01复数-与复变函数1省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

数学物理方法河北大学电子信息工程学院王培光高春霞刘素平第1页第一篇复变函数论

第1章复数与复变函数1.1复数概念及其表示方法1.2复数基本代数运算1.3复球面与无穷远点1.4复变函数1.5复变函数极限与连续第2页第一节复数概念及其表示方法

定义1定义2第3页注意复数是无序，普通不能比较大小，只能说复数相等是否.两个复数相等当且仅当它们实部和虚部分别相等.尤其地，一个复数等于当且仅当它实部和虚部分别等于0第4页表示方法代数表示

几何表示

点表示一一对应关系第5页向量表示概念第6页三角表示指数表示第7页例一将复数化为三角形式和指数形式第8页第二节复数基本代数运算四则运算显然，复数加法和乘法满足交换律、结合律和分配律

第9页由此能够得到共轭复数以下运算性质：

第10页几何意义第11页对于复数乘除运算，设第12页乘幂第13页第14页方根第15页第16页第17页第18页第三节复球面与无穷远点

我们将模为有限复数与复平面上有限远点一一对应了起来，而在复变函数论中，通常还需要将模为无穷大复数与复平面上一点也对应起来，并称这一点为无穷远点

第19页无穷远点将一个球放在复平面上，并使该球以南极S与复平面相切于原点.对于复平面内任意一点，用一条直线将与球北极相连，交球面于点，如图所表示，这么，复平面上有限远点便与球面上除之外点形成了一一对应，即复平面上全部有限远点球面上除之外点.我们称这种对应关系为测地投影.测地投影最初是在天文学中引入，以后又被应用在地理学中，利用测地投影，我们能够把天球或地球表示在平面上.第20页当复平面上点模越来越大时，它在球面上测地投影越来越靠近于北极，而球面上只有一个北极，所以我们约定复平面上有一个理想点，称为无穷远点，记作，它经过测地投影与球面上北极一一对应,即复平面上无穷远点球面上点表示，也能够用复球面上点来表示.我们称这么球面为复球面.所以，复数不但能够用复平面上点来第21页第四节复变函数

区域相关概念

邻域

第22页内点

外点第23页边界

区域

区域是指满足以下两个条件点集：（1）全部由内点组成（开集）；（2）含有连通性，即点集内任意两点都能够用一条折线连接起来，而且折线上点全都属于该点集.区域可用符号D来表示

第24页闭区域内点、外点、边界点关系以下列图所表示第25页例一简单曲线（Jordan曲线）

第26页简单闭曲线若简单曲线C两个端点重合，则称为简单闭曲线.(a)简单、闭(b)简单、不闭(c)不简单、闭(d)不简单、不闭第27页单通区域

对于复平面上区域D，若在其中任作一条简单闭曲线，曲线内部总属于D，则称D为单连通区域，简称单通区域.

复通区域

一个区域不是单通区域，则为复通区域(或多通区域).对于复通区域，我们总能够经过作一些适当割线将复通区域不相连边界连接起来，从而使复通区域单连通化，以下列图所表示.第28页区域边界正方向

通常约定：（当人）沿边界环行时，若包围区域一直在人左手边，则前进方向为边界正方向.

对于有界单通区域，逆时针方向即为正方向，而复通区域外边界逆时针方向为正方向，内边界顺时针方向为正方向

第29页复变函数

定义第30页注意第31页复变函数几何意义第32页第33页第五节复变函数极限与连续复变函数极限

定义第3