10、用反比例函数解决问题 - 答案

用反比例函数解决问题要点一、利用反比例函数解决实际问题1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示.（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.要点二、反比例函数在其他学科中的应用当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.要点三、反比例函数中的最值问题理论：若，，则成立（当且仅当时等号成立）例题：对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？，，当且仅当时，等号成立，由得：或（舍去），经检验，是方程的解，故当x=1时，函数y的值最小，最小值是2题型一:反比例函数实际问题与图象1．已知矩形的面积为，它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】解：，，，故选：A．2．当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V应满足的条件是（

）

A．不大于 B．大于 C．不小于 D．小于【答案】C【详解】函数图象是双曲线的一条分支，且过点，则故选：C．3．伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值．“标杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图像如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要（）m．A．2 B．1 C．6 D．4【答案】D【详解】根据杠杆的平衡条件可得：，∴．故选：D．4．体育课上，甲、乙、丙、丁四位同学进行跑步训练，如图用四个点分别描述四位同学的跑步时间y（分钟）与平均跑步速度x（米/分钟）的关系，其中描述甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则在这次训练中跑的路程最多的是（

）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【详解】解；∵甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，∴设这个反比例函数表达式为，若甲，乙，丙，丁，过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丁点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示，

∵、、、在反比例函数图象上，∴，由图可知，，，∴，，由题意可知，训练中跑的路程为：，∴甲和丙训练跑的路程相等，乙训练跑的路程小于甲和丙训练跑的路程，丁训练跑的路程大于甲和丙训练跑的路程，∴丁训练跑的路程最多，故选：D．5．某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（

）A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPaB．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40NC．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8mD．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为【答案】B【详解】A.由图得：当时，，故此项说法正确；B.当报警器刚好开始报警时，，解得，由图可求得：，解得，故此项说法错误；C.当报警器刚好开始报警时，由上得，则有，，由图求得，，解得：，故此项说法正确；D.当报警器刚好开始报警时：，，当时，，，，，故此项说法正确．故选：B．题型二:利用反比例函数解决实际问题1．如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图,其开始工作时的温度是，然后按照一次函数关系一直增加到，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至，如此循环下去．（1）的值为；（2）如果在分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为分钟．【答案】5020【详解】解：设第一次循环过程中反比例函数的解析式为，过点，，，当时，则，解得，设第一次循环过程中一次函数的解析式为，由题意得，解得，一次函数的解析式为，当时，则，解得，当时则，解得，分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为（分钟）故答案为：（1）50；（2）20．2．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）：(1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？(2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？请说明理由.【答案】(1)第30分钟学生的注意力更集中；(2)能，理由见解析【详解】（1）设线段所在直线的解析式为，把代入得,∴，∴，设，所在双曲线的解析式为，把代入得，∴．当时，；当时，．∴．∴第30分钟学生的注意力更集中；（2）能令，则，∴．令，则，∴．∵，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目3．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少；(2)求全天的温度与时间之间的函数关系式；(3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：，根据题意，∴可得方程，∴，∴直线,∵当时，∴恒定温度为：．（2）解：由(1)可知：正比例函数解析式为，根据图像可知：，设小时内函数解析式为：，根据题意，可得方程：，∴，∴函数解析式为：，∴小时函数解析式为：，（3）解：∵当时，，∴，∵当时，，∴，∴在之间是气温是低于的，∴气温低于的总时间为：，∴气温高于的适宜温度是：．4．心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间(分钟)的变化规律如下图所示(其中分别为线段，为双曲线的一部分)．

(1)求注意力指标数与时间(分钟)之间的函数表达式；(2)开始学习后第分钟时与第分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？(3)某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于，请问：这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由．【答案】(1)注意力指标数与时间(分钟)之间的函数表达式为(2)开始学习后第分钟时注意力更集中(3)不合理，理由见详解【详解】（1）解：根据题意，当时，，设直线的解析式为，∴，解得，，∴直线的解析式为；当时，，∴；当时，，设双曲线的解析式为，∴，∴双曲线的解析式为；∴注意力指标数与时间(分钟)之间的函数表达式为．（2）解：当时，；当时，；∵，∴开始学习后第分钟时注意力更集中．（3）解：根“教师引导，回顾旧知”环节分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要分钟才能完成，∴当时，，∴这样安排不合理．5．如图所示，小明家饮水机中原有水的温度是，开机通电后，饮水机自动开始加热，此过程中水温（）与开机时间（分）满足一次函数关系．当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温（）与开机时间（分）成反比例关系．当水温降至时，饮水机又自动开始加热……，不断重复上述程序．根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)当时，求水温（）与开机时间（分）的函数关系式；(2)求图中的值；(3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，放学回到家时，饮水机内水的温度为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？【答案】(1)；(2)25；(3)，次．【详解】（1）解：设一次函数过，，两点，即解之得∴．（2）解：设反比例函数的解析式为，过，∴∴反比例函数的解析式为当时，∴（3）解：上午到共分钟．，∴当代入即时．所以，︰时饮水机内水的温度为在这段时间里，水温共有次达到．6．据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题：

