2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试卷

2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试卷一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．（5分）若，则的值是A．1 B．0 C． D．22．（5分）定义：定点与上任意一点之间的距离的最小值称为点与之间的距离．现有一矩形（如图），，，与矩形的边，，分别切于点，，，则点与的距离为A． B． C． D．3．（5分）某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，，50．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”．如果令其中，2，，50；，2，，50．则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为A． B． C． D．4．（5分）若，则一次函数的图象必定经过的象限是A．第一、二象限 B．第一、二、三象限 C．第二、三、四象限 D．第三、四象限5．（5分）满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个6．（5分）如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，，那么的长等于A．12 B．16 C． D．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．（6分）函数，当时，有最小值，最小值等于．8．（6分）以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为．9．（6分）如图，中，的平分线交于，若，，，则的长为．10．（6分）设，，，，为实数，且满足．，则的值是．11．（6分）正六边形轨道的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从，两点同时出发，均按方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米秒，乙的速度为8厘米秒，那么出发后经过秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．（6分）正整数的个位上的数字与数的个位上的数字相同，把的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数．若是的4倍，是的最小值，则的各位数字之和等于．三、解答题（共4小题，满分54分）13．（12分）附加题：已知二次函数的图象和轴有且只有一个交点，与轴的交点为，且．（1）求该二次函数的解析表达式；（2）将一次函数的图象作适当平移，使它经过点，记所得的图象为，图象与的另一个交点为，求的面积．14．（12分）如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：．15．（14分）2007个质点均匀分布在半径为的圆周上，依次记为，，，．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第个质点，则下次就涂第个质点后面的第个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂点方案；若不能，请说明理由．16．（16分）从连续自然数1，2，3，，2008中任意取个不同的数，（1）求证：当时，无论怎样选取这个数，总存在其中的4个数的和等于4017．（2）当是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由．

2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．（5分）若，则的值是A．1 B．0 C． D．2【分析】对所给的条件进行化简，可得，把求得的代入所求式子计算即可得到答案．【解答】解：由，得，，而，，解得，所以．故选：．【点评】本题考查了因式分解的应用；对已知条件进行化简得到是正确解答本题的关键，计算最后结果时要注意最后余一个不能抵消，最后结果为．2．（5分）定义：定点与上任意一点之间的距离的最小值称为点与之间的距离．现有一矩形（如图），，，与矩形的边，，分别切于点，，，则点与的距离为A． B． C． D．【分析】连接，，根据题目定义知道就是点与的距离，由切线的性质，可求出，进而求出；由勾股定理求出，减去的半径即得距离．【解答】解：连接，，、，交于点，是矩形，与矩形的边，，分别切于点，，，，四边形、四边形均为正方形，；，，，，点与的距离为．故选：．【点评】此题主要考查学生对切线的性质及勾股定理的理解及运用．3．（5分）某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，，50．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”．如果令其中，2，，50；，2，，50．则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为A． B． C． D．【分析】根据题意，先写出同意第1号同学当选的同学，再写出同意第50号同学当选的同学的人数，结合题意克制同时同意第1，50号同学当选的人数它们对应相乘再相加．【解答】解：第1，2，，50名学生是否同意第1号同学当选依次由，，，，来确定表示同意，表示不同意或弃权），第1，2，，50名学生是否同意第1号同学当选依次由，，，确定，而是否同意1，50号同学当选依次由，，，确定，故同时同意1，50号同学当选的人数为，故选：．【点评】本题主要考查了推理与论证，关键是读懂题意，从中获取有用的信息，解答此题的关键是根据题意表示出同意第1号同学当选的同学和同意第50号同学当选的同学的人数．4．（5分）若，则一次函数的图象必定经过的象限是A．第一、二象限 B．第一、二、三象限 C．第二、三、四象限 D．第三、四象限【分析】先根据等式求出的值，从而得到一次函数的解析式，再根据一次函数的性质分析经过的象限即可．（注意有两种情况）．【解答】解：由已知得；；，三式相加得：，①当时，；②当时，，．一次函数为或，过第一、二、四象限；过第一、二、三象限；一次函数的图象必定经过的象限是第一、二象限．故选：．【点评】此题考查了学生的综合应用能力，首先根据比例的基本性质求得的值，再根据一次函数的性质求得结果．5．（5分）满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个【分析】根据已知条件设直角三角形的两条直角边长为，，则，，均为正整数），化简这个式子，讨论、、的正整数解即可．【解答】解：设直角三角形的两条直角边长为，，则，，均为正整数），化简，得，，，均为正整数．则和一定是整数，则一定是8的约数．或．解得或或即有3组解．故选：．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，根据已知列式子是关键．6．（5分）如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，，那么的长等于A．12 B．16 C． D．【分析】在上取一点，使，连接，可证得，从而得到，再可证是等腰直角三角形，根据求出，也就求得．