苏州市2023-2024高三上学期期中数学试卷及答案

苏州市2023-2024年第一学期高三年级11月摸底调研数学学科（总分：150分；考试时长：120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，且都是全集的子集，则右图中阴影部分表示的集合是（）A. B.C. D.2.已知复数，且是纯虚数，则（）A. B.0 C.2 D.3.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A1.6 B.1.2 C.0.8 D.0.64.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边的中点，连结并延长到点F，使得，则的值为（）A. B. C.1 D.6.设、，且，则（）A. B. C. D.7.已知直线与是曲线的两条切线，则（）A. B. C.4 D.无法确定8.已知实数，，，那么实数的大小关系是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若函数，则下列命题正确的是（）A.函数的图象与的图象重合B.CD.存在唯一的，使得10.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（）A.驽马第七日行九十四里 B.第七日良马先至齐C第八日二马相逢 D.二马相逢时良马行一千三百九十五里11.在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，线段上有动点，棱上点满足．以下说法中，正确的有（）A.直线与是异面直线B.直线平面C.三棱锥的体积是1D.三棱锥的体积是312.设m∈R，直线与直线相交于点P（x，y），线段AB是圆C：的一条动弦，Q为弦AB的中点，，下列说法正确的是（）A.点P在定圆 B.点P在圆C外C.线段PQ长最大值为 D.的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.中，，若，则___________．14.“m＞1”是“函数的最大值小于1”的___________条件.(在“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“既不充分也不必要”中选择一个填空)15.某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道.要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元（不考虑宽度厚度等因素），则水池面积最大值为___________平方米.16.中，，则的最小值为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量.（1）若，求的值；（2）记，求函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数的值域.18.已知等差数列满足，（1）求的通项公式；（2）设求数列的前项和.19.记中内角A，B，C对边分别为a，b，c.已知，.（1）求A；（2）点A，D位于直线异侧，，.求的最大值.20.已知直三棱柱，，，．（1）证明：∥平面；（2）当最短时，求二面角的余弦值．21.在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为2，过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线交椭圆C于点P，Q，直线AP，AQ分别交y轴于点M，N，且，求证：直线过定点.22.已知函数．（1）求的最小值；（2）设点，证明：当时，过点可以作曲线的两条切线．苏州市2023-2024年第一学期高三年级11月摸底调研数学学科（总分：150分；考试时长：120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.A3.D4.A5.B6.A7.A8.B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.AC10.AD11.ABC12.BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.14.充分不必要15.40016.2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1），，，即，.（2）由图象向右平移，横坐标变为2倍得，在单调递增，单调递减，即值域为18.（1）因为，所以所以设等差数列的公差为，则，可得当时，，可得所以（2）当为奇数时，当为偶数时，所以19.（1）∵且，∴∴由正弦定理得∴∴∴∴∵，，，，∴，∴∴（2）由（1）知，且∴由余弦定理得∵，∴∴当且仅当时，取最大值，取得最大值∴的最大值20.（1）直三棱柱中，以为正交基底如图建立空间直角坐标系设，则，，，所以因为所以所以．因为平面所以平面的一个法向量为因为，平面所以∥平面ABC（2）由（1）得，当时，最短，所以，所以，设平面的一个法向量为则令，则，所以平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，则，令，则设二面角的平面角为，则由图可知二面角为钝角所以二面角的余弦值为21.（1）方法一：设椭圆的焦距为，则不妨设，所以，所以，解得因为，所以椭圆的标准方程方法二：设椭圆的焦距为，则由解得，所以椭圆的标准方程（2）显然直线AP，AQ斜率都存在设直线AP的方程为令，得设直线的方程为，同理可得因为，所以所以设直线的方程为由得所以，所以，所以所以解得所以直线过点22.（1），令，解得所以，当时，，单调递减当时，，单调递增所以，（2）证明：设过点且与相切的直线与的切点为所以，切线的斜率为所以，切线方程为因为点在切线上所以，，即所以，