91-多元函数的基本概念省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第一节多元函数基本概念一、平面点集n维空间二、多元函数概念三、多元函数极限四、多元函数连续性五、小结1第1页一、平面点集n维空间1、【平面点集】(1)【平面点集】【比如】原点为圆心，r为半径圆内全部点集合是2第2页(2)【邻域】回想一元函数中邻域概念：数轴上到点x0距离小于δ全体实数组成集合.二元函数中邻域：平面上到点

距离小于δ全体

组成集合.3第3页【定义】Oxy开圆盘(3)【去心邻域】4第4页(4)【点与点集之间关系】①【内点】②【外点】③【边界点】·P·P④【聚点】【注】等价解释：点P任意小去心邻域内都有E无穷多个点，则称P为E聚点。5第5页(5)【开集与闭集】【比如】即为开集。【比如】即为闭集。既非开集，也非闭集．[注]E是开集

E中没有边界点6第6页(6)【连通集】连通开集称为区域或开区域。(7)【开区域与闭区域】比如，在平面上开区域

7第7页闭区域

整个平面

点集是开集，是最大开域,也是最大闭域;但非区域.8第8页有界闭区域；无界开区域．【比如】(8)【有界集与无界集】无界闭区域．9第9页二、多元函数概念1.【二元函数定义】设D是R2上一个非空子集，称映射f:D→R为定义在D上二元函数，通常记为：类似地可定义三元及三元以上函数．2.【多元函数】10第10页【补例1】求定义域．【解】所求定义域为【注】二元函数定义域画法（重点）11第11页3.【二元函数图形】二元函数图形通常是一张曲面.12第12页【比如】图形如右图.【比如】左图球面.单值分支:13第13页三、多元函数极限【说明】(1)定义中P

P0时,它可按任意方式沿任意曲线趋于P0；(3)二元函数极限也叫二重极限

(2)二元函数极限运算法则与一元函数类似．[直观定义]点P沿任意路径趋于P0时函数z=f(x,y)都无限趋近于一个确定常数A,则称函数z在P

P0时以A为极限.(4)点P0

必须是聚点,才能研究其极限存在性。14第14页【书本例4】求证

【证】有界[又如][解](和极限等于极限和)[注]或用夹逼准则.15第15页不论以何种路径趋于(0,0)点，极限都是1.即聚集到(0,0,1)点.16第16页【书本例5】【解Ⅰ】原式【解Ⅱ】等价无穷小代换原式17第17页【补例2】证实不存在．【证】取其值随k不一样而改变，故极限不存在．18第18页不存在.观察播放19第19页【确定极限不存在方法】(3)或找一条路径，若此时极限不存在，则可说明原极限不存在.2.【尤其注意】20第20页

仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.【附注】

二重极限不一样.

假如它们都存在,则三者相等.[比如]显然与累次极限

仅知其中两个存在,也推不出第三者存在.但设

P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),二重极限不存在.和21第21页四、多元函数连续性1【连续性】【补例3】讨论函数在(0,0)处连续性．【解】故函数在(0,0)处连续.22第22页【证】（略）【书本例6】【结论】一元基本初等函数视为多元函数时，在各自定义域内都是连续。2【间断点】【补例4】讨论函数在(0,0)连续性．【解】取其值随k不一样而改变，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．23第23页沿着y=x趋于(0,0),极限为0.5沿着y=－x趋于(0,0),极限为－0.5不一样路径，极限值不一样24第24页说明一元函数只有间断点可言；二元函数有间断点、间断线可言；三元函数还可能出现间断面.3.【多元初等函数】由多元多项式及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所组成可用一个式子所表示多元函数叫多元初等函数.【结论】一切多元初等函数在其定义区域内是连续.定义区域是指包含在定义域内区域或闭区域．25第25页【书本例7】而任何邻域都是区域，则【解】26第26页【书本例8】【解】27第27页4.【有界闭区域上连续函数性质】——平行推广在有界闭区域D上多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它最大值和最小值．在有界闭区域D上多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间任何值．（1）有界性与最大值和最小值定理（2）介值定理【注】（1）（2）定理中条件充分性.28第28页[练习]习题8-1P11-122、3、4、5、6、7、8[作业]习题8-1P11-125、(1)(3)(5).6、(2)(4)(6)7、29第29页多元函数极限概念多元函数连续概念闭区域上连续函数性质（注意趋近方式任意性）五、小结多元函数定义30第30页【思索题】【解答】不能.31第31页不存在.观察32第32页观察不存在.33第33页观察不存在.34第34页观察不存在