课标专用5年高考3年模拟A版2024高考数学第五章平面向量1平面向量的概念及线性运算平面向量的基本定理试题文

PAGEPAGE10第五章平面对量【真题典例】§5.1平面对量的概念及线性运算、平面对量的基本定理挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预料热度考题示例考向关联考点平面对量的线性运算及其几何意义①理解平面对量的有关概念及向量的表示方法;②驾驭向量加法、减法、数乘的运算,理解其几何意义;③理解两个向量共线的含义;④了解向量线性运算的性质及其几何意义2024课标全国Ⅰ,7,5分平面对量的线性运算—★★☆2024课标全国Ⅱ,4,5分平面对量的有关概念垂直、平行、模长的关系2024课标Ⅰ,6,5分平面对量的线性运算—平面对量基本定理及向量的坐标运算①了解平面对量基本定理及其意义;②驾驭平面对量的正交分解及其坐标表示;③会用坐标对向量进行线性运算;④理解用坐标表示的平面对量共线的条件2024课标全国Ⅲ,13,5分平面对量的坐标运算两向量平行的充要条件★★☆2024课标全国Ⅱ,13,5分平面对量的坐标运算两向量平行的充要条件2024课标Ⅰ,2,5分平面对量的坐标运算—分析解读从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面对量基本定理、向量的坐标运算等学问是平面对量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面对量基本定理是高考的重点与热点,要娴熟驾驭.破考点【考点集训】考点一平面对量的线性运算及其几何意义1.(2024河北唐山二模,4)已知O是正方形ABCD的中心.若DO=λAB+μAC,其中λ,μ∈R,则λμA.-2 B.-12C.-2 D.2答案A2.(2024吉林调研,8)已知a,b是不共线的非零向量,AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则λ,μ的关系肯定成立的是()A.λμ=1 B.λμ=-1C.λ-μ=1 D.λ+μ=2答案A3.(2025届广东普宁一中10月月考,9)在△OAB中,若点C满意AC=2CB,OC=λOA+μOB,则1λ+1A.13 B.23 C.2答案D考点二平面对量基本定理及向量的坐标运算1.(2024河北衡水中学五调,8)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是()A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)答案D2.(2025届湖北重点中学第一次联考,5)已知向量a=(-2,1),b=(-1,3),则()A.a∥b B.a⊥bC.a∥(a-b) D.a⊥(a-b)答案D3.(2024河北武邑中学期中,8)已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λμA.233C.3 D.23答案A炼技法【方法集训】方法1向量共线问题的求解方法1.(2024福建漳州二模,5)已知点C(1,-1),D(2,x),若向量a=(x,2)与CD的方向相反,则|a|=()A.1 B.2 C.22 D.2答案C2.(2024河北石家庄二中月考,7)M是△ABC所在平面内一点,23MB+MA+MC=0,D为AC的中点,则A.12 B.13答案B3.(2024福建福州3月质检,6)设向量OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则1a+2A.4 B.6 C.8 D.9答案C方法2利用平面对量基本定理解决问题的方法1.(2024陕西部分名校摸底考试,7)如图,在△ABC中,AN=14NC,P是BN上一点,若AP=mAB+A.911 B.211 C.3答案D2.(2024天津和平一模,5)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA=λCE+μDB(λ,μ∈R),则λ+μ的值为()A.65 B.85 C.2答案B3.(2024河南中原名校4月联考,7)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若DE=λAB+μAD(λ,μ为实数),则λ2+μ2=()A.58 B.14 C.1答案A过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一平面对量的线性运算及其几何意义1.(2024课标全国Ⅰ,7,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=()A.34AB-14ACC.34AB+14AC答案A2.(2024课标全国Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满意|a+b|=|a-b|,则()A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b|答案A3.(2024课标Ⅰ,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=()A.AD B.12AD C.BC答案A考点二平面对量基本定理及向量的坐标运算1.(2024课标Ⅰ,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=()A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)答案A2.(2024课标全国Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=.

