初等数学-人民出版社-第四章讲解市公开课一等奖省赛课获奖课件

第四章

基本初等函数第1页函数幂函数、指数函数和对数函数三角函数反三角函数和三角方程任意三角形解法第2页初等函数初等函数由常数和基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所组成并可用一个式子表示函数,称为初等函数.第3页基本初等函数1、幂函数第4页特征：第5页2、指数函数特例：第6页指数函数图象和性质(见下表)在R上是减函数(4)在R上是增函数(3)过点(0，1)，即x＝0时，y＝1(2)值域(0，＋∞)(1)定义域：Ra>10<a<1性质图象第7页第8页3、对数函数第9页对数函数图象和性质

a>10<a<1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1，0)，即x＝1时，y＝0(4)在(0,+∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数第10页1.对数恒等式叫做对数恒等式2.对数性质

(1)负数和零没有对数；(2)1对数是零，即loga1=0；(3)底对数等于1，即logaa=1第11页4.对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数，所以y=logax图象与y=ax图象关于直线y=x对称.3.对数运算性质

假如a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么第12页5换底公式注意换底公式在对数运算中作用：①公式顺用和逆用；②由公式和运算性质推得结论作用.第13页答案：0，－1/2，2第14页例1.a,b,c>0,求证：第15页21/5第16页答案：1.(1/2，1)2..D1.若函数y＝(log(1/2)a)x在R上为减函数，则a∈______.2.如图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx图象，则a，b，c，d与1大小关系是() (A)a＜b＜1＜c＜d

(B)a＜b＜1＜d＜c

(C)b＜a＜1＜c＜d

(D)b＜a＜1＜d＜c第17页4.若loga2＜logb2＜0，则()(A)0＜a＜b＜1(B)0＜b＜a＜1(C)1＜b＜a(D)0＜b＜1＜a

B第18页作业习题4.2(P99)1，2，3，4（更正），5第19页4.3三角函数第20页1.角概念推广

全部与α角终边相同角集合S={β|β＝α+k·360°，k∈Z}象限角。2.弧度制

任一个已知角α弧度数绝对值|α|＝l/r(l是弧长，r是半径)，1°＝π/180弧度，1rad=(180/π)°≈57.30°＝57°18′弧长公式l=|α|r，扇形面积公式S＝1/2lr

基本概念第21页3.任意角三角函数定义

设α是一任意角，角α终边上任意一点P(x，y)，P与原点距离是r，则sinα=y/r，cosα=x/r，

tanα=y/x，cotα=x/y，secα=r/x，cscα=r/y.4.三角函数值符号sinα与cscα，一、二正，三、四负，cosα与secα，一、四正，二、三负，tanα与cotα,一、三正，二、四负

第22页5.同角三角函数基本关系式①倒数关系：sinαcscα＝1，cosαsecα＝1，tanαcotα＝1②商数关系：tanα=sinα/cosα，cotα＝cosα/sinα③平方关系：sin2α+cos2α＝1，1+tan2α=sec2α，1+cot2α=csc2α第23页化简第24页练习答案：0，1，a2+b2,2第25页2.已知角α终边过点P(-5，-12)，则cosα=_______，tanα=_______.-5/1312/5第26页第27页6.诱导公式

α+k·360°(k∈Z)，-α，180°±α，360°-α三角函数值，等于α同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值符号.

n·90°±α(n∈Z)诱导公式满足十字诀“奇变偶不变，符号看象限”7.两角和与差正弦、余弦、正切公式

第28页8.二倍角正弦、余弦、正切公式

第29页9.半角正弦、余弦、正切公式

第30页第31页万能公式第32页第33页第34页解：原式=

第35页和与差三角公式第36页例4，化简例5，化简第37页倍角公式第38页例7证实：第39页例8.证实：对任一实数x有以下不等式成立第40页2.若α是锐角，，则cosα值等于()

(A)(B)(C)(D)1.已知x∈(-π/2，0)，cosx=4/5，则tan2x=()(A)7/24(B)-7/24(C)24/7(D)-24/7DA第41页第42页第43页正弦函数三角函数图形及性质第44页余弦函数第45页正弦函数

y=sinx定义域是R，值域是[-1,1]，在x=2kπ-π/2(k∈Z)时取最小值-1，在x=2kπ+π/2(k∈Z)时，取最大值1.余弦函数

y=cosx定义域是R，值域是[-1，1]，在x=2kπ(k∈Z)时，取最大值1，在x=2kπ+π(k∈Z)时，取最小值-1第46页正切函数第47页余切函数第48页正切函数y=tanx定义域是(kπ-π/2，kπ+π/2)(k∈Z)，值域是R，无最值.

