直线与直线平行教学课件

8.5.1直线与直线平行

因画岛圃园国(教师独具内容)

课程标准：1.借助长方体理解并掌握基本事实4.2.理解并掌握等角定理.3.

结合图形，综合运用基本事实4和等角定理解决空间线线平行的相关问题.

教学重点：基本事实4及等角定理.

教学难点：运用基本事实4或等角定理解题.

核心素养：通过学习和运用基本事实4和等角定理的过程，提升数学抽象素

养、直观想象素养和逻辑推理素养.

1新知卜

1.求证两条直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4,即找到第三

条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分利用好平面几

何知识；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点.

2.等角定理是立体几何的基本定理之一.对于空间中两个不相同的角，如果

它们的两组对应边分别平行，则这两个角相等或互补.当角的两组对应边同时同

向或同时反向时，两角相等；当两组对应边一组同向一组反向时，两角互补.

1±1评价自测I

1.判一判(正确的打“，错误的打“义”)

(1)对于空间的三条直线a,b,c,如果a〃6,a与c不平行，那么6与c不

平行.()

(2)如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等.()

(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行.()

(4)对于空间直线a,b,c,d,如果a〃力，b//c,c//d,那么a〃d()

2.做一做

(1)已知43〃沟，BC//QR,若N/8C=30°,则/尸金等于()

A.30°B.30°或150°

C.150°D.以上结论都不对

(2)如图，在三棱锥〃一/欧中，G,，分别为用，尸。的中点，业川分别为4

PAB,△为。的重心，且△力比'为等腰直角三角形，N46C=90°.求证：GH//MN.

核心素养,形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一基本事实4的应用

例1如图所示，E,尸分别是长方体46d4AG〃的棱44GC的中点.求

证：四边形3曲是平行四边形.

［跟踪训练1］如图，已知反月分别是正方体力颂一44G〃的棱44，CQ

的中点，求证：四边形砌以是菱形.

题型二等角定理的应用

例2如图，三棱柱中，忆N,尸分别为44,BB\,CG的中点.求

证：/MC、N=/APB.

H

[跟踪训练2]在正方体/8N—48K〃中，P,Q,M,N分别为/〃，AB,

CD，3c的中点，求证：A.P//CN,A.Q//CM,且N/^gN股能

随堂水平达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.已知角a的两边和角£的两边分别平行，且。=80°,则£=（）

A.80°B.100°

C.80°或100°D.不能确定

2.已知空间四边形/腼，E,〃分别是48,4?的中点，F,G分别是6KCD

上的点，且%=u=鼻.则四边形）砌的形状是（）

CZ/CZzo

A.空间四边形

B.平行四边形

C.矩形

D.梯形

3.若空间中四条两两不同的直线h12,k，1“满足Ch,h//h,；3±

则下列结论一定正确的是（）

A.7,12,

B.1J/k

C.Z与人既不垂直也不平行

D.为与心的位置关系不确定

4.如图，在正方体/aZ—4AG〃中，点£,尸分别在AC1.,且4£=

2ED,CF=2FA,则）与物的位置关系是

5.如图所示，不共面的三条射线以，OB,0C,点4,区，G分别是如，0B,

,LOA\OB、0&—十

%上的点，且丸.求证：XAA\B\C\SXAABC.

UnUDC/C

课后课时,精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

A级e,学考水平合格练

一、选择题

1.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，48与切的位置关系为

()

A.相交B.平行

C.异面D.重合

2.在正方体48切一4£G〃中，E,尸分别是平面44〃〃、平面CC〃〃的中心,

G,，分别是线段回的中点，则直线如与直线"的位置关系是（）

A.相交B.异面

C.平行D.不确定

3.给出下列命题：

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

②如果两条相交直线和另两条直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角（或

直角）相等;

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补.

