2024-2025学年高中数学第二章概率单元综合测试含解析北师大版选修2-3

单元综合测试二(其次章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列表格可以作为X的分布列的是(D)解析：依据分布列的性质各概率之和等于1，易知D正确．2．甲射击命中目标的概率是eq\f(1,2)，乙射击命中目标的概率是eq\f(1,3)，丙射击命中目标的概率是eq\f(1,4).现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为(A)A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,5) D.eq\f(7,10)解析：甲、乙、丙都没有击中目标的概率是(1－eq\f(1,2))(1－eq\f(1,3))(1－eq\f(1,4))＝eq\f(1,4)，故目标被击中的概率为1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).3．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是eq\f(4,15)，刮风的概率为eq\f(2,5)，既刮风又下雨的概率为eq\f(1,10)，设A为下雨，B为刮风，那么P(B|A)等于(B)A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,10) D.eq\f(8,75)解析：P(A)＝eq\f(4,15)，P(AB)＝eq\f(1,10)，由条件概率公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,10),\f(4,15))＝eq\f(3,8).4．已知ξ～N(0，σ2)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)等于(A)A．0.1B．0.2C．0.6D．0.8解析：由正态曲线的性质知P(0≤ξ≤2)＝0.4，∴P(－2≤ξ≤2)＝0.8，∴P(ξ>2)＝eq\f(1,2)×(1－0.8)＝0.1.5．4张卡片上分别写着数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(C)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析：从4张卡片中随机抽取2张共有Ceq\o\al(2,4)种抽法，抽取的2张卡片上的数字之和为奇数的抽法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)种，所以所求概率为eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，故选C.6．一个盒子中装有7只好晶体管，3只坏晶体管，任取两次，每次取一只，取后不放回．若已知第一只是好晶体管，则其次只也是好晶体管的概率为(B)A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)解析：设Ai(i＝1,2)为“第i只是好晶体管”．由题意知要求P(A2|A1)．因为P(A1)＝eq\f(7,10)，P(A1A2)＝eq\f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，所以P(A2|A1)＝eq\f(PA1A2,PA1)＝eq\f(\f(7,15),\f(7,10))＝eq\f(2,3).7．已知随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝eq\f(5,9)，则P(η≥2)的值为(B)A.eq\f(32,81) B.eq\f(11,27)C.eq\f(65,81) D.eq\f(16,81)解析：由P(ξ≥1)＝eq\f(5,9)，得Ceq\o\al(1,2)p(1－p)＋Ceq\o\al(2,2)p2＝eq\f(5,9)，即9p2－18p＋5＝0，解得p＝eq\f(1,3)或p＝eq\f(5,3)(舍去)．所以P(η≥2)＝Ceq\o\al(2,4)p2(1－p)2＋Ceq\o\al(3,4)p3(1－p)＋Ceq\o\al(4,4)p4＝6×(eq\f(1,3))2×(eq\f(2,3))2＋4×(eq\f(1,3))3×eq\f(2,3)＋(eq\f(1,3))4＝eq\f(11,27).8．船队若出海后天气好，可获利5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元．依据预料知天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是(B)A．2000元 B．2200元C．2400元 D．2600元解析：出海效益的均值为EX＝5000×0.6＋(1－0.6)×(－2000)＝3000－800＝2200元．9．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为(B)A．0.960 B．0.864C．0.720 D．0.576解析：可知K、A1、A2三类元件正常工作相互独立．所以当A1，A2至少有一个能正常工作的概率为P＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统能正常工作的概率为PK·P＝0.9×0.96＝0.864.10．将一粒质地匀称的骰子(它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是(D)A.eq\f(5,216) B.eq\f(25,216)C.eq\f(31,216) D.eq\f(91,216)解析：质地匀称的骰子先后抛掷3次，共有6×6×6种结果．“3次均不出现6点向上”的有5×5×5种结果．由于抛掷的每一种结果都等可能出现的，所以“不出现6点向上”的概率为eq\f(5×5×5,6×6×6)＝eq\f(125,216)，由对立事务的概率公式，知“至少出现一次6点向上”的概率是1－eq\f(125,216)＝eq\f(91,216).故选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为1.解析：正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，所以正态分布的数学期望就是1.12．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为eq\f(8,27).解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A片区房源记为事务M，则P(M)＝eq\f(1,3)，所以恰有2人申请A片区的概率为P＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(8,27).13．某校要从5名男生和2名女生中选出2人作为世博会志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则X的数学期望EX＝eq\f(4,7).解析：随机变量X听从超几何分布，其中N＝7，M＝2，n＝2，则EX＝2×eq\f(2,7)＝eq\f(4,7).14．某次考试有20道题目可供选择，对每道题考生甲答对的概率均为eq\f(1,2).现随机抽考6道题，考生答对4道题就算合格，答对5道题就算优秀．在甲知道自己合格的状况下，则甲得优秀的概率为eq\f(2,5).解析：对抽取的每道题，甲答对的概率为eq\f(1,2)，记“甲合格”为事务A，“甲优秀”为事务B，所求概率为P(B|A)，则P(A)＝Ceq\o\al(4,6)(eq\f(1,2))4·(eq\f(1,2))2＝eq\f(15,64)，P(B)＝Ceq\o\al(5,6)(eq\f(1,2))5(eq\f(1,2))1＝eq\f(6,64).因为B⊆A，所以P(AB)＝P(B)，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(2,5).15．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的运用运用寿命(单位：小时)均听从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的寿命超过1000小时的概率为eq\f(3,8).解析：本题考查了正态分布有关学问．