4曲线拟合的最小二乘法市公开课特等奖市赛课微课一等奖课件

第三章函数迫近赋范空间内积空间正交多项式性质惯用正交多项式最正确平方迫近问题曲线拟合最小二乘法2024/8/181YFNie@第1页6曲线拟合最小二乘法背景：离散数据特点数据不准确数据多,甚至是是大量数据采样普通基本上反应函数基本性态离散数据建模方法插值法：经过离散点，高次插值不可靠，分段插值不够光滑曲线拟合：曲线符合离散点分布基本轮廓，或符合某理论规律，不要求曲线准确经过每一离散点。2024/8/182YFNie@第2页6.1曲线拟合过程造型：经过作图分析或直接依据物理规律选取适当曲线类型，即拟合模型：待定参数数目n通常远小于节点数目m.线性拟合模型：非线性拟合模型：2024/8/183YFNie@第3页（拟合过程续）选择最好曲线依据某种标准选择一条“最好”简单曲线作为离散数据连续模型。标准：拟合残差向量r某种范数最小.残差向量

r=(r0,r1,…,rm)T=r(c0,c1,…,cn)第j个节点残差范数：正数ωj是第j个采样点处权。切比雪夫意义下曲线拟合最小二乘意义下曲线拟合2024/8/184YFNie@第4页（拟合过程续）

总结切比雪夫意义下曲线拟合模型最小二乘意义下曲线拟合模型确定函数类一个方法：多项式（简单，WeierstrassTh.Page89，可行，不是最有效)2024/8/185YFNie@第5页6.2最小二乘法拟合模型求解问题矩阵形式表述法方程组平方误差法方程组系数矩阵（Gram矩阵）表示矛盾方程以及加号逆举例基于离散正交多项式最小二乘拟合2024/8/186YFNie@第6页最小二乘问题矩阵形式表述2024/8/187YFNie@第7页（矩阵表述续）最小二乘问题等价于2024/8/188YFNie@第8页（矩阵表述续）离散Gram矩阵最小二乘问题等价于2024/8/189YFNie@第9页

定理3.6

假如离散Gram矩阵是实正定对称矩阵,则向量使得二次函数I(C)取最小值充分必要条件是向量是线性方程组GnC=Y

解向量.Remark1

当Gn是实对称正定矩阵时,det(Gn)0,定理中线性方程组解向量是存在惟一,此时最小二乘曲线拟合问题有惟一解函数.称定理中方程组为线性空间上最小二乘问题法方程组.法方程组2024/8/1810YFNie@第10页2024/8/1811YFNie@第11页误差预计表示2024/8/1812YFNie@第12页离散Gram矩阵深入讨论行向量2024/8/1813YFNie@第13页（离散Gram矩阵续）类似地有：2024/8/1814YFNie@第14页（离散Gram矩阵续）

离散Gram矩阵是半正定矩阵：设

是任意非零列向量,对角矩阵W对角元素为正当矩阵A列满秩(列线性无关)时离散Gram矩阵正定:对任意非零列向量

有A

是非零列向量,进而得到此时定理3.6条件得到满足.不严格地说,因为矩阵行数远远大于列数,矩阵普通都是列满秩.2024/8/1815YFNie@第15页矛盾方程组以及加号逆法方程组有表示形式：该式能够看作是给(超定)线性方程组

两端左乘矩阵ATW得到。2024/8/1816YFNie@第16页（矛盾方程组以及加号逆续）

超定线性方程组可了解为在线性空间Φ上求过节点插值函数所列出线性方程组。因为插值条件个数m＋1远大于待定参数个数没n＋1,故普通说来该线性方程组是一个矛盾方程组,无解。法方程组解又能够看作是上述矛盾方程在最小二乘意义下最优解。最小二乘2024/8/1817YFNie@第17页（矛盾方程与广义逆续）当取权矩阵W为单位矩阵时,法方程组简化为。进而当A列满秩时，ATA是实对称正定矩阵，矛盾方程组在最小二乘意义下最优解可表示。在矩阵论中称 是列满秩矩阵A广义逆,记为。进而 是矛盾方程组在最小二乘意义下最优解。2024/8/1818YFNie@第18页例题确定公式中参数,使之与以下数据拟合。xi0.10.20.30.40.50.6f(xi)0.1720.3230.4840.6901.0001.579解

公式关于参数非线性,

变形公式为以下线性模型：并有以下函数值表:xi0.10.20.30.40.50.6g(xi)5.813953.095982.066121.449281.000000.633312024/8/1819YFNie@第19页最小二乘曲线拟合法方程组为,即

0.633311.000001.449282.066123.095985.81395g(xi)0.60.50.40.30.20.1xi2024/8/1820YFNie@第20页解方程组得

=0.503375,=0.976071,=-1.966900,进而有参数

=1.98659=1.93905,=-3.907422。最小二乘平方误差为关于f误差2024/8/1821YFNie@第21页拟合效果示意图

2024/8/1822YFNie@第22页用关于点集正交函数系作最小二乘曲线拟合背景：最小二乘曲线拟合问题解函数是经过求解法方程组得到；选定基函数产生法方程组系数矩阵可能是病态,即系数矩阵或右端项微小扰动可能造成解函数有很大误差。为防止求解病态法方程组,希望选择一类特殊基函数,使法方程组系数矩阵是对角阵。2024/8/1823YFNie@第23页

关于离散内积正交定义定义：假如定义于区间上函数族关于点集以及一组权值

所定义离散内积满足关系 则称函数族是关于点集以及权值正交函数族。2024/8/1824YFNie@第24页

基于正交基最小二乘曲线拟合当函数族是线性空间一组正交基时,

定义于该空间上最小二乘曲线拟合问题法方程组系数矩阵为对角阵拟合曲线为：20