其中正确的命题有（）

A.0个B.1个

C.2个D.3个

4.如图所示，在空间四边形4?修中，点色，分别是边力8,4?的中点，点

F,G分别是边比；切上的点，且||=2=|，则下列说法正确的是（）

CD36

A.EF与阳平行

B.EF与GH异面

C.如与6,的交点〃可能在直线4C上，也可能不在直线4C上

D.EF与阳的交点"一定在直线AC1.

5.（多选）如图，在四面体力一8缪中，物，MP,Q,£分别是/反BC,CD,

AD,4。的中点，则下列说法中正确的是（）

A.M,N,P,0四点共面

B./QME=4CBD

C.△始Q

D.四边形协附为梯形

二、填空题

6.在三棱锥尸一中，PBLBC,E,D,尸分别是46,PA,NC的中点，则N

DEF=.

7.已知a,b,c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：

①若a//b,b//c,则a//c；

②若a与6相交，力与c相交，则a与c相交；

③若aU平面a,8U平面£,则a,8一定是异面直线；

④若a,b与c成等角，则a//b.

其中正确的是—（填序号）.

8.尸是△48C所在平面外一点，D,«分别是△川反△出的重心，AC=a,

则庞的长为.

三、解答题

9.如图，在正方体力交9—483〃中，M掰分别是棱49和4〃的中点.

求证：（1）四边形85M"为平行四边形；

（2）ZBMC=/BMC.

10.如图，在正方体46切一48G〃中，点£,F,G分别是48,BB、,8。的中

点.求证：XEFGs

1.（多选）在四棱锥力一直加中，底面四边形式场为梯形，BC〃DE.设CD,

BE,AE,的中点分别为弘N,P,Q,则（）

c

1

A.PQ=~MN

B.PQ//MN

C.M,N,P,。四点共面

D.四边形,斜倒是梯形

2.已知反F,G,〃分别为空间四边形48口的棱BC,CD,物的中点，

若对角线应=2,AC=4,则加+的的值是()

A.5B.10

C.12D.不能确定

3.如图，正方体力腼一45C”中，乱儿〃分别为棱CC能的中点,

有以下四个结论：

①直线AM与CG是相交直线；

②直线4"与凡〃'是平行直线；

③直线BN与，监是异面直线；

④/DAH=4CBN.

其中正确的结论为—(注：把你认为正确的结论的序号都填上).

4.如图，空间四边形/颇中，E,F,G,〃分别为力8,BC,CD,物的中点.

⑴求证：四边形如'而是平行四边形；

(2)如果被，求证：四边形班第是菱形；

(3)若AC±BD,请问四边形EFGH是什么图形？

5.如图，已知在棱长为a的正方体48＜小-436；〃中，弘N分别是棱⑦，AD

的中点.

求证：（1）四边形MNA、C是梯形;

（2）N〃MQN〃4G.

8.5.1直线与直线平行

国留医阑园画（教师独具内容）

课程标准：1.借助长方体理解并掌握基本事实4.2.理解并掌握等角定理.3.

结合图形，综合运用基本事实4和等角定理解决空间线线平行的相关问题.

教学重点：基本事实4及等角定理.

教学难点：运用基本事实4或等角定理解题.

核心素养：通过学习和运用基本事实4和等角定理的过程，提升数学抽象素

养、直观想象素养和逻辑推理素养.

'新知I

1.求证两条直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4,即找到第三

条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分利用好平面几

何知识；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点.

2.等角定理是立体几何的基本定理之一.对于空间中两个不相同的角，如果

它们的两组对应边分别平行，则这两个角相等或互补.当角的两组对应边同时同

向或同时反向时，两角相等；当两组对应边一组同向一组反向时，两角互补.