三个电子元件的运用寿命均听从正态分布N(1000,502)得：三个电子元件的运用寿命超过1000小时的概率为p＝eq\f(1,2).超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率P1＝1－(1－p)2＝eq\f(3,4)，那么该部件的运用寿命超过1000小时的概率为p2＝p1×p＝eq\f(3,8).正确理解正态分布的意义是解题的关键．三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本题满分12分)甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室里只有一部电话机，设经该机打进的电话打给甲、乙、丙的概率依次为eq\f(1,6)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2).若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立，求：(1)这三个电话是打给同一个人的概率；(2)这三个电话中恰有两个是打给甲的概率．解：(1)由互斥事务有一个发生的概率公式和独立事务同时发生的概率公式，得所求的概率为(eq\f(1,6))3＋(eq\f(1,3))3＋(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,6).(2)这是n＝3，p＝eq\f(1,6)的独立重复试验，故所求的概率为P3(2)＝Ceq\o\al(2,3)×(eq\f(1,6))2×eq\f(5,6)＝eq\f(5,72).17．(本题满分12分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参与学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事务A，“女生乙被选中”为事务B，求P(B)和P(B|A)．解：(1)X的全部可能取值为0,1,2，依题意得P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).∴X的分布列为X012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)(2)设“甲、乙都不被选中”为事务C，则P(C)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)；∴所求概率为P(eq\x\to(C))＝1－P(C)＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).(3)P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)；P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(A)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2)，即P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(2,5).18．(本题满分12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示．据统计，随机变量ξ的概率分布列如下表：ξ0123P0.10.32a(1)求a的值和ξ的均值；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．解：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a＋a＝1，解得aξ的概率分布列为ξ0123P0.10.30.40.2故Eξ＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)设事务A＝{两个月内共被投诉2次}；事务A1＝{两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次}；事务A2＝{两个月内每个月均被投诉1次}．则由事务的独立性得P(A1)＝2×0.4×0.1＝0.08，P(A2)＝0.32＝0.09，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.19．(本题满分12分)一批产品须要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.假如n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；假如n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他状况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为eq\f(1,2)，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为100元，且抽取的每件产品都须要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事务A，第一次取出的4件产品全是优质品为事务C，其次次取出的4件产品都是优质品为事务B，其次次取出的1件产品是优质品为事务D，这批产品通过检验为事务E，依题意有E＝(AB)∪(CD)，且AB与CD互斥，∴P(E)＝P(AB)＋P(CD)＝P(A)P(B|A)＋P(C)P(D|C)＝Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,2))3×eq\f(1,2)×(eq\f(1,2))4＋(eq\f(1,2))4×eq\f(1,2)＝eq\f(3,64).(2)由题意知，需检验产品的件数分别为4(n≤2)，5件(n＝4)，8件(n＝3)，故X的可能取值为400、500、800，并且P(X＝400)＝1－Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,2))3×eq\f(1,2)－(eq\f(1,2))4＝eq\f(11,16)，P(X＝500)＝eq\f(1,16)，P(X＝800)＝Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,2))3×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，∴X的分布列为X400500800Peq\f(11,16)eq\f(1,16)eq\f(1,4)EX＝400×eq\f(11,16)＋500×eq\f(1,16)＋800×eq\f(1,4)＝506.25.20．(本题满分13分)一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中随意摸出1个球，得到黑球的概率是eq\f(2,5)；从袋中随意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是eq\f(7,9).(1)若袋中共有10个球，①求白球的个数；②从袋中随意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ；(2)证明：从袋中随意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于eq\f(7,10).并指出袋中哪种颜色的球的个数最少．解：(1)①记“从袋中随意摸出2个球，至少得到1个白球”为事务A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,10－x),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,9)，解得x＝5或x＝14(舍去)，故白球有5个．②随机变量ξ的全部可能取值为0,1,2,3，且P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，所以随机变量ξ的分布列是ξ0123Peq\f(1,12)eq\f(5,12)eq\f(5,12)eq\f(1,12)故Eξ＝eq\f(1,12)×0＋eq\f(5,12)×1＋eq\f(5,12)×2＋eq\f(1,12)×3＝eq\f(3,2).(2)证明：设袋中有n个球，其中有y个黑球，由题意得y＝eq\f(2,5)n，所以2y<n,2y≤n－1，故eq\f(y,n－1)≤eq\f(