答案-6B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一平面对量的线性运算及其几何意义(2024福建,10,5分)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内随意一点,则OA+OB+OC+OD等于()A.OM B.2OM C.3OM D.4OM答案D考点二平面对量基本定理及向量的坐标运算1.(2024四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=()A.2 B.3 C.4 D.6答案B2.(2024福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于()A.-32 B.-53 C.5答案A3.(2024广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则AD·AC=()A.5 B.4 C.3 D.2答案A4.(2024湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9答案B5.(2024山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=.

答案-3C组老师专用题组考点一平面对量的线性运算及其几何意义(2013四川,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB+AD=λAO,则λ=.

答案2考点二平面对量基本定理及向量的坐标运算1.(2024广东,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=()A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3)答案B2.(2024北京,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=()A.(5,7) B.(5,9)C.(3,7) D.(3,9)答案A3.(2013广东,10,5分)设a是已知的平面对量且a≠0.关于向量a的分解,有如下四个命题:①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc;④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc.上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案B4.(2024陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上,且OP=mAB+nAC(m,n∈R).(1)若m=n=23,求|OP(2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.解析(1)∵m=n=23,AB=(1,2),AC∴OP=23(1,2)+2∴|OP|=22+2(2)∵OP=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),∴x=令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.【三年模拟】时间:45分钟分值:65分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2025届湖南顶级名校摸底考试,4)如图,已知AB=a,AC=b,BC=4BD,CA=3CE,则DE=()A.34b-13a C.34a-13b D.答案D2.(2024辽宁六校协作体期中联考,4)设非零向量a,b,下列四个条件中,使a|a|A.a∥b B.a=2bC.a∥b且|a|=|b| D.a=-b答案B3.(2025届宁夏顶级名校10月联考,10)已知向量OA=(3,1),OB=(-1,3),OC=mOA-nOB(m>0,n>0),若m+n=1,则|OC|的最小值为()A.52 B.102 C.5答案C4.(2025届安徽皖中名校10月联考,9)在△ABC中,点D是AC上一点,且AC=4AD,P为BD上一点,向量AP=λAB+μAC(λ>0,μ>0),则4λ+1A.16 B.8 C.4 D.2答案A5.(2024江西宜春联考,11)设O是平面上肯定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满意OP=OA+λAB|AB|cosBA.外心 B.内心 C.重心 D.垂心答案D6.(2025届河北邯郸重点中学9月联考,11)给定两个长度为1的平面对量OA和OB,它们的夹角为120°,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若OC=xOA+yOB,则x+y的最大值是()A.12 B.1 C.3答案D二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2024中原名校9月联考,15)如图,在△ABC中,点M是BC的中点,N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,则|AP||答案48.(2025届广东惠州第一次调研,13)已知向量a=(2,1),b=(x,-1),且a-b与b共线,则x的值为.

答案-29.(2025届广东深圳外国语学校10月模拟,15)已知a,b是两个不共线的非零向量,且a与b起点相同.若a,tb,13(a+b)三向量的终点在同始终线上,则t=答案1三、解答题(共20分)10.(2024湖北重点中学协作体联考,18)在边长为1的正三角形ABC中,设e1=AB,e2=AC,点D满意BD=12(1)试用e1,e2表示AD;(2)若a=xe1+ye2(x,y∈R,且x≠0),求|x解析(1)由题知BD=13∴AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC=2(2)∵x,y∈R,且x≠0,∴|x||a=11+yx故当yx=-12时,|x11.(2024河南许昌、平顶山两市联考,21)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M为平面上随意一点,A,B,C三点满意MC=13MA+(1)求证:A,B,C三点共线,并求|BA(2)已知A(1,sinx),B(1+sinx,sinx),M1+23sinx,sinx,x∈(0,π),且函数f(x)=OA·OM解析(1)∵MC=13MA+∴MC-MB=13(MA-MB∴BC=13BA.又∵BC,∴A,B,C三点共线.∵BC=13BA,∴(2)∵A(1,sinx)