第十一章 微专题86　带电粒子在交变电、磁场中的运动-2025年高中物理《加练半小时》新教材版

第十一章磁场微专题86带电粒子在交变电、磁场中的运动1．先分析在一个周期内粒子的运动情况，明确运动性质，再判断周期性变化的电场或磁场对粒子运动的影响。2.画出粒子运动轨迹，分析运动空间上的周期性、时间上的周期性，并注意是否存在多种可能性。1．空间存在垂直于纸面方向的匀强磁场。其方向随时间周期性变化，磁感应强度B随时间t变化的图线如图所示。规定B>0时，磁场的方向穿出纸面，一电荷量q＝5π×10－7C，质量m＝5×10－10kg的带电粒子，位于某点O处，在t＝0时刻以初速度v0＝πm/s沿垂直磁场方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的一切其他影响。则在磁场变化N个(N为整数)周期的时间内带电粒子的平均速度大小为()A．πm/s B.eq\f(π,2)m/sC．2eq\r(2)m/s D.eq\r(2)m/s答案C解析带电粒子在磁场中的运动半径为r＝eq\f(mv0,Bq)＝0.01m，周期为T＝eq\f(2πm,Bq)＝0.02s＝5×10－3s×4，作出粒子的轨迹示意图如图所示，磁场变化一个周期内，带电粒子的位移为2eq\r(2)×10－2m，所以在磁场变化N个(N为整数)周期的时间内，带电粒子的平均速度的大小等于2eq\r(2)m/s，故C选项正确。2．(多选)(2023·湖北襄阳市阶段练习)两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图甲、图乙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向)。在t＝0时刻由负极板某位置释放一个初速度为零的带负电的粒子(不计重力)，若电场强度E0、磁感应强度B0、粒子的比荷eq\f(q,m)均已知，且t0＝eq\f(πm,qB0)，两板间距为eq\f(4π2mE0,qB02)，下列说法正确的是()A．粒子在t0时刻的动能为eq\f(π2mE02,2B02)B．粒子在t0～eq\f(3,2)t0时间内的速度变化量大小为eq\f(2πE0,B0)C．粒子在2t0～3t0时间内做匀加速直线运动D．粒子在极板间运动的最大位移大小为eq\f(2πmE0,qB02)eq\r(4π2＋9)答案ACD解析由题可知，0～t0时间内带电粒子做匀加速直线运动，有a＝eq\f(E0q,m)，x1＝eq\f(1,2)·eq\f(E0q,m)t02＝eq\f(1,2)eq\f(E0π2m,B02q)，v1＝at0＝eq\f(πE0,B0)，故粒子在t0时刻的动能为Ek＝eq\f(1,2)mv12＝eq\f(π2mE02,2B02)，故A正确；t0～eq\f(3,2)t0时间段内，带电粒子只受洛伦兹力的作用做圆周运动，故r1＝eq\f(mv1,B0q)＝eq\f(πmE0,B02q)，T＝eq\f(2πm,B0q)＝2t0，eq\f(3,2)t0时粒子的速度方向水平，故t0～eq\f(3,2)t0时间内的速度变化量大小为Δv＝eq\r(2)v1＝eq\f(\r(2)πE0,B0)，故B错误；eq\f(3,2)t0～2t0时间段内，磁场方向改变，带电粒子只受洛伦兹力的作用做圆周运动，2t0时，粒子运动方向竖直向上。根据带电粒子的受力可知，2t0～3t0带电粒子向上做匀加速直线运动。x2＝v1t0＋eq\f(1,2)at02＝eq\f(3π2E0m,2B02q)，v2＝v1＋at0＝eq\f(2πE0,B0)，故C正确；3t0～eq\f(7,2)t0、eq\f(7,2)t0～4t0带电粒子做圆周运动，r2＝eq\f(mv2,B0q)＝eq\f(2πmE0,B02q)，两板间距为d＝eq\f(4π2mE0,qB02)，故粒子在极板间的运动轨迹如图所示。由上分析可知，当粒子到达对面极板时的水平位移为x＝2r1＋2r2＝eq\f(6πmE0,B02q)，故粒子在极板间运动的最大位移大小为s＝eq\r(x2＋d2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6πmE0,B02q)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π2mE0,qB02)))2)＝eq\f(2πmE0,qB02)eq\r(4π2＋9)，故选D正确。3．(2023·江苏常州市模拟)如图甲所示，在平面直角坐标系xOy的第二象限中，有平行于y轴向下的匀强电场，在y轴的右侧区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直坐标平面，磁感应强度大小B随时间变化的关系如图乙所示，在t＝0时刻有一比荷为1×104C/kg的带正电粒子(不计重力)从坐标原点O沿x轴正方向以初速度v0＝2×103m/s进入磁场，开始时，磁场方向垂直纸面向里，粒子最后到达x轴上坐标为(－2m,0)的P点，求：(1)粒子在磁场中运动的轨迹半径；(2)粒子到达y轴时与O点的距离s；(3)匀强电场的电场强度大小E。