(1)抗生素服用_______小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有____微克；(2)根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数解析式及定义域；(3)求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y．【答案】(1)4，6(2)(3)当时，【详解】（1）解：由图象可知抗生素服用4小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有6微克；故答案为：4,6；（2）解：∵血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比例，∴可设，把点代入得，，解得，又∵从4小时后开始，∴，故y与x之间的函数解析式为；（3）当时，，∴该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量．题型三：最值问题1．阅读与思考下面是小米同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．如果，，那么，即，得，即是的最小值，当时，等号成立．例题：当时，求的最小值．解：令，，由，得，∴，故当时，有最小值2．任务：(1)填空：已知，只有当______时，有最小值，最小值为______．(2)如图，P为双曲线上的一点，过点P作轴于点C，轴于点D，求的最小值．【答案】(1)2,4(2)【详解】（1）解：令，，由，得，∴，故当时，有最小值4．故答案为2,4．（2）解：设的坐标为，∴∴∴的最小值为．2．【操作发现】由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．例如：已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为4．(1)【问题解决】请根据上面材料回答下列问题：已知，当为多少时，代数式的最小值为；(2)【灵活运用】当时，求的最小值；(3)【学以致用】如图，民民同学想做一个菱形风筝，现在有一根长的竹竿，他准备把它截成两段做成风筝的龙骨即菱形的对角线，，请你帮他设计一下，当为多少时菱形的面积最大，最大值为（直接写出结果）．【答案】(1)3，6；(2)4；(3)60，1800【详解】（1）解：令，，则由，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为6．（2）解：令，，，则由，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为4．（3）解：设这个菱形对角线，则，则菱形的面积为，由题意得：，即，由得即，当且仅当时，即时式子有最大值，最大值为1800，所以当时菱形的面积最大，最大值为．3．由得，；如果两个正数a，b，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．例如：已知，求式子的最小值．解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题：(1)当，式子x+的最小值为；(2)当，代数式最大值为多少？并求出此时x的值；(3)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？【答案】(1)4(2)当x＜0时，代数式最大值为-24，此时x的值为-3；(3)长为8米，宽为4米时，所用篱笆最短，最短篱笆为16米．【详解】（1）解：当x＞0时，x＋≥2＝4，x＋的最小值为4；（当a＞0，b＞0时，a＋b≥2ab,当且仅当a＝b时取到等号）故答案为：4（2）解：当x＜0时，＝−[（−4x）＋（−）]≤−2＝−2×12＝−24，当且仅当−4x＝−，即x＝−3时取到等号，∴当x＜0时，代数式最大值为-24，此时x的值为-3；（3）解：设长为x，宽为y.则xy＝32，欲使x＋2y最小，∵x＞0，y＞0，x＋2y≥2＝2＝2＝2×8＝16，当且仅当x＝2y时取得等号，由，解得，x＝8，y＝4，即长为8，宽为4时，所用篱笆最短，最短篱琶为16米．4．阅读材料：①对于任意实数a和b，都有，∴，得到，当且仅当时，等号成立．②任意一个非负实数都可写成一个数的平方的形式.即：如果a≥0，则．如：等．例：①用配方法求代数式的最小值．②已知，求证：.①解：由题意得：，∵，且当时，，∴，∴当时，代数式的最小值为：；②证明：∵，∴∴，当且仅当，即时，等号成立．请解答下列问题：某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成（如图所示）.设垂直于墙的一边长为x米.(1)若所用的篱笆长为36米，那么：①当花圃的面积为144平方米时，垂直于墙的一边的长为多少米？②设花圃的面积为S米，求当垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大？并求出这个最大面积；(2)若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？【答案】(1)①垂直于墙的一边长为6米或12米；②最大面积是162；(2)若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是40米【详解】（1）解：①由题意得，化简后得，解得，，答：垂直于墙的一边长为6米或12米；②由题意得，∵，∴当时，S取得最大值是162，∴当垂直于墙的一边长为9米时，S取得最大值，最大面积是162；（2）设所需的篱笆长为L米，由题意得，，∴若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是40米．题型四：反比例函数综合运用1．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为1～4的整数），函数的图象为曲线L，若曲线L使得，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，∴，∴当过点时，，当过点时，，∴若曲线L使得，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，k的取值范围是：；故选D．2．如图，矩形对角线的交点为，点在轴的正半轴上，平分，的面积为．若双曲线经过点，交于点，且，则的值为．【答案】【详解】过点作轴，过点作轴，∴，∵，∴，∵点，在反比例函数上，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．

3．如图，已知点和点是直线与双曲线的交点，的面积为．

(1)求的值；(2)设，是反比例函数在同一象限上任意不重合的两点，，，判断，的大小，并说明理由．【答案】(1)1(2)，见解析【详解】（1）解：如图，作轴于，轴于．

