高中数学同步指导试卷苏教版（2019）必修第二册解三角形1

高中数学同步指导试卷苏教版（2019）必修第二册解三角形

一、单选题

1.如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB,某人先在塔的正西方

点C处测得塔项的仰角为45°,然后从点C处沿南偏东30。方向前进60m到达点D

处，在。处测得塔项的仰角为30。，则铁塔4B的高度是（）

C.25mD.15m

2.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角

形面积的方法“三斜求积术”，即AABC的面积S=£,其中

VlsinB

dc分别为AABC的内角A,8,C的对边，若6=1,且tanC=则的

1-\/2cosB

面积的最大值为（）

V2V3

A.B.也C.D.6

22

若/=/+/+而，

3.在△ABC中,则NC二（).

A.60°B.120°C.135°D.150°

4.东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东

一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，"双塔烟雨成为明

清时的“昆明八景”之一.东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做

成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称.如图，从东到西的公路上有相距80（单

位：m）的A3两个观测点，在A点测得塔在北偏东60。的点。处，在5点测得塔在北

偏西30。，塔顶C的仰角为45。，则塔的高度8约为（

c

A.40mB.37mC.35mD.23m

5.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c2+b2cos2A=2bccosA,则

△ABC为（

A.等腰非等边三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

6.44SC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8>则AABC的面积为()

A.正B.好

33

「2拒n2直

X_z.-----------\J.----------

33

7.设AABC的三个内角A,民C满足23=A+C,又sin28=sinAsinC,则这个三角形

的形状是()

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.钝角三角形

8.已知在锐角AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=g,则巴三幺的

3a

取值范围是()

A.由]B.(0,3]C.[Q]D.序2

二、多选题

9.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则()

JI

A.若2cosC(acosB+bcosA)=c,则C=不

B.若2cosc(〃cosB+/7cosA)=c,则C==

6

c.若边BC的高为也a,则当1+2取得最大值时，

6be3

D.若边2C的高为3a,则当［+2取得最大值时，A=J

6be6

10.已知分别是△ABC三个内角A民。的对边，下列四个命题中正确的是

()

A.若△ABC是锐角三角形，则sinA>cosB

B.若々854=6以)5区，贝!J△ABC是等腰三角形

C.若bcosC+ccosB=Z?,则△ABC是等腰三角形

D.若AABC是等边三角形，则二=々=三

cosAcosBcosC

11.在44BC中，角A、B、C的对边分别是a,b,c且

sin(3+C)+2sinAcos8=0.若6=2,有下列说法：①8=三；②A的取值可以为：；

③AABC的面积没有最小值；④AABC的面积的最大值为亚，其中正确说法为

3

()

A.①B.②C.③D.@

12.在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,则下列结论中正确的是

()

A.在锐角三角形ABC中，不等式加+。2一/>0恒成立

B.若tanA+tan8+tanC>0则AABC为锐角三角形

C.若acos2=bcosA+c,则AABC一定是直角三角形

D.若cos。］：宇，则AABC一定是锐角三角形

22c

第H卷(非选择题)

请点击修改第II卷的文字说明

三、填空题

13.如图，在单位圆中，P(l,0),A/、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，若

S&PON=当,&WON为等边三角形，贝Ijsin/POM=.

14.中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,若面积为还，。=120。，

2

且a+>=5,贝!Jc=.

2

15.在AABC中，cosC=§,AC=4,BC=3,则cosA=.

16.在AABC中，ZA=60°,AB=1,AC=2,则BC=.

四、解答题

17.在①sin8=gsinA;@bcosC+ccosB=2cosB；③csin8=2j5,这三个条件中

任选一个，补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形的周长；若问题中

的三角形不存在，请说明理由.设44BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

sinA+sin(B-A)=sinC,人=石，.

18.如图，四边形ABCD内接于一个圆中，其中即为直径，AB=4,BC=3,

兀

NABC=—.

