广东省燕博园2024届高三下学期3月综合能力测试（CAT联考）数学试题（含答案）

保密☆启用前燕博园2024届高三年级综合能力测试（CAT）数学（新课标I卷）2024.03本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则复数在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合，则（）A.B.C.D.3.已知，若，则（）A.B.C.D.4.已知为双曲线的中心，为双曲线的一个焦点，且上存在点，使得，则双曲线的离心率为（）A.B.C.5D.75.已知且，则“的解集为”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）参考数据：A.72B.74C.76D.787.已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（）A.1B.2C.D.48.已知直线与直线相交于点，若恰有3个不同的点到直线的距离为1，则（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.嘌呤是一种杂环有机化合物，它在能量的供应､代谢的调节等方面都有十分重要的作用，它的化学结构式主要由一个正五边形与一个正六边形构成（设它们的边长均为1），其平面图形如图所示，则（）A.B.到的距离是C.是的内切圆的圆心D.

10.已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象（如图所示），则（）A.B.在上为增函数C.当时，函数在上恰有两个不同的极值点D.是函数的图象的一条对称轴11.已知定义域均为的函数与，其导函数分别为与，且，函数的图象关于点对称，则（）A.函数的图象关于直线对称B.8是函数的一个周期C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是正整数，且，当方差最小时，写出满足条件的一组的值__________.13.中，角对边分别为，且为边上一点，平分，则__________.

14.已知表面积为的球的内接正四棱台，动点在内部及其边界上运动，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（15分）已知数列的前项和为为正整数，且.（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）若点在函数的图象上，且数列满足，求数列的前项和.16.（15分）在斜四棱柱中，，平面平面.（1）求的长；（2）求二面角的正切值.

17.（15分）海参中含有丰富的蛋白质､氨基酸､维生素､矿物质等营养元素，随着生活水平的提高，海参逐渐被人们喜爱.某品牌的海参按大小等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.从该品牌海参中随机抽取10000颗作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）质量指标值越高，海参越大､质量越好，若质量指标值低于400的为二级，质量指标值不低于400的为一级.现利用分层随机抽样的方法按比例从不低于400和低于400的样本中随机抽取10颗，再从抽取的10颗海参中随机抽取4颗，记其中一级的颗数为，求的分布列及数学期望.（2）甲､乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌海参的订单“秒杀”抢购活动，每人只能抢购一个订单，每个订单均由箱海参构成.假设甲､乙两人抢购成功的概率均为，记甲､乙两人抢购成功的订单总数量为，抢到海参总箱数为.①求的分布列及数学期望；②当的数学期望取最大值时，求正整数的值.

18.（16分）设函数常数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）证明：.19.（16分）在平面直角坐标系中，为平面内的一个动点，满足：.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点，该平面上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

