2024-2025新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.1.2全概率公式素养检测含解析新人教A版选择性必修第三册

PAGE九全概率公式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.8支步枪中有5支已经校准过,3支未校准,一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为0.8,用未校准的步枪射击时,中靶的概率为0.3,现从8支中任取一支射击,结果中靶,则所选用的枪是校准过的概率为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.设A表示“射击时中靶”,B1表示“运用的枪校准过”,B2表示“运用的枪未校准”,则B1,B2是Ω的一个划分.则P(A)=P(AB1)+P(AB2)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)=0.8×QUOTE+0.3×QUOTE=QUOTE,所以P(B1|A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.依据以往资料,一家3口患某种传染病的概率有以下特点:P(孩子得病)=0.6,P(母亲得病|孩子得病)=0.5,P(父亲得病|母亲及孩子得病)=0.4.则母亲及孩子得病但父亲未得病的概率为 ()A.0.18 B.0.3 C.0.36 D.0.24【解析】选A.设A={孩子得病},B={母亲得病},C={父亲得病},则P(A)=0.6,P(B|A)=0.5,P(C|AB)=0.4,P(ABQUOTE)=P(QUOTE|AB)P(B|A)P(A)=0.6×0.5×0.6=0.18.3.设袋中有5个红球,3个黑球,2个白球,现有放回地摸球3次,每次摸1球,则第3次才摸得白球的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.设A={第1次未摸得白球},B={第2次未摸得白球},C={第3次摸得白球},则事务“第3次才摸得白球”可表示为ABC.P(A)=QUOTE,P(B|A)=QUOTE,P(C|AB)=QUOTE,P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.4.设袋中含有5件同样的产品,其中3件正品,2件次品,每次从中取一件,无放回地连续取2次,则第2次取到正品的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.设事务A表示“第1次取到正品”,事务B表示“第2次取到正品”,B=BA+BQUOTE,所以P(B)=P(BA+BQUOTE)=P(BA)+P(BQUOTE)=P(A)P(B|A)+P(QUOTE)P(B|QUOTE)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共10分)5.某保险公司认为,人可以分为两类,第一类简单出事故;另一类,则是比较谨慎,保险公司统计数字表明,一个简单出事故的人在一年内出一次事故的概率为0.04,而对于比较谨慎的人这个概率为0.02,假如第一类人占总人数的30%,那么一客户在购买保险单后一年内出一次事故的概率为.

【解析】设A表示“客户购买保险单后一年内出一次事故”,B表示“他属于简单出事故的人”.P(A)=P(B)P(A|B)+P(QUOTE)P(A|QUOTE)=0.3×0.04+(1-0.3)×0.02=0.026.答案:0.0266.已知在全部男子中有5%患有色盲症,在全部女子中有0.25%患有色盲症.随机抽一人发觉患色盲症的概率为(设男子与女子的人数相等).