3

(1)求BO的长；

⑵求△ACD的面积.

19.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c'+Z^cos2A=26ccosA.

⑴求A

(2),若问题中的三角形存在，试求出cosC；若问题中的三角形不存在，

请说明理由.

在①°=36+3c,®b=—a+—c,走”这三个条件中任选一个，补

332222

充在横线上.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

20.如图，为测量河对岸A,B两点的距离，在河的这边取C,D两点观察，测得

CD=73km,ZADB=45°,ZADC=3O°,ZACB=15°,ZDCB=45。（A,B,C,D

在同一平面内），求48两点之间的距离.

21.如图，已知。。的半径为K,△他C为其内接等边三角形，求AABC的边长和

的外接圆半径.

22.如图，一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东

20。方向上，30min后航行到2处，在2处看灯塔S在船的北偏东60。方向上，求灯塔S

到B处的距离（精确到O.lnmile,参考数据：sin20°»0.342,sin40。20.643）.

20°

参考答案：

1.B

【解析】

【分析】

计算得到3c=〃，BD=43h,在△3CD中利用余弦定理计算得到答案.

【详解】

设塔高AB的高度为/?,在RTAABC中，因为ZACB=45。，所以3C=〃；

在RTAABD中，因为NAD3=30。，所以=瓜;

在△BCD中，NBCD=60°,BC=h,BD=Qh,

根据余弦定理可得，BD2=BC2+CD2-2BC-CDCOS60°,

BP(V3/z)2=/i2+602-2/zx60x1,解得/?=30或/z=-60(舍去).

故选：B.

2.A

【解析】

【分析】

母sinB

先根据tanC=求出。关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值.

1-A/2COSB

【详解】

及sinB

因为tanC=所以sinC=y/2sinCcosB+A/2COSCsinB,

l-V2cosB

即sinC=^2sin(C+B)=及sinA；

由正弦定理可得°=缶，所以S=J；a2c2_fb]]=；“+6/_]

=；/(。2—3)2+8；

当°=百时，S取到最大值巫.

2

故选：A.

3.B

【解析】

答案第1页，共12页

【分析】

结合余弦定理求得正确答案.

【详解】

由d++加+ab,得"+”/=一血8SC="U=^T，

由于0°<C<180°,所以0=120。.

故选：B

4.A

【解析】

【分析】

根据给定信息作出图形，在直角三角形中直接计算作答.

【详解】

如1图，依题意，ZCDB=ZCDA=90°,ZCBD=45,ZBAD=30,ZABD=60,

于是得ZADB=90°,BD=ABcosZABD=80cos600=40,在RtABC。中，

CD=BD=40,

所以塔的高度CD约为40m.

故选：A

5.B

【解析】

【分析】

由条件可得C=6COSA,由正弦定理结合三角形中有sinC=sin（A+8）,利用正弦的和角公

式可得sinAcosB=0,从而可得出答案.

【详解】

由+（0cosA）~—2c6cosA=0,可得（c—6cosA）~=0,所以c=）cosA,

所以sinC=cosAsin/?.

答案第2页，共12页

在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,故sinAcosJ5=0,

TT

因为sinAwO,所以cos3=0,因为0<3(兀，所以8=耳，

故44BC为直角三角形.

故选：B

6.C

【解析】

【分析】

根据已知条件加111。+。51113=445也3$111。结合正弦定理边化角可得$1114,结合

b2+c2-a2=8和余弦定理可得cosA和加，根据三角形面积公式［besinA可得面积.

2

【详解】

*.*bsinC+csinB=4asinBsinC,sinBsinC>0,

结合正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,

可得sinA=g,："+。2_。2=8,

结合余弦定理a?=b2+c2-2bccosA可得2〃ccosA=8,

为锐角，且cosA=且，从而求得儿=还，

23

AABC的面积为5=工儿$出4=’・述」=马叵.

22323

故选：C.