∵点和点是双曲线上的点，∴，，∴，∴，∴；（2）解：，理由如下：∵，是反比例函数在同一象限上任意不重合的两点，∴，∴∵，，∴，∴，∴．4．已知反比例函数的图象经过点．(1)试确定此反比例函数的解析式；(2)点是坐标原点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．判断点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；(3)已知点也在此反比例函数的图象上（其中），过点作轴的垂线，交轴于点．若线段上存在一点，使得的面积是，设点的纵坐标为，求的值．【答案】(1)(2)点在反比例函数的图象上(3)【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点∴∴∴反比例函数的解析式为：．（2）过点作轴的垂线交轴于点∵点∴，∴∵线段绕点顺时针旋转得到线段∴，∵∴∴∴∴∴∴点∵将代入中，得∴点在反比例函数图象上．（3）∵点在此反比例函数的图象上∴∴∴∵，点的纵坐标为∴点∵∴∴∴∵∴∴∴∴∴∴．5．如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，边BC落在x轴上，E是DC的中点，连接AE，反比例函数的图象经过点E，与AB交于点F．(1)求AE的长；(2)若，求反比例函数的表达式；(3)在（2）的条件下，连接矩形ABCD两对边AD与BC的中点M，N，设线段MN与反比例函数图象交于点P，将线段MN沿x轴向右平移n个单位，若，直接写出n的取值范围．【答案】(1)5(2)(3)【详解】（1）∵四边形是矩形∴，，∵是的中点∴∴∴（2）由（1）得，∵点在函数图象上，且纵坐标为∴点的坐标为：∵∴又∵∴点的坐标为∵点在反比例函数的图象上∴解得：∴反比例函数的解析式为：．（3）由（2）可知：点的坐标为，点的坐标为∴点的坐标为，点的坐标为∴平移后的点的坐标为，平移后点的坐标为∴设点的坐标为∴点在上，且∴∵点在反比例函数的图象上∴解得．课后练习1．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为(

)

A． B． C． D．【答案】B【详解】解：设该反比函数解析式为，由题意可知，当时，，，解得：，设该反比函数解析式为，当时，，即电流为，故选：B．2．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流．与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（）

A．当时，B．I与R的函数关系式是C．当时，D．当时，I的取值范围是【答案】D【详解】解：设I与R的函数关系式是，∵该图象经过点，∴，∴，∴I与R的函数关系式是，故选项B不符合题意；当时，，当时，，∵反比例函数I随R的增大而减小，当时，，当时，，故选项A，C不符合题意；∵时，，当时，，∴当时，I的取值范围是，故D符合题意．故选：D．3．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：

(1)求这天的温度y与时间的函数关系式；(2)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？【答案】(1)(2)10小时【详解】（1）解：设线段解析式为∵线段过点，，∴，解得∴线段的解析式为：∵B在线段上当时，，∴B坐标为，∴线段的解析式为：，设双曲线解析式为：∵，∴，∴双曲线的解析式为：∴y关于x的函数解析式为：（2）把代入中，解得：，∴（小时），∴恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．4．心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，轴，为双曲线的一部分），其中段的关系式为．(1)点B坐标为_______；(2)根据图中数据，求出段双曲线的表达式；(3)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?【答案】(1)(2)(3)经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目【详解】（1）∵段的关系式为，点B的横坐标为，∴，∴点B坐标为；故答案为：（2）解：如图，轴，点B坐标为，∴点C的坐标为，

设C、D所在双曲线的解析式为，把代入得，，，∴．（3）令，∴．

令，∴，

∵，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．5．为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将的自来水加入到饮水机中，先加热到．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为，则水温下降到后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温与通电时间之间的函数关系如图所示．(1)水温从加热到，需要______；请直接写出加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式：______；(2)观察判断：在水温下降过程中，与的函数关系是______函数，并尝试求该函数的解析式；(3)已知冲泡奶粉的最佳温度在左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为．现将的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，需要等待多长时间才可以接水冲泡奶粉？【答案】(1)4；；(2)反，(3)14分钟．【详解】（1）解：由图可得：水温从加热到，需要，设加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式为：，将，代入解析式得：，解得：，加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式为：，故答案为：4，；（2）解：观察判断：在水温下降过程中，与的函数关系是反函数，设在水温下降过程中，与的函数关系为，将代入解析式得：，解得：，在水温下降过程中，与的函数关系为：，故答案为：反；（3）解：由题意得：在中，当时，，解得：，从加入自来水开始，需要等待的时间为：，则从加入自来水开始，需要等待14分钟时间才可以接水冲泡奶粉．6．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为的整数）函数的图像为曲线，若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题意可得，，，，，，，，，若曲线过点，时，，若曲线过点，时，，若曲线过点，，时，，若曲线过点，时，，∵曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，∴与在曲线两侧，∴，故选A．7．阅读理解：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．(1)若A(m，y1)，B(m＋1，y2)，C(m＋3，y3)三点均在