燕博园2024届3月CAT联考数学模拟试题解析版一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.答案：C【命题意图】：本题考查复数的共轭复数的概念，复数的乘法运算，立足基础考百学生的数学运算能力解析：，在复平面上对应的点为.该点在第三象限故选C.2.答案：D【命题意图】本题主要考查初等函数的定义域､值域的求法，集合的交运算，立足基础性，考查基本的逻辑推理素养和数学运算能力.【答案】D【解析】由于集合，则.故选D.3.答案：B【命题意图】：本题考查了初等函数的性质，及不等式的计算，立足基础，考查学生逻辑推理素养和数学运算能力【解析】函数为偶函数且在上为增函数，，所以选B4.答案：C【命题意图】：本小题考查双曲线的定义及性质，考查数形结合思想，逻辑推理能力与运算求解的综合能力，体现解析几何的基本思想与基本方法.【解析】：，5.答案：A【命题意图】：本小题考查了充分必要条件，二次不等式与二次函数的关系，考查了逻辑推理能力与运算求解的综合能力，【解析】充分性：由题意可知为方程的解，所以有成立必要性：只能说明为方程的一个解，不能保证是唯一解，若是唯一解则有，从而得到：，所以必要性不成立，所以选A6.答案：B【命题意图】：本小题考查了指对数的运算，考查了阅读能力和运算能力【解析】由题意可知解得，则，所以选B7.答案C【命题意图】：本小题考查了向量的模的运算及二次函数最值，数形结合，坐标法等知识，考查学生逻辑推理能力与运算求解的综合能力，【解析】解法一：所以的最大值为.解法二：因为，所以向量的终点在直线上，向量的终点在直线上，因为，所以，所以，所以的最大值为.解法三：如上图，以为原点以为轴建立平面直角坐标系，则，则，所以，因为，所以的最大值为.8.答案：B【命题意图】本题主要考查两条直线的位置关系､直线和圆的位置关系等知识，考查数形结合思想，逻辑推理能力与运算求解的综合能力，体现解析几何的基本思想与基本方法.【答案】B【解析】由于直线可化为：，即直线恒过定点，同理直线恒过定点，又由于，则直线与垂直，故两直线的交点在以为直径的圆上，即点的轨迹方程为（挖去点）.由于圆心到直线的距离，要使圆上恰有三个点到直线的距离为1，首先优弧存在两个点，只需保证劣弧上恰有1个点，则，即.故选.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.答案：AD【命题意图】本小题考查了在生物背景下的解三角形的应用.考查了学生的阅读和运算能力解析：在中，过作交于，.故选项A正确.由于，过作交于到的距离.故选项错误.由于到的距离，不等于到的距离，则不是的内切圆圆心.故选项C错误.由于，正切函数在随着角的增大而增大，所以.故选项D正确.故选AD.10.【答案】BCD【命题意图】本小题考查了三角函数的图象与性质，考查了数形结合，逻辑思维能力和运算能力.【解析】由于函数的图像是由函数的图像平移得到，则，又函数的图像关于点对称，则，由于，故，故选项A错误；由于函数，令，得函数的单调递增区间为，故选项B正确；由于，则，得正数的取值范围为，故选项C正确；由于函数，当时，函数有最大值，则是函数的图像的一条对称轴，故选项D正确.故选BCD.11.【命题意图】本题以抽象函数为背景，考查函数的奇偶性､对称性､周期性等基础知识，考查考生分析问题的能力和运用函数､导数相关知识解决问题的能力.【答案】ABD【解析】由于，则用代替，得，又，则，取，则，，则函数的图像关于直线对称，故选项A正确；由于函数的图像关于点对称，则，又，得，即，则8是函数的一个周期，故选项B正确；由于，，故选项C错误；由于，故选项D正确.故选ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.答案：；或【命题意图】本小题考查了方差的估算能力解析：欲使方差最小，则取中的最大值取中的最小值取最接近20与31的算术平均数25.5的整数，故取25或26.13.【答案】【命题意图】本小题考查了正弦定理及面积的计算，考查了基本运算能力【解析】先求角的大小：方法一（角化边）：由及正弦定理得，，则.又，故.方法二（边化角）：由及正弦定理得，，得.又，故.再求的值：方法一：由于为角平分线，则，且，得，整理得，故.方法二：设，则，在中，；在中，；即，两式相加得，故.14.【命题意图】本题考查了正四棱台的基本概念与性质､和球体积的计算方法，考查考生对直线与直线､直线与平面､平面与平面的位置关系等基础知识的理解与应用的能力.【答案】【解析】设球的半径为，则.设分别为正方形与正方形的中心，在正方形中，，则与重合，故正方形的中心即为球心.由于，，则面面，则面面.在平面内作于，则平面，则就是直线与平面所成角，，当取最小值时，最大.在等腰梯形中，，则为正三角形，，故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.四､解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（15分）解：（1）由得.当时，由，得.当时，由，即，，即，又，所以数列是以4为首项，以4为公比的等比数列，则.所以数列的通项公式.（2）因为点在函数的图象上，则，所以.又因为.所以.16.（15分）【命题意图】本题考查立体几何的基本知识､基本思想和基本方法，通过空间中直线与直线､直线与平面､平面与平面的位置关系，考查考生的空间想象能力､逻辑思维能力和运算求解能力，对二面角正切值的计算方法作了重点考查.【解析】（1）由题意得，四边形为等腰梯形.作于，则.由于，则，作于，平面平面，平面平面，故平面，又，故，即与重合.方法一：由于，则四边形为菱形，由于.在中，.方法二：以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，由于，则.（2）由于，设平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由于得取，则，故.同理，设.由于故二面角的正切值为8.15分17.（15分）解：（1）由频率分布直方图，低于400的二级的频率为，不低于400的一级的频率为，用分层随机抽样方法从中抽取10颗，其中二级､一级的颗数分别为6，4，所以的可能取值为，所以的分布列为01234所以.（2）①由题意知的可能取值为.，所以的分布列为012所以.②因为，所以，当且仅当时取等号.所以当取最大值时，的值为5.18.（16分）解由得，.（1）当时，.所以，故曲线在点处的切线方程为，即.（2）当时，，函数在单调递减，是的单调递减区间.当时，，函数在单调递减，是的单调递减区间.当时，令，解得，且当时，；当时，；当时，.所以的单调递减区间