■温评价自测I

1.判一判（正确的打"J"，错误的打“X”）

（1）对于空间的三条直线a，b,c,如果a与c不平行，那么6与c不

平行.（）

（2）如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等.（）

(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行.()

(4)对于空间直线a,b,c,d,如果a〃6,b//c,c//d,那么a〃d.()

答案⑴V(2)X(3)X(4)V

2.做一做

(1)已知力8〃河，BC//QR,若N4BC=30°,则/尸水等于()

A.30°B.30°或150°

C.150°D.以上结论都不对

(2)如图，在三棱锥产一4?。中，G,H分别为PB,"1的中点，MN分别为△

PAB,△*。的重心，且△力灰为等腰直角三角形，N/8C=90°.求证：GH//MN.

答案(DB

(2)证明：如图，取力的中点0,连接60,CQ,则弘N分别在6。，上.

因为MN分别为△为8,△必。的重心,

QMQN1

所以矿而=5,则加/比

又G,H分别为PB,尸。的中点,

所以GH〃BC,所以GH//MN.

核心素养.形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一基本事实4的应用

例1如图所示，E,尸分别是长方体力腼一4AG〃的棱44GC的中点.求

证：四边形是平行四边形.

［证明］设0是如的中点，连接园，QG,如图.

是的中点，0是㈤的中点，

EQ糠A\D\.

又在矩形4BCB中，A中缺BC,

:.EQ糠BC.

...四边形面G5为平行四边形，.•.8£^GQ.

又。，尸分别是〃几GC的中点，

四边形G/圻为平行四边形.

:CQ懒DF.:.RE糠DF.

四边形6瓦圻为平行四边形.

|金版点睛

证明空间中两条直线平行的方法

(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行

线分线段成比例定理等)来证明.

(2)利用基本事实4即找到一条直线c,使得a〃c,同时6〃c,由基本事实4

得到allb.

［跟踪训练1］如图，已知反夕分别是正方体力腼-45G〃的棱44,CQ

的中点，求证：四边形砌以是菱形.

证明如图所示，在正方体48口一48«〃中，取棱85的中点C,连接CG

EG.

因为反G分别为棱44,85的中点，所以反湫4a.

又A、B版皿所以£6^G〃，

从而四边形仇麓〃为平行四边形，所以〃£^GG.

因为凡。分别为棱CC，阳的中点，所以C/嚓从而四边形8阳夕为平

行四边形，所以班'^GG,

又D\E^C、G,所以以即,

从而四边形砌以为平行四边形.

不妨设正方体ABCHBC以的棱长为a,易知BE=BF=^a,

故平行四边形所必是菱形.

题型二等角定理的应用

例2如图，三棱柱/8C—45G中，轨MP分别为44,BBX,CG的中点.求

证：/MC、N=NAPB.

［证明］因为从尸分别是曲，阳的中点，所以曲僦GR所以四边形8阳”

为平行四边形，所以GV〃理同理可证G物〃仍又/欣W与乙4处方向相同，所

以4MC、N=/APB.

金版点睛

运用等角定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的

方向是否相同；二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为

钝角则相等，反之则互补.

[跟踪训练2]在正方体被办一4AG〃中，P,Q,M,N分别为力〃，AB,

AG的中点，求证：A.P//CN,AXQ//CM,宜/PA、Q=NMCN.

证明如图，取45的中点《，连接用T,6仅易知四边形助仍。为平行四边形,

：.CM//BK.

又K,0分别为4A，48的中点,

.•.44〃80且A、K=BQ,

四边形4胸为平行四边形.

：.A,Q//BK,由基本事实4有40〃

同理可证4尸〃由于与N,必V对应边分别平行，且方向相反.

"PA\Q=/MCN.

随堂水平达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.已知角a的两边和角£的两边分别平行，且。=80°,则£=()

A.80°B.100°

C.80°或100°D.不能确定

答案c

解析由等角定理可知，a=£或a+£=180°,，£=100°或£=80°.

2.已知空间四边形力交9,E,，分别是49的中点，F,G分别是"，CD

上的点，且除普=*则四边形母切的形状是（）

CDCU6

A.空间四边形

B.平行四边形

C.矩形

D.梯形

答案D

12

解析在△/劭中可得露〃劭，EH=~BD,在ACBD中可得FG〃BD,FG=­BD,

4O

所以外人；平行且不相等，所以四边形必ZW是梯形.