asinx+bcosx型函数(其中φ由确定，φ角所在象限是由点P(a,b)所在象限确定)第49页1.单调性

(1)y=sinx单调增区间是[2kπ-π/2，2kπ+π/2](k∈Z)，减区间是[2kπ+π/2，2kπ+3π/2](k∈Z)(2)y=cosx单调增区间是[2kπ+π，2kπ+2π](k∈Z)，减区间是[2kπ，2kπ+π](k∈Z)

(3)y=tanx单调增区间是(kπ-π/2，kπ+π/2)(k∈Z)2.奇偶性

y=sinx,y=cosx,y=tanx在各自定义域上分别是奇函数、偶函数、奇函数.第50页3.周期性

(1)定义对于函数y=f(x)，假如存在一个不为零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，则y=f(x)叫周期函数，T叫这个函数周期

(2)全部周期中最小正数叫最小正周期(3)y＝sinx,y=cosx最小正周期T=2π；y=tanx,y=cotx最小正周期T=π(4)y=Asin(ωx+φ)+k周期为T=2π/ω(ω＞0)y=Atan(ωx+φ)+k周期为T=π/ω(ω＞0)第51页第52页三角函数图象变换

①振幅变换：y=sinx→y=Asinx

将y=sinx图象上各点纵坐标变为原来A倍(横坐标不变)；

②相位变换：y=Asinx→y=Asin(x+φ)

将y=Asinx图象上全部点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位；

③周期变换：y=Asin(x+φ)→y=Asin(ωx+φ)将y=Asin(x+φ)图象上各点横坐标变为原来1/ω倍(纵坐标不变).第53页图象对称性

函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)图象含有轴对称和中心对称.详细以下：

(1)函数y=Asin(ωx+φ)图象关于直线x=xk(其中ωxk+φ=kπ+π/2，k∈Z)成轴对称图形.

(2)函数y=Asin(ωx+φ)图象关于点(xj,0)(其中ωxj+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形.第54页函数y=|tanx|·cosx(0≤x＜3π/2，且x≠π/2)图象是()C第55页则A

B＝0都是增函数，则x为第象限。三第56页是奇函数，则D5.f(x)是以5为周期奇函数，－4第57页第58页个单位，将横坐标压缩为原来1/2，则所得表示式为第59页1.给出四个函数:(A)y=cos(2x+π/6)

(B)y=sin(2x+π/6)(C)y=sin(x/2+π/6)(D)y=tan(x+π/6)则同时含有以下两个性质函数是()①最小正周期是π②图象关于点(π/6，0)对称.

A第60页2.已知f(x)=sin(x+π/2)，g(x)=cos(x-π/2)，则以下结论中正确是()(A)函数y=f(x)·g(x)周期为2π(B)函数y=f(x)·g(x)最大值为1(C)将f(x)图象向左平移π/2单位后得g(x)图象(D)将f(x)图象向右平移π/2单位后得g(x)图象D第61页1.判断三角函数奇偶性，若不先关注定义域是否关于原点对称，经常会得犯错误结论误解分析2.对于形如y=2sin(π/3-2x)单调区间，常因为没有注意到x系数为负，从而得出相反结论3.对于函数y=Asin(ωx+φ)周期，假如说是2π/ω，则没有考虑ω正负第62页4.由y=sinx作y=sin(2x+π/3)图象，假如先把横坐标缩短为原来1/2倍，得y=sin2x后再平移，应向左平移π/6，切勿左移π/3.第63页作业：习题4.31,2,3,4,5第64页反三角函数4.4反三角函数与三角方程第65页第66页第67页第68页第69页第70页第71页3练习第72页作业：习题4.41，2，3，4第73页三角方程

第74页第75页第76页常见方程类型：1.化为同一类型函数第77页2.第78页3.齐次方程对只含正弦和余弦齐次三角函数，可在方程两边都除以余弦，化为只含正切函数三角方程求解。第79页第80页练习第81页第82页4.5任意三角形解法(其中R为△ABC外接圆半径).第83页三角形中一些结论：(不要求记忆)(1)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1

(4)sin2A+si