8、反比例函数图像和性质 - 答案

反比例函数的图像和性质知识点1：形如y＝eq\f(k,x)(k为常数，且k≠0)的函数，叫做反比例函数．其中，常数k称为比例系数．知识点2：反比例函数图象的画法反比例函数图象的画法分三个步骤：(1)列表；(2)描点；(3)连线．画出反比例函数y＝eq\f(8,x)与y＝－eq\f(8,x)的图象．解列表：x…－8－4－2－11248…y＝eq\f(8,x)…－1－2－4－88421…y＝－eq\f(8,x)…1248－8－4－2－1…描点、连线，如图所示：提醒:(1)列表时，自变量x的取值要注意：①在取值范围内取值(x不等于0)；②一定要有代表性(兼顾正、负数)；③大小要适度(描点时好操作)；④要尽量多取一些数值．(2)连线时，按照从左到右的顺序用光滑的曲线连接各点并延伸，注意曲线的两支是分开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不可能与坐标轴相交．知识点3：反比例函数的图像和性质反比例函数y=（k≠0）k的符号k＞0k＜0图像性质1（对称性）反比例函数是中心对称图形，对称中心为原点反比例函数是轴对称图形，对称轴是直线y=x或y=-x性质2（增减性）当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小（注意：在每个象限内一定要说，不说明就是错误的，可以换x＞0或x＜0也可以）当k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大知识点4：一次函数和反比例函数图像的分布（1）掌握一次函数k和b对图像的影响，（2）掌握反比例函数k的正负图像的分布，（3）假设一次函数图形是正确的，得到k和b的取值范围，去验证反比例函数的分布是否正确知识点5：一次函数和反比例函数比较大小（1）过一次函数和反比例函数的交点作y平行线，有几个交点就做几条平行线，这几条平行线和y轴把一次函数和反比例函数分成了几个部分（2）观察每个部分中谁的图像在上面，上面的＞下面的，然后求出对应的x的取值范围题型一：反比例函数的定义1．下列函数表达式中，是的反比例函数的是（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】可以变形为是的反比例函数，故选B．2．下列函数中，是反比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】A.，是正比例函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；B.，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；C.，是一次函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；

D.，是反比例函数，比例系数，故该选项正确，符合题意；故选：D．3．下列关于与的表达式中，反映是的反比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A.为正比例函数，不符合题意；B.整理为，为正比例函数，不符合题意；C.为一次函数，不符合题意；D.可整理为，是反比例函数，符合题意；故选：D．4．下列关系式中的y是x的反比例函数的个数（）①，②，③，④，⑤，⑥．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【详解】解：①，y是x的反比例函数，符合题意；②，y是x的反比例函数，符合题意；③，是一次函数，不符合题意；④，整理为，y是x的反比例函数，符合题意；⑤，y是x的反比例函数，符合题意；⑥，y是的反比例函数，不符合题意；综上：①②④⑤，y是x的反比例函数．共4个．故选：C．题型二：求反比例函数解析式1．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为．【答案】【详解】解：设反比例函数的关系式为，由于其图象经过点，所以；所以反比例函数的关系式为．2．已知函数是反比例函数，则．【答案】【详解】解：由题意得：，且∴，故答案为：．3．已知函数是反比例函数，则的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】B【详解】∵函数是反比例函数，∴，且，解得，故选B．4．已知点、点都在反比例函数的图象上，则k的值为．【答案】【详解】解：∵点、点都在反比例函数的图象上，∴，∴，故答案为：．5．已知函数，(1)当m，n为何值时是一次函数？(2)当m，n为何值时，为正比例函数？(3)当m，n为何值时，为反比例函数？【答案】(1)且(2)(3)【详解】（1）解：当函数是一次函数时，，且，解得：且；（2）当函数是正比例函数时，，解得：．（3）当函数是反比例函数时，，解得：．题型三：求反比例函数值1．反比例函数的图象经过点，则a＝．【答案】3【详解】解：反比例函数的图象经过点点满足反比例函数解得，故答案是：3．2．若点在反比例函数的图像上，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，∴，故选：．3．已知点是双曲线上一点，则下列各点不在该图象上的点是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：是双曲线上一点，，A、，故点在该图象上；B、，故点不在该图象上；C、，故点在该图象上；D、，故点在该图象上，故选：B．4．已知反比例函数，则它的图象不经过的点是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：A、，故反比例函数图象不经过点，符合题意；B、，故反比例函数图象经过点，不符合题意；C、，故反比例函数图象经过点，不符合题意；D、，故反比例函数图象经过点，不符合题意；故选：A．5．已知y与x成反比例，且当时，，则当时，x的值为．【答案】3【详解】解：与成反比例，，当时，，，反比例函数解析式为，当时，，∴，故答案为：3．题型四：函数的增减性1．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：点，，，，，在反比例函数的图象上，，，，，故选：C．2．在反比例函数图象上有三个点，若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵，∴反比例函数图象在二四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，当时，，又∵，∴，故选：A．3．已知在反比例函数的图象上，下列结论正确的是(