3.若空间中四条两两不同的直线7,,12,13,7.o满足Z_LA，k，731

人则下列结论一定正确的是（）

A.7,17,,

B.1J/1,

C.Z与/，既不垂直也不平行

D.乙与乙的位置关系不确定

答案D

解析在如图所示的长方体中，不妨设A为直线44,区为直线CC,则直线

L，乙可以是BC,此时也可以是4?,CD,此时，〃/；也可以是48,

BC,此时）与乙异面,故选D.

c,

4.如图，在正方体力aZ—中，点£,尸分别在4〃4。上，且4£=

2ED,CF=2FA,则如与8〃的位置关系是.

答案平行

解析连接〃£并延长，与交于点乱则△切吐△〃/£,因为4£=2&7,

所以M为助的中点.连接跖并延长，交助于点N,同理可得，”为助的中点.所

肱

1竺r1

又,MEMF.

-即=-/z

初2r2所以历=9所以EF〃BD\.

5.如图所示，不共面的三条射线力，OB,0C,点4,B\,G分别是如，0B,

0A\OB、0C\

%上的点，且・求证：

0A~0B~~OC

证明在△物6中，

因为粤=黑，所以

(J/1VD

同理可证4c〃1C,B.CJ/BC.

所以/。45=/。尻/A\BC=/ABC.

所以况：

课后课时,精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

A级€学考水平合格练

一、选择题

1.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，46与切的位置关系为

()

A.相交B.平行

C.异面D.重合

答案B

解析将展开图还原为正方体，如图所示.故选B.

c

2.在正方体/式》—484〃中，E,6分别是平面44〃。、平面CG〃〃的中心,

G,〃分别是线段比'的中点，则直线）与直线做的位置关系是（）

A.相交B.异面

C.平行D.不确定

答案C

解析连接CD{,AC,则反尸分别为/〃，勿的中点.由三角形的中位

线定理，知EF〃AC,GH//AC,所以跖〃以故选C.

3.给出下列命题:

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

②如果两条相交直线和另两条直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角（或

直角）相等;

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补.

其中正确的命题有（）

A.0个B.1个

C.2个D.3个

答案B

解析对于①，这两个角也可能互补，故①错误；②显然正确；对于③，如

图所示，BCLPB,ACLPA,的两条边分别垂直于/在？的两条边，但这两个

角不一定相等，也不一定互补，故③错误.所以正确的命题有1个.

4.如图所示，在空间四边形力腼中，点反〃分别是边力8,力〃的中点，点

F,G分别是边以7,切上的点，且与=3=,，则下列说法正确的是（）

A.EF与阳平行

B.EF与GH异面

C.跖与阳的交点〃可能在直线4c上，也可能不在直线力。上

D.）与阳的交点"一定在直线4。上

答案D

解析连接融距因为凡G分别是边比；切上的点，且/=2=|,所以

CDC/76

2

GF//BD,&GF=~BD.因为点E,〃分别是边AB,4?的中点，所以EH〃BD,&EH

=加,所以刖/GF,&EH^GF,所以跖与切相交，设其交点为乱则四平面

力比MG平面4az又平面平面力冷偌所以物在直线M上.故选D.

5.（多选）如图，在四面体力一久》中，轨MP,Q,£分别是4?,BC,CD,

AD,4。的中点，则下列说法中正确的是（）

MQ

%:I)

B

A.M,N,P,0四点共面

B.乙QME=4CBD

C.XBC"XMEQ

D.四边形.，粉河为梯形

答案ABC

解析由中位线定理，易知MQ//BD,ME//BC,QE//CD,NP〃BD.为于A,有

MQ//NP,所以乱N,P,0四点共面，故A说法正确；对于B,根据等角定理，得

/QME=/CBD,故B说法正确；对于C,由等角定理，知NQ3NC切，/MEQ=

乙BCD,所以△aM△，监Q,故C说法正确.由三角形的中位线定理，知,网触;勿,

NP^BD,所以MQ^NP,所以四边形网制为平行四边形，故D说法不正确.选

ABC.