【解析】设A表示“男子”,B表示“女子”,C表示“这人患色盲症”,则P(C|A)=0.05,P(C|B)=0.0025,P(A)=0.5,P(B)=0.5,则P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.5×0.05+0.5×0.0025=0.02625.答案:0.02625三、解答题(每小题10分,共20分)7.有一批同型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?【解析】设事务B为“任取一件是次品”,事务Ai为“任取一件为i厂的产品”,i=1,2,3.A1∪A2∪A3=Ω,AiAj=∅,i,j=1,2,3.由全概率公式得:P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3).P(A1)=0.3,P(A2)=0.5,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,P(B|A3)=0.01,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.02×0.3+0.01×0.5+0.01×0.2=0.013.8.甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品.(1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率.(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,然后再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品的概率.【解析】(1)从甲箱中任取2个产品的事务数为QUOTE=28,这2个产品都是次品的事务数为QUOTE=3,所以这2个产品都是次品的概率为QUOTE.(2)设事务A为“从乙箱中取一个正品”,事务B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”,事务B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”,事务B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”,则事务B1、事务B2、事务B3彼此互斥.P(B1)=QUOTE=QUOTE,P(B2)=QUOTE=QUOTE,P(B3)=QUOTE=QUOTE,P(A|B1)=QUOTE,P(A|B2)=QUOTE,P(A|B3)=QUOTE,所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.(20分钟45分)一、选择题(每小题5分,共15分,多选题全部选对得5分,选对但不全对得3分,有选错的得0分)1.一批同型号的螺钉由编号为1,2,3的三台机器共同生产,各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为35%,40%,25%,各台机器生产的螺钉次品率分别为3%,2%和1%,现从这批螺钉中抽到一颗次品,则次品来自2号机器生产的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.设A={螺钉是次品},B1={螺钉由1号机器生产},B2={螺钉由2号机器生产},B3={螺钉由3号机器生产},则P(B1)=0.35,P(B2)=0.40,P(B3)=0.25,P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01,P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.35×0.03+0.40×0.02+0.25×0.01=0.021,所以P(B2|A)=QUOTE=QUOTE.2.(多选题)已知有两副相同的扑克牌,分别有数字2,3,4,5,6,7,8,9,10的36张,有字母J,Q,K,A的16张,大小王2张,现将两幅扑克牌分别打乱,从其中一副扑克牌中随机取一张;放入另一副扑克牌中,分别以A1,A2,A3表示从今扑克牌抽取的是“数字”“字母”和“大小王”;将其打乱,然后随机取一张;以B表示最终抽取的为数字,则下列结论正确的有 ()A.P(B)=QUOTEB.P(B|A1)=QUOTEC.事务B与事务A1是互斥事务D.A1,A2,A3是两两互斥的事务【解析】选ABD.由题意知A1,A2,A3是两两互斥的事务,P(A1)=QUOTE=QUOTE,P(A2)=QUOTE=QUOTE,P(A3)=QUOTE,P(B|A1)=QUOTE,P(B|A2)=QUOTE,P(B|A3)=QUOTE,而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.事务B与事务A1不是互斥事务.3.依据以往临床记录,某种诊断癌症的试验有如下的效果,若以A表示事务“试验反应为阳性”,以C表示事务“被诊断者患有癌症”.且有P(A|C)=0.95,P(QUOTE|QUOTE)=0.95.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005,即P(C)=0.005,则P(C|A)约为 ()A.0.05 C.0.087 D.0.995【解析】选C.因为P(A|C)=0.95,P(C)=0.005,P(QUOTE|QUOTE)=0.95,则P(A|QUOTE)=1-P(QUOTE|QUOTE)=0.05,P(QUOTE)=0.995,所以P(C|A)=QUOTE=QUOTE≈0.087.二、填空题(每小题5分,共10分)4.对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%.每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95%.则已知某日早上第一件产品合格时,机器调整得良好的概率约为.

【解析】设A为事务“产品合格”,B为事务“机器调整良好”,则有P(A|B)=0.98,P(A|QUOTE)=0.55,P(B)=0.95,P(QUOTE)=0.05,P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|QUOTE)P(QUOTE)=0.98×0.95+0.55×0.05=0.9585,所以P(B|A)=QUOTE≈0.97.答案:0.975.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应,由长期的阅历知,三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80,三家产品数所占的比例为2∶3∶5,混合在一起,从中任取一件,则此产品为正品的概率为;现取到一件产品为正品,则它是由甲、乙、丙三个厂中厂生产的可能性大.

【解析】设事务A表示“取到产品为正品”,B1,B2,B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”.由已知P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5,P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8,P(A)=QUOTEP(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86.P(B1|A)=QUOTE=QUOTE≈0.2209,P(B2|A)=QUOTE=QUOTE≈0.3140,P(B3|A)=QUOTE=QUOTE≈0.4651,故由丙厂生产的可能性最大.答案:0.86丙三、解答题(每小题10分,共20分)6.在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少能答对其中的4道题即可通过;若至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成果的概率.【解析】设事务A为“该考生6道题全答对”,事务B为“该考生答对了其中5道题而另一道答错”,事务C为“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”,事务D为“该考生在这次考试中通过”,事务E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,所以P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE,P(E|D)=P((A∪B)|D)=P(A|D)+P(B|D)=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE,即所求概率为QUOTE.7.轰炸机轰炸某目标,它能飞到距目标400,200,100(米)的概率分别是0.5,0.3,0.2,又设它在距目标400,200,100(米)时的命中率分别是0.01,0.02,0.1.求目标被命中的概率