复变函数11省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

复变函数与积分变换张慧清huiqingzhang@137721567911/562前言二、发展介绍：十六世纪中叶：十七世纪：十八世纪：Euler一、研究对象和研究内容：2/563十九世纪：CauchyRiemannWeierstrass3/564三、学习中注意点：1、方法2、态度4/56第一节复数及其代数运算一、复数概念二、复数代数运算三、小结与思索5/566第一章复数与复变函数1.复数代数运算和共轭运算一、复数基本概念二、复数代数运算三、复数共轭运算6/567一、复数基本概念：

1、复数定义：形如数称之为复数，其中为虚数单位，为实数，分别称为实部和虚部，记作：虚部为零，即为实数，实部为零，称为纯虚数。

2、

复数相等：设7/5683、共轭复数若，它共轭复数就定义为：若两个复数实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数是共轭。二、复数代数运算：1、加减法：2、乘除法：8/569三、复数共轭运算：9/56102.复数几何表示一、复平面：1.定义：建立平面直角坐标系，让平面上点表示复数

,则复数全体和平面上点建立了一一对应关系，这么平面称为复平面，其中轴称为实轴，轴称为虚轴。2.复数点表示法：任意复数可用复平面上点来表示。10/56113.复数向量表示：复数和从原点指向点向量是一一对应，所以能够用从原点出发向量来表示复数。复数代数运算几何意义：1）加法：

和相加即为以、为边平行四边形对角线指向量所对应复数。2）减法：

减即为从端点指向端点向量。11/56124.复数三角表示式：习惯上把表示式称为复数直角坐标表示式或代数形式，利用直角坐标系和极坐标之间联络则其中表示所对应向量长度，称为模，记作,称为幅角，记作把其中落在之间角称为主幅角，记为则有：1）模和幅角定义三角表示式12/56132）主幅角计算下面公式给出了主幅角计算方法：

在第一、四象限

在第二象限

在第三象限

在正轴

在负轴

在正轴

在负轴13/5614例1.将以下各复数表示为三角形式：解:(1)因在第三象限，所以：又所以：14/56155.复数指数表示式：利用欧拉公式从复数三角表示式即得指数表示式6.几个主要不等式：二、复球面15/5616现在建立这么对应关系：这么，除N点之外，球面上全部点和复平面上全部点之间建立了一一对应关系，该球面即称为复球面。注意到当复数模越大时，它所对应复球面上点越靠近N,所以我们能够认为N和复平面上一个模为点相对应，这么一个点成为无穷远点，记为。若把无穷远点添加到复平面中，则称为扩充复平面，与其对应球面称为扩充复球面。16/5617（为特定整数）3.复数乘幂与方根一、乘积与商1.乘积：设则：能够看出:1）表示式：17/56182）几何意义：即为把旋转并将模伸长倍所得向量。2.

商：设则：(为正，逆时针，为负，顺时针)可看出：18/5619例1.证实三角形内角和为。证实：设三角形三顶点为三顶角为所以：即：则：又因只能为零。即得结论。19/5620二、幂与根：1、幂：n个相同复数乘积称为n次幂，记作设则：尤其地，时：称为莫勒弗公式。2、根：若则称为次方根，记作设20/5621即得：当时，有n个不一样值，即得n个相异根：由得：21/5622例2：求解：因所以：22/5623例3求以下方程所表示曲线:解23/5624化简后得24/5625§4、平面点集几个基本概念1、点集：点有限个或无限个集合称为点集。因为复平面上点和复数是一一对应，所以复平面上点集可看作是复数集合。2、-邻域：设为复平面上一点，对于任意给定正数满足点集称为点-邻域，满足点集称为去心-邻域。若为任意正数，满足点集称为邻域，满足点集称为去心邻域。25/56263、聚点、孤立点、外点、内点、界点1）聚点：对于点集E,若任意邻域都有E无穷为E聚点或极限点。E,但非E聚点，称为E孤立点。多个点，称2）孤立点：若4）内点：若E，且有一邻域含于E内，则为E内点。5）界点：E异于内点聚点及E孤立点均称为E

界点，E全部界点称为E边界。3）外点：若E，又非E聚点，则称为E外点。26/56274、开集、闭集若点集E点均为内点，则称E为开集。若E聚点均属于E，则称E为闭集。5、区域：1）区域：满足下面两条件点集E称为区域。A）E是一个开集。B）E是连通。2）闭区域：区域加上边界称为闭区域。3）有界区域：若一个区域E能够被包含在一个以原点为

中心圆里面，则称E为有界。不然，为无界。27/56286、约当曲线：1）连续曲线：设是两个实函数，在闭区间上连续，则方程组确定了一条平面曲线，若令则即为曲线参数方程复数形式，和分别称为该曲线起点和终点。28/56292）重点：若对于但则称点为曲线重点。3）凡没有重点连续曲线，称为约当曲线或简单曲线。除外无重点连续曲线，称为约当闭曲线。4）设约当曲线参数方程为在上，及存在、连续且不全为零，则该曲线称为光滑曲线，由有限条光滑曲线衔接而成曲线称为分段光滑曲线。5）对于光滑闭曲线或分段光滑闭曲线，我们称之为围道。围道方向要求：29/5630假设一观察者沿围道而行，围道内部在观察者左方，则要求该方向为围道正向，反之，为负向。7）单连通区域：若区域D任意一条约当闭曲线内部仍属于D，则D称为单连通区域，不然为多连通区域。单连通域多连通域30/5631§5复变函数一、复变函数定义：1、单值函数：设E为一复数集，若对E内每一复数，按照一定规则函数2、多值函数：有唯一复数与之对应，则称在E上确定了一个单值若对于E内每一个复数，有几个或无穷多个与之对应，则称在E上确定了一个多值函数集合E称为定义域，全体称为值域。31/56323、复变函数表示：设是定义在点集E上单值或多值函数，设

又可记为：例：函数

可写为这里32/5633二、复变函数几何意义取两张复平面------平面，平面，用平面上点集到平面点集映射来表示复变函数。若中点被映成中点，则称为象，而称为原象。33/563434/5635且是全同图形.35/5636例2讨论函数把以下曲线映成何种曲线：1）以原点为心，2为半径第一象限圆弧；2）3）其中均为常数。解：1）曲线可表示为：则：表示是以原点为心，4为半径上半圆周。36/56372）设则：所以表示是一条直线。3）象参数方程为：消去得：表示是以原点为焦点，向左开口抛物线。37/5638例3解38/5639所以象参数方程为39/5640A)40/5641(以下页图)B)41/5642

将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.42/5643使得当时，有：

内，假如有一确定数存在，对任意给定存在

§6、复变函数极限和连续性一、极限：1、定义：设函数定义在去心邻域成立，则称为当时极限，记为：43/5644注2、若已经证实一复变函数极限存在，可取一特殊路径来求出它极限。例1设试证在原点无极限。注1、极限与方式无关。44/5645证实：令则：沿轴：沿所以在原点处无极限。45/56462.极限计算定理定理一说明46/5647证实：必要性：因对使得当时：因所以对当时：47/5648同理即充分性：因所以对使得当时：即是当时：48/5649即得：3、运算法则：定理2、假如则：49/5650二、函数连续性1.连续定义:50/5651定理三比如,51/5652定理四52/5653特殊:(1)有理整函数(多项式)(2)有理分式函数在复平面内使分母不为零点也是连续.53/5654例3证