7.B

【解析】

【分析】

TT

根据给定条件可得2=9，再利用正弦定理角化边，借助余弦定理计算判断作答.

【详解】

__TT

因AABC的三个内角A+3+C=;r,而23=A+C,则8=§,

又sin23=sinAsinC,由正弦定理得：护=ac,

由余弦定理廿=储+c?—2accosB得：ac—a2+c2—ac>整理得(a-c)2=0,即。=c,

△ABC是等腰三角形，

所以AABC是等边三角形.

答案第3页，共12页

故选：B

8.D

【解析】

【分析】

由正弦定理把b,c,"J表示为B的函数，然后利用二倍角公式，两角和与差的余弦公式

a"

变形，并结合余弦函数性质得范围.

【详解】

由正弦定理得一==—,则人=3&451113,c=N^~asinC,又A=f,贝!J

sinAsin6sine333

A2+24?

所以——r=-(sin25+sin2C)=—(1—cos23+1—cos2C)

a33

=---cos2B+-(-cos2B+—sin2B)=---(-cos2B--sin2B)=---cos(2B+-),

333223322333

Ti71-..27r_7147r-.,TC।1

—<5<—，所rr以丁<23+；<下，所rr以-iW1cos128O+7|<—彳，

62333Vi)2

5b1+c2c

所CCH以I一<——<2.

3a2

故选：D.

9.AC

【解析】

【分析】

根据正弦正理、三角形面积公式，结合余弦定理和辅助角公式进行判断即可.

【详解】

因为在AABC中，0<C<兀，所以sinC/)对于A,B,利用正弦定理得2cosc(sinAcos3+

sinBcosA)=sinC,整理得2cosCsin(A+B)=sinC,即2cosCsin[^—(A+B)]=sinC,

17T

BP2cosC-sinC=sinC,又sin。/),所以cosC=不，所以。=—,故A正确，B错误.

23

对于C,D,由等面积法得;xKZ〃2=JbcsinA,所以〃2=2上匕csinA,

262

又〃+/=/+2/JCCOSA=26bcsinA+2Z?c-cosA,

答案第4页，共12页

则9+2=匕£1=2岔sinA+2cosA=4sin（A+工）W4,当且仅当A+[=2+2而，k^Z,

bebe662

TTchTC

即4=丁+2版，kez时，—H—取得最大值4,又0<4<兀，所以&=丁.故C正确，D错误.

3be3

故选：AC

10.ACD

【解析】

【分析】

利用诱导公式及正弦函数的性质可判断A,由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可

判断B,由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C,利用正弦定理化边为角

结合同角三角函数基本关系可判断D.

【详解】

对于A,因为AABC是锐角三角形，所以A+^W，所以sinA>sin[T，即

sinA>cosB,故A正确；

对于B,由acosA=〃cos5及正弦定理，可得sinAcosA=sin5cos5,即sin2A=sin25,

TT

所以2A=23或2A+23=»,所以A=3或A+3=,,所以AABC是等腰三角形或直角三

角形，故B错误；

对于C,由匕85。+。858=/?及正弦定理化边为角，可知5也385。+$111。8$3=$1113,

即sinA=sinB,因为48为AABC的内角，所以A=5,所以AABC是等腰二角形，故C正

确;

对于D,由AABC是等边三角形，所以A=B=C,所以tanA=tan3=tanC,由正弦定理

a_b_c

,故D正确.

cosAcosBcosC

故选：ACD.

11.BCD

【解析】

【分析】

9元一

根据已知条件结合Be（0,兀）可得8=（兀可判断①；由0<4<三可判断②；由余弦定理结合

基本不等式求出ac的范围，再由三角形的面积公式计算面积可判断③④，进而可得正确选

项.