)A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵反比例函数，∴反比例函数的两个分支分别在第一、三象限，∴在每个象限，反比例函数随的增大而减小，∵，∴，∴，故选：A．4．若图象上有三个点，，，则大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵，∴，∴，∴反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，∵，，都在反比例函数图象上，且，∴，故选C．题型五：反比例函数图像与性质1．在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则m的取值范围是．【答案】【详解】解：依题意得：，解得．故答案是：．2．若反比例函数的图象在第一、第三象限，则m的取值范围．【答案】【详解】解：由于反比例函数的图象位于第一、三象限，则，解得：．故答案为．3．反比例函数（为常数，）的图象经过点，则下列说法错误的是（

）A． B．当时，随的增大而增大C．函数图象分布在第二、四象限 D．当时，随的增大而减小【答案】D【详解】解：∵反比例函数（为常数，）的图象经过点，∴，故A正确，不符合题意；∵，∴函数图象分布在第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，故B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意；故选：D．4．反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是(

)A． B．函数图象分布在第二、四象限C．点在该反比例函数图象上 D．y随x的增大而增大【答案】D【详解】反比例函数的图像经过点，，函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大A.，说法正确，不符合题意；B.函数图象分布在第二、四象限，说法正确，不符合题意；C.点在该反比例函数图象上，说法正确，不符合题意；D.在每个象限内y随x的增大而增大，原说法错误，符合题意；故选D．5．关于反比例函的图象，下列说法正确的是（）A．必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限C．两个分支关于x轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称【答案】D【详解】解：A、把代入得：，则反比例函的图象不过点故本选项错误，不符合题意；B、，图象在第一、三象限，故本选项错误，不符合题意；C、沿x轴对折不重合，故本选项错误，不符合题意；D、两曲线关于原点对称，故本选项正确，符合题意；故选：D．6．对于反比例函数，下列说法不正确的是（

）A．图象分布在第二、四象限B．当时，y随x的增大而增大C．图象经过点D．若点都在图象上，且，则【答案】D【详解】解：∵，∴图象分布在第二、四象限，当时，y随x的增大而增大，故A，B选项正确，不符合题意；当时，，∴图象经过点，故C选项正确，不符合题意；当点在第二象限，第四象限内时，∵，∴，故D选项错误，符合题意；故选：D题型六：反比例函数求取值范围1．已知反比例函数，当时，的取值范围是．【答案】【详解】解：在中，当时，，∵，∴当时，y随x增大而减小，∴当时，，故答案为：．2．已知反比例函数，则当时，的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵反比例函数中，∴当时，y随x的增大而减小，当时，，当时，，∴当时，，故选：B．3．已知反比例函数的图像经过点．(1)求的值；(2)若点也在反比例函数的图像上，求当时，函数值的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：反比例函数过点，；（2），当时，随值增大而减小，当时，，当时，，当时，．4．画出反比例函数的大致图象，结合图象回答：(1)当时，y的值；(2)当时，y的取值范围；(3)当且时，x的取值范围．【答案】(1)；(2)(3)或【详解】（1）解：作出反比例函数的图象，

把代入得：；（2）解：当时，；当时，，根据图象得：当时，y的取值范围为；（3）解：当时，；当时，，根据题意得：当且时，x的取值范围为或．题型七：反比例函数和一次函数图像1．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数的的图象经过一、三象限，故A选项的图象符合要求，当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数的的图象经过二、四象限，没有符合条件的选项．故选：．2．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【详解】解：分类讨论：①当时，的图象过第一、二、四象限，的图象过第二、四象限，②当时，的图象过第一、三、四象限，的图象过经过第一、三象限．综上，符合题意的选项为D．故选：D．3．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数(k为常数，)的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【详解】解：当时，直线从左往右上升，双曲线分别在第一、三象限，故A、C选项错误；∵一次函数与y轴交于负半轴，∴D选项错误，B选项正确，故选：B．4．反比例函数与在同一坐标系的图象可能为()A． B．C． D．【答案】B【详解】解：A、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈上升趋势且交与轴的正半轴，，即，故本选项错误；B、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈下降趋势且交与轴的正半轴，，即，故本选项正确；C、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈上升趋势且交与轴的负半轴，又，故本选项错误；D、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈下降趋势且交与轴的正半轴，，即，故本选项错误．故选：B．题型八：反比例函数和一次函数比较大小1．如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于、两点，则不等式的解集为．【答案】或【详解】解：观察函数图象，发现：当或时，一次函数图象不在反比例函数图象的下方，则不等式的解集为或．故答案为：或．2．如图，反比例函数与一次函数相交于，两点，若，则x的取值范围是（）A． B．C． D．或【答案】D【详解】解：把代入得，，解得：，∴反比例函数的解析式为，把代入得，解得：，∴，当时，正比例函数图象在反比例图象下方，∴或，故选：D．3．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（、是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（

