投影面倾斜线）思考：从属于投影面及投影轴的直线的投影特性是什么？其投影如何作图？各种位置直线的投影特性abb

a

b

a

OXYHYWZ8/19/202410例1:根据投影图，判断下列直线的空间位置。ab

ba

c

d

cd侧平线侧垂线铅垂线水平线解题要点：1、垂直线用垂直判断；2、平行线用平行判断。OXOXZc

c

d

d

a

b

a

b

OXOXZYHYWYHYW8/19/202411例2：已知AB为水平线，补画a’b’。b’a’ab解题思路：熟悉水平线的投影特性，明确正面投影平行于投影轴。OX8/19/202412例3:

过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与H面的倾角

=30°。25b’30°b”OXZYHYWa’aa”b解题思路：熟悉正平线的投影特性，并从反映实长和的投影入手。作图要点:１．做正平线的正面投影；２．过点a做正平线的水平投影和侧面投影。8/19/202413

|zA-zB

|AB

|zA-zB|

ABab|zA-zB|

AB|zA-zB|ab直角三角形法求线段实长及线段与投影面的倾角求直线AB的实长及其对

水平投影面的倾角

角。8/19/202414

求直线的实长及对正面投影面的倾角

角|yA-yB|a

b

AB

|yA-yB|AB

|yA-yB|

a

Xab

bO8/19/202415

求直线的实长及对侧面投影面的倾角

角ABbb

a

b

aa

|xA-xB||xA-xB|

8/19/202416即：直角三角形的组成:斜边－实长直角边1－投影,直角边2－坐标差,

投影与实长的夹角－倾角。直角三角形法求线段实长

及线段与投影面的倾角8/19/202417例5：已知直线的一个投影a’b’及实长，求直线的投影ab。XOa’b’aB0解题思路及步骤——1.根据直角三角形的组成，利用a’b’及实长作直角三角形；2.求出Y坐标差；3.利用Y坐标差求ab投影。bAB实长思考：若将已知条件实长换成

=30°，则如何解题？8/19/202418直线上的点ABCVHbcc

b

a

a从属性：若点在直线上，则点的投影必在直线的同面投影上，且符合点的投影规律。反之，亦然。定比性：若点在直线上，则点的投影分割线段的同面投影之比与空间点分割线段之比相等。反之，亦然。即AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

=a

c

:c

b

，利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。直线上点的投影特性——8/19/202419例6：判断点C是否在线段AB上。点C不在直线AB上点C在直线AB上abca’b

c

①c

②abca’b’●●OXOX8/19/202420例7：判断点K是否在线段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。方法二：应用定比定理abka

b

k

●●方法一：作出第三投影因ak/kb不等于a’k’/k’b’，故点K不在AB上。OXYHYWZ8/19/202421cc

例8已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求分点C的投影c、c

。O8/19/202422直线上的特殊点——迹点

迹点：直线与投影面的交点（正面迹点、水平迹点、侧面迹点）。作图要点：1、迹点既是投影面上的点又是直线上的点，故必同时符合投影面上点和直线上的点的投影规律;2、求迹点时，先延长投影到投影轴。m’mnn’M是水平迹点,N是正面迹点。a’b’abOX8/19/202423空间两直线的相对位置关系分为四种：平行、相交、交叉、垂直。⒈两直线平行投影特性（判别方法）：aVHc

bcdABCDb

d

a

两直线的相对位置

1．若空间两直线相互平行，则其各同面投影必相互平行；反之，若两直线的各同面投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。

2．平行两线段之比等于其投影之比。8/19/202424例9：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CDabcdc

a

b

d

OX8/19/202425HVABCDKabcdka

b

c

k

d

⒉两直线相交

若空间两直线相交，则其各同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律；反之，亦然。两直线的相对位置交点是两直线的共有点投影特性（判别方法）：abcdb

a

c

d

kk

OX8/19/2024263.两直线交叉：凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。两直线的相对位置1

(2

)3(4)投影特性（判别方法）

：★同面投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。也可能有两对同面投影平行，但第三对决不会平行。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。为什么？两直线相交吗？d

b

a

abcdc

12●●3

4

●●●●OX8/19/202427例10：过直线CD外一点A，作正平线AB与CD相交。a'ac'

d'cdb’bc1b1XO8/19/202428例11判断两直线的相对位置。d

a

c

b

oYWYHz解法一：8/19/2024291

1

d

c

1

1

例11判断两直线的相对位置解法二：8/19/202430例12判断图中两条直线的空间位置。对于特殊位置直线，只有两个特殊投影互相平行，空间直线不一定平行，必须在直线所平行的投影面内进行判断。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。b

d

c

a

cbadd

b

a

c

还可以如何判断？XZOYHYW8/19/202431

例13判断两直线重影点的可见性。3

(4

)341

2

1(2)O8/19/202432例14：求作水平线L，使其距H面的距离为15，且与直线AB、CD都相交。a'b'abc'd'dc15l’lXO8/19/202433本讲小结——重点掌握8/19/202434例4：已知直线的投影，求直线的实长及

角。XO