答案(1)0.4m(2)1.6m(3)3.2×102V/m解析(1)粒子进入磁场后在磁场中做圆周运动，设轨迹半径为R，由洛伦兹力提供向心力有qv0B＝meq\f(v02,R)解得R＝eq\f(mv0,qB)＝0.4m(2)设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则T＝eq\f(2πm,qB)＝4π×10－4s0～eq\f(4,3)π×10－4s时间内，粒子运动的周期数为N1＝eq\f(\f(4π,3)×10－4,4π×10－4)＝eq\f(1,3)运动轨迹对应的圆心角为120°；eq\f(4,3)π×10－4～2π×10－4s内，粒子运动的周期数为N2＝eq\f(\f(2π,3)×10－4,4π×10－4)＝eq\f(1,6)运动轨迹对应的圆心角为60°；2π×10－4～eq\f(10,3)π×10－4s内，粒子运动的周期数为N3＝eq\f(\f(4π,3)×10－4,4π×10－4)＝eq\f(1,3)运动轨迹对应的圆心角为120°，故粒子运动轨迹如图所示粒子恰好在t＝eq\f(10,3)π×10－4s时到达y轴，由图知粒子到达y轴时与O点的距离s＝4R＝1.6m(3)粒子进入电场后做类平抛运动，则竖直方向有s＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(qE,2m)t2水平方向有x＝v0t解得E＝3.2×102V/m。4．(2024·湖南长沙市长郡中学月考)如图a所示，水平直线MN下方有竖直向上的匀强电场，现将一重力不计、比荷eq\f(q,m)＝1×106C/kg的正电荷置于电场中的O点由静止释放，经过t1＝eq\f(π,15)×10－5s后，电荷以v0＝1.5×104m/s的速度通过MN进入其上方的匀强磁场，磁场与纸面垂直，磁感应强度B按图b所示规律周期性变化(图b中磁场以垂直纸面向外为正，以电荷第一次通过MN时为t＝0时刻)，计算结果可用π表示。(1)求正电荷在正向磁场和负向磁场中运动的半径及周期；(2)如果在O点右方43.5cm处有一垂直于MN的足够大的挡板，求电荷从O点出发运动到挡板所需的时间。答案(1)见解析(2)eq\f(337,45)π×10－5s解析(1)当磁场垂直纸面向外时，设电荷运动的半径为r1，由B1qv0＝eq\f(mv02,r1)可得r1＝eq\f(mv0,qB1)＝5cm当磁场垂直纸面向里时，设电荷运动的半径为r2，同理可得r2＝eq\f(mv0,qB2)＝3cm由圆周运动规律得T＝eq\f(2πm,qB)当磁场垂直纸面向外时，周期T1＝eq\f(2πm,qB1)＝eq\f(2π,3)×10－5s磁场垂直纸面向里时，周期T2＝eq\f(2πm,qB2)＝eq\f(2π,5)×10－5s(2)电荷从t＝0时刻开始做周期性运动，结合磁场的周期性可知运动轨迹如图甲所示从电荷第一次通过MN开始，其运动的周期T′＝4t1＋eq\f(T1,2)＋eq\f(T2,2)＝eq\f(4π,5)×10－5s每个周期电荷沿MN向挡板移动距离为Δd＝2(r1－r2)＝4cm根据电荷的运动情况可知，电荷到达挡板前运动的完整周期数为9个，即s＝9Δd＝36cm则最后(43.5－36)cm＝7.5cm的距离的轨迹如图乙所示由几何关系可得r1＋r1cosα＝7.5cm解得cosα＝0.5，即α＝60°故电荷运动的总时间t总＝t1＋9T′＋eq\f(1,2)T1－eq\f(60°,360°)T1＝eq\f(337,45)π×10－5s。5．(2024·江苏扬州市阶段练习)如图甲所示，在直角坐标系中的0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有以点(2L,0)为圆心、半径为L的圆形磁场区域，磁场区域边界与x轴的交点分别为M、N。在xOy平面内，从电离室产生的质量为m、带电荷量为e的电子以几乎为零的初速度从P点飘入加速电场中，加速后以速度v0经过右侧极板上的小孔Q点沿x轴正方向进入匀强电场，已知O、Q两点之间的距离为eq\f(\r(3)L,2)，电子飞出电场后从M点进入圆形磁场区域，进入磁场时取t＝0，在圆形区域内加如图乙所示变化的磁场(以垂直于纸面向外为正方向，图中B0是未知量)，最后电子从N点飞出，不考虑电子的重力。求：(1)加速电场的电压U；(2)电子运动到M点时的速度大小和方向；(3)磁场变化周期T满足的关系式。答案(1)eq\f(mv02,2e)(2)2v0，方向与x轴正方向的夹角为60°斜向下(3)T＝eq\f(4\r(3)πL,9nv0)(n＝1,2,3…)解析(1)在加速电场中，从P点到Q点，由动能定理得eU＝eq\f(1,2)mv02，可得U＝eq\f(mv02,2e)(2)电子从Q点到M点做类平抛运动，有eq\f(\r(3)L,2)＝eq\f(1,2)at2，L＝v0t，电子运动至M点时vM＝eq\r(v02＋at2)，解得vM＝2v0cosθ＝eq\f(v0,vM)＝eq\f(1,2)，解得θ＝60°，即速度方向与x轴正方向的夹角为60°斜向下；(3)电子在磁场中的运动具有周期性，轨迹如图所示电子到达N点符合要求的空间条件为n(2Rsin60°)＝3L－L(n＝1,2,3…)电子在磁场