二、填空题

6.在三棱锥夕一48c中，PBLBC,E,D,尸分别是48,PA,力。的中点，则/

DEF=.

答案90°

解析由题意可知施〃如，EF//BC,所以/废产=/%。=90°.

7.已知a,b,c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：

①若a//b,b//c,则a//c；

②若a与6相交，8与c相交，则a与c相交；

③若au平面a,Z?u平面B,则a,，一定是异面直线；

④若a,b与c成等角，则a//b.

其中正确的是―（填序号）.

答案①

解析由基本事实4知①正确；当a与，相交，8与c相交时，a与c可能相

交、平行，也可能异面，故②不正确；当au平面a,6U平面6时，a与人可

能平行、相交或异面，故③不正确；当a,8与c成等角时，a与6可能相交、平

行，也可能异面，故④不正确.故正确说法的序号为①.

8.〃是△46。所在平面外一点，D,£分别是△乃⑸△如。的重心，AC=a,

则龙的长为—.

答案!.3

O

解析如图，•••〃，E分别为APAB,△皈的重心，连接外，PE,并延长分

别交46,BC于M,N点,则弘/V分别为相，切的中点，

31

:.DE%MN,MN崛AC,

O乙

/.DE^~AC,DE=^a.

三、解答题

9.如图，在正方体力颇一43G〃中，M/分别是棱A9和4〃的中点.

求证：（1）四边形为平行四边形；

（2）ZBMC=/BMC、.

证明（1）在正方形/㈤4中，弘幽分别为/〃，4。的中点，.•工圈^力忆

四边形41幽4是平行四边形，.•.44MM

又AM触BB:

二四边形防助"为平行四边形.

⑵由⑴知四边形的明〃为平行四边形，

同理可得四边形CGM，"为平行四边形，

:.CM〃CM.

由平面几何知识可知，

N8必和N5掰G都是锐角.

，ABMC=ABM.

10.如图，在正方体46切一4AG〃中，点6,F,G分别是46,做，6。的中

点.求证：4EFGS△（；".

证明如图，连接6c

因为点G,尸分别为8G班的中点，所以尸

又因为ABCD-A.BM为正方体，

所以5^仍AB缺AB,

由基本事实4知，C9AB，

所以四边形45缪为平行四边形，

所以4〃触8c

又因为3%跖，由基本事实4知，A.D//FG.

同理可证：A.CJ/EG,DCJ/EF.

又因为N/HG与NR况/ADG与/GFE,N〃CM与/闽7的两边分别对应平

行且均为锐角，

所以N的C=Nb%/A\DC、=NGFE,NDCA=4FEG.

所以△必

B如》学考水平等级练

1.（多选）在四棱锥/一式施中，底面四边形式施为梯形，BC〃DE.设.CD,

BE,AE,力〃的中点分别为弘N,P,Q,则（）

1

A.PQ=W

B.PQ//MN

C.M,N,P,0四点共面

D.四边形，例也是梯形

答案BCD

解析由题意知PQ=^DE,

aDE中MN,所以的娜故不正确；又留〃

乙4乙A

DE,DE//MN,所以气〃,娜又P/MN,所以B,C,D正确.

2.已知£,F,G,〃分别为空间四边形力腼的棱48,BC,CD,物的中点，

若对角线劭=2,AC=4,则加+肺的值是（）

A.5B.10

C.12D.不能确定

答案B

解析如图所示，由三角形中位线的性质，可得FG^BD,再根

据基本事实4可得四边形瓯以为平行四边形，所以/HEF+/EHG=n,又因为E,

F,G