【详解】

答案第5页，共12页

由sin(B+C)+2sinAcosB=0,得sinA+2sinAcos3=0,即sinA-(l+2cos3)=0,

17

因为sinAwO,所以l+2cos5=0,即cos3=-],又因为Be(O,兀)，所以5=§兀，故①不

正确；

因为A+C=7i-5=所以0<A<],故A的取值可以为：，故②正确；

由余弦定理可得〃=a2+c2-2accosB=a2+c2—=a2+c2+ac>lac+ac=3ac,

所以=所以S^c=—CICsinB=-x^-ac<^-x—=^-,

33aABC222433

即AABC面积的最大值是"，无最小值.故③，④正确；

3

故选：BCD.

12.ABC

【解析】

【分析】

直接利用三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用进一步判定

结果.

【详解】

解：对于A：若44BC为锐角三角形，则A为锐角，所以cosA>0,由余弦定理

7,2,„2_„2

cosA=--------->0,所以故A正确；

2bc

-rr

对于B：假设AABC为钝角三角形，不妨设A>3，则tanA<0,

•：A+B+C=TI,

/.tanA+tanB+tanC=tanA+tan(B+C)(l-tanBtanC)=tanA+(-tanA)(l-tanBtanC)=tanAtanBtanC<0

与题设tanAtanBtanC>0矛盾.

又AABC不是直角三角形，直角没有正切值，.•.△ABC为锐角三角形，故B正确.

对于C,由余弦定理知，a-a2+f-b'=bb2+f~a2+c,化简整理得/=62+°2,.1△ABC

2ac2bc

为直角三角形，故C正确；

一丁一E、r2Ba+c.1+cosBa+c一_

对于D：因为cos工=二；一,所以-------=----,即c+ccos_B=a+c,故ccos5=a,

22c22c

^22_12

则由余弦定理可得C•区上二幺=a,整理得片+62=02,则AABC是直角三角形，故D

2ac

错误；

答案第6页，共12页

故选：ABC

13.£!##2&

1414

【解析】

【分析】

先根据三角形面积公式求出sinZPON,然后结合两角和与差的正弦公式求得答案.

【详解】

由题意，S/.、“V=-x1x1xsinZPON=7=>sinZPON=7,而点N在第二象限，所以

cosZPON=-li-苧=-1,因为/MON=g,所以

sinZPOM=sinfzPOA^-—=sinZPONx--cosZPONx^-=^^-x—+—.

I3J22727214

故答案为：巫.

14

14.719

【解析】

【分析】

先由三角形的面积求出必=6,再由余弦定理可求出结果

【详解】

由S=Labsinl20°=^^,得。6=6,

△ADC22

所以/=片+/-2Q6COS120。=(a+b)2-2ab+tz/?=25-6=19.

从而c=y/l9.

故答案为：-J19

15.2

3

【解析】

【分析】

由已知在44BC中利用余弦定理可得A8的值，可求AB=BC,可得A=C,即可得解

cosA的值.

【详解】

答案第7页，共12页

2

解：因为在&4BC中，cosC=-,AC=4,BC=3,

所以由余弦定理可得AB=VAC2+BC2-1AC-BC-cosC=^42+32-2x4x3x|=3,

所以AB=3C,即4=（7,

2

则cosA=cosC=—.

2

故答案为：y.

16.由

【解析】

【分析】

根据给定条件利用余弦定理计算作答.

【详解】

在44BC中，ZA=60°,AB=1,AC=2,由余弦定理得：

BC"=AB2+AC2-2AB-ACcosZA=I2+22-2x1x2cos60'=3,贝13c=6,

所以8C=g.

故答案为：V3

17.答案见解析.

【解析】

【分析】

根据sinA+sin（8-A）=sinC可求B的大小.

若选①：根据正弦定理角化边，由sinB=6sinA得6=&，根据余弦定理可求a和c；

若选②：根据余弦定理角化边，由Z?cosC+ccos3=2cosB可得。和2的关系，再结合余弦

定理可求a和c；

若选③：由csinB=2若可求c,再根据余弦定理可求a.