）A． B．或C．或 D．或【答案】B【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点，由图可知或时，一次函数在反比例函数图象的下方，因此不等式的解集是或．故选B．4．如图，直线与双曲线交于A、两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解为（

）A． B．或C．或 D．或【答案】C【详解】解：解：由，得，，所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移个单位得到，直线向下平移个单位的图象如图所示，交点的横坐标为，交点的横坐标为，当或时，双曲线图象在直线图象上方，所以，不等式的解是：或．故选C题型九：反比例函数和一次函数综合应用1．如图，一次函数和反比例函数的图像交于点，．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求的面积；(3)根据图象直接写出不等式的解集．【答案】(1)；(2)6(3)或【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，∴，即，∴反比例函数的解析式为：．∵一次函数的图象过点，∴，解得．∴一次函数的解析式为：；（2）∵由；令，则，∴，即．∴；（3）∵，．∴不等式的解集为：或2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与y轴交于点C．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)根据图象直接写出当时x的取值范围；(3)求的面积．【答案】(1)，(2)或(3)【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点∴，∴反比例函数的表达式为．∵点在反比例函数的图象上，∴．∴点B的坐标为．∵一次函数的图象经过点和点，∴，解得，∴一次函数的表达式为．（2）观察图象可知，当时，x的取值范围为或．（3）∵一次函数的图象与y轴的交点为C，∴．∴．3．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为，轴于点，连接．(1)求反比例函数的解析式；(2)结合图象，直接写出时的取值范围；(3)若点是反比例函数图象上的一点，且满足与的面积相等，求出点的坐标．【答案】(1)(2)或(3)坐标为或【详解】（1）解：把代入中，得，点A坐标为，点A在反比例函数的图象上，，反比例函数的解析式为．（2）解：根据对称性可知，由图象可知，或时，．（3）解：，，、B关于原点对称，，到的距离为，，，设点坐标为，则到的距离为，，解得或，点坐标为或4．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于，B两点．(1)求此反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)当反比例函数值大于一次函数值时，写出x的取值范围．(3)在y轴上存在点P，使得的周长最小，求点P的坐标及的周长．【答案】(1)，(2)或(3)，【详解】（1）解：把代入到一次函数中得：，∴，∴，把代入到反比例函数中得：，∴，∴反比例函数解析式为，联立，解得或，∴；（2）解：由函数图象可知，当或时，反比例函数值大于一次函数值；（3）解：如图所示，作点B关于y轴对称的点C，连接交y轴于P，则，∴，∴的周长，∵，∴的周长，∴当三点共线时最小，即的周长最小，最小为，∴的周长最小；设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，当时，，∴．5．如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线在第一象限内交于点，与轴交于点．(1)求，的值；(2)在轴上取一点，当的面积为3时，求点的坐标．(3)点在双曲线上，且是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点共有______个，任意写出一个满足条件的点的坐标，可以为______．【答案】(1)(2)或(3)，【详解】（1）解：∵双曲线与直线在第一象限内交于点，∴，∴，∴；（2）解：∵直线与轴交于点．令，得，∴，设，∵的面积为3∴∴,∵，，∴，解得：或，∴或，（3）如图，以为圆心，为半径画弧交反比例函数的图象于，，，，可得，，是等腰三角形，其中在直线上不能构成三角形，根据对称性可知，，故满足条件的点有个，故答案为：，．课后练习1．下列函数中，是的反比例函数的有（填序号）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）（为常数，）．【答案】（2）（3）（4）（6）（9）【详解】由题意可得（2）（3）（4）（6）（9）是反比例函数．故答案为：（2）（3）（4）（6）（9）．2．如果点在同一反比例函数的图象上，那么m的值为．【答案】6【详解】解：设反比例函数的表达式为，∵点在同一个反比例函数的图象上，∴，解得，故答案为：．3．若点和点都在同一个反比例函数的图像上，则n的值为．【答案】【详解】设点和点都在同一个反比例函数的图像上，，，，，故答案为．4．已知关于x的反比例函数，则m的值为．【答案】【详解】解：∵是反比例函数，∴，，∴且，∴，故答案为：5．已知点在反比例函数的图象上，则点P关于原点对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】将代入，则，那么，则点关于原点对称的点的坐标故选：D6．已知点都在反比例函数的图像上，若，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解；∵在反比例函数中，，∴反比例函数图象经过第一，三象限，在每个象限内y随x增大而减小，∵点都在反比例函数的图像上，且，∴，故选B．7．已知点，在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的取值范围是．【答案】【详解】解：由反比例函数可知图象位于二、四象限，每个象限内随的增大而增大．点，在反比例函数的图象上，且，点，不在同一象限，则点第四象限，点在第二象限．，．故答案为：．8．已知反比例函数的图象经过了第二象限，则的取值可能为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：反比例函数的图象经过第二象限，，得：．故选：A．9．若反比例函数，当时，y随x增大而增大，则函数的图象不经过第象限．【答案】三【详解】∵反比例函数，当时，随增大而增大，∴，∴的图象经过第一、二、