【解答】解：在上取一点使，连接，，，，即：是等腰直角三角形，（勾股定理）．故选：．【点评】本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．（6分）函数，当时，有最小值，最小值等于．【分析】先分类讨论的取值范围，然后根据一次函数的性质即可得出答案．【解答】解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，当时，，当时，，所以当时，的值最小，最小值为2．故答案为：2【点评】本题考查了一次函数的性质和绝对值的定义，难度不大，关键是分类讨论的取值范围，然后根据一次函数的性质求解．8．（6分）以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为8．【分析】根据立方体的性质和正三角形的定义可知，以正方形的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的各边为正方体各面的对角线，依次数出即可．【解答】解：如图所示：正三角形的各边必为立方体各面的对角线，有，，，，，，，共8个正三角形．故答案为：8．【点评】本题结合正方体考查了正三角形的判定，注意按顺序依次数出正三角形的个数，做到不重复不遗漏．9．（6分）如图，中，的平分线交于，若，，，则的长为．【分析】过作，交的延长线于点，作交于点．易证是等腰三角形，根据三角函数即可求得底边，再根据，证得，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．【解答】解：过作，交的延长线于点，作交于点．，，而，，，．在直角中，，．，设，则．而，．解得：．．【点评】本题求线段的长的问题可以转化为三角形相似的问题解决，正确作出辅助线是解题关键．10．（6分）设，，，，为实数，且满足．，则的值是或1．【分析】根据一元二次方程的求根公式求解．【解答】解：则则，则．由得则，【点评】主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．11．（6分）正六边形轨道的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从，两点同时出发，均按方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米秒，乙的速度为8厘米秒，那么出发后经过秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．【分析】由题意可得当时，甲走，到边，距点为，乙走，到边，距点为，则当甲到时，即再走时，即可求得答案．【解答】解：正六边形轨道的周长为，每边，甲乙相距，甲的速度为，乙的速度为，相对速度为，当时，甲走，到边，距点为，乙走，到边，距点为，则当甲到时，即再走时，即共走秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．故答案为：．【点评】本题考查了规律性问题应用，利用甲乙行走路程得出位置是解题关键．12．（6分）正整数的个位上的数字与数的个位上的数字相同，把的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数．若是的4倍，是的最小值，则的各位数字之和等于36．【分析】先求出的个位数字，再设，可得出的表达式，再把即可用表示出，再把时求出的最小值，得出所表示的数，进而可求出答案．【解答】解：的个位数字是7，可设，其中是位正整数，．由条件，得，即，当时，取得最小值17948．，它的各位数字之和为36．故答案为：36．【点评】本题考查的是尾数的特征及整数的十进制表示法，由的个位数字是7设出，得出与之间的关系式是解答此题的关键．三、解答题（共4小题，满分54分）13．（12分）附加题：已知二次函数的图象和轴有且只有一个交点，与轴的交点为，且．（1）求该二次函数的解析表达式；（2）将一次函数的图象作适当平移，使它经过点，记所得的图象为，图象与的另一个交点为，求的面积．【分析】（1）根据二次函数与轴只有一个交点，可得出△，然后将点坐标代入抛物线，联立△和即可求出抛物线的解析式．（2）根据抛物线的解析式可求出点的坐标，设出平移后的直线的解析式，然后将点坐标代入即可求出平移后图象的解析式，然后联立直线和抛物线即可求出点的坐标．由于的面积无法直接求出，可转换成其他规则图形面积的和差来求解．过作轴的垂线，可通过来求出的面积．【解答】解：（1）由得，．与轴的交点，，由条件，得，即．所以．解得．所求二次函数的解析式为．（2）设图象的函数解析式为，因图象过点，所以，即平移后所得一次函数的解析式为．令，解得，．将它们分别代入，得，．所以图象与的另一个交点为．如图，过作轴于，则．【点评】命题立意：考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．点评：（1）函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．（2）不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．14．（12分）如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：．【分析】根据已知的平行线，可以通过延长已知线段构造平行四边形．根据平行四边形的性质得到比例线段，再根据等式的性质即可得出等量关系．【解答】证明：延长、，设交点为，则四边形为平行四边形，是的中点，的延长线必过点，且．，．，．．又，．，．．．即．【点评】综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理．15．（14分）2007个质点均匀分布在半径为的圆周上，依次记为，，，．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第个质点，则下次就涂第个质点后面的第个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂点方案；若不能，请说明理由．【分析】解答此题的关键是根据“某次涂到第个质点，则下次就涂第个质点后面的第个质点”的规则，从而得到，然后找出这些点中的关键点，从而使问题迎刃而解．【解答】解：不能．理由：设继点涂成红色后被涂到的点是第号，则，若，则，即除点涂成红色外，其余均没有涂到．若，则，且，即，表明点永远涂不到红色．不论是否等于2007，都不能将所有质点均涂成红色．【点评】本题主要考查了推理与论证，关键是读懂题意，从中获取有用的信息．16．（16分）从连续自然数1，2，3，，2008中任意取个不同的数，（1）求证：当时，无论怎样选取这个数，总存在其中的4个数的和等于4017．（2）当是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由．【分析】（1）利用抽屉原理，首先，将1，2，3，，2008分成1004对，每对数的和为2009，可得至少有一个数是1001的数对，至多为1001对，即可得至少有3对数，其次将这2008个数中的2006个数（除1004、2008外）分成1003对，每对数的和为2008，可得2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是，，，中的4个数，在三对数，，，，，，，，互不相等）中至少存在1对数中的两个数与