【详解】

在AABC中，C=7t-A-3,

sinC=sin（A+B）,

答案第8页，共12页

VsinA+sin（B—A）=sinC,sinA+sin（B—A）=sin（A+B）,

化简得sinA=2sinAcosB,在△ABC中，sinAwO,cosB=—,

2

7T

又・・,0<5<兀，=

又•：b=6,••b1=c^+C1—laccosB,a2+c2—ac=3

若选①，

,•*smB=y/3sinA,即6=也〃，

3^/+c?—etc=3,••tz=1>c=2,

故此时△ABC存在，其周长为3+6；

若选②，

・po»•Aa2+b2-c2a2+c2-b2

・PCOSC+ccosB=2cosB,..bx--------------+cx---------------=2cosB,

lablac

即Q=2cos5=2x；=1,

/+。2—ac=3,••c=2,

故此时△ABC存在，其周长为3+6；

若选③，

VcsinB=2y/3J1・。=4,

又:Q2+c?­。。=3,a2—4a+13=09

该方程无解，，三角形不存在.

18.(1)3。=^

3

⑵$"=乎・

O

【解析】

【分析】

(1)利用余弦定理可求得AC,利用正弦定理可求得结果；

(2)利用勾股定理可求得益＞,8,利用三角形面积公式可得结果.

(1)

在AABC中，由余弦定理得：

答案第9页，共12页

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=25-24cos1=13,解得：AC=V13,

AC屈—屈_25

设R为44SC外接圆半径，由正弦定理得：sinZABc=-£=

Sm3

pn…2屈

枝DD—---•

3

(2)

77

QBD为直径，NDAB=ZDCB=-,

AD=yjBD2-AB2=,CD=NBD2-BC。=半,又NADC=兀-

.„_1,n.人"_12百5百x/3_5x/3

a223326

71

19.(1)B=-

(2)答案见解析

【解析】

【分析】

(1)由正弦定理及正弦的两角和公式可求解；

(2)选择条件①，由正弦定理及辅助角公式可求解；选择条件②，由余弦定理及正切三角

函数可求解；选择条件③，由余弦定理可求解.

(1)

由<?+(bcosA)2-2cbeosA=0,可得(c-6cos=0,贝!Jc=bcosA.

sinC=cosAsinB,

在AABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

JI

则sinAcosB=0,*.*0<A<sinA0,cosB=0,*.*0<B<B=—.

(2)

选择条件①

a=^-b+^-c,在△ABC中，「［=-.%=_♦7,可得sinA=+^^sinC,

33smAsinBsine33

71

*.*B=­,sinA=cosC,

2

cosC=^-+^-sinC,6cosc-sinC=1,

33

答案第10页，共12页

根据辅助角公式，可得cos[c+£|=；,

TTTTTT

,*<0<C<7T,***CH--=—,即C=—,

636

故cosC=—.

2

选择条件②

由b=-a+^-c，得匕之=—a2+—C1+^-ac，

22442

=：.b2=a2+c2,因此，a2+c2=-a2+-c2+^ac,

2442

整理得3a2—2耳c+/=o,即(岛—c)2=0,则氐=c.

CI-TT

在7?%△ABC中，一=tanC=j3,C=—.

a3

故cosC=g.

选择条件③

由c=,得b=+a，

即b2=2c2+Q?+2\[2ac=a1+c2

整理得(?+2缶。=0，

由于a>0,c>0,则方程无解，故不存在这样的三角形.

20.行km

【解析】

【分析】

由题意，先计算得4石。=60。，ZDCA=120°,ZZMC=30°,由正弦定理计算加,AD,

再由余弦定理计算AB

【详解】

ZDAC=180°-ZADC-ZDCB-ZACB=30°,ZDBC=1800-ZDCB-ZADC-ZADB

=60。

DCAD

在八ADC中由正弦定理得：smZD4c一sin(ZDCB+ZACB)

r)C

：.AD=sin(NDCB+ZACB)x---------=3