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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知a>b>0,c>1,则下列各式成立的是()A.sina>sinb B.ca>cb C.ac<bc D.2.已知定义在上的函数,,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.3.双曲线的一条渐近线方程为,那么它的离心率为()A. B. C. D.4.已知等差数列的前项和为,若,,则数列的公差为()A. B. C. D.5.已知集合的所有三个元素的子集记为.记为集合中的最大元素,则()A. B. C. D.6.“”是“直线与互相平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知双曲线C:1(a>0,b>0)的焦距为8,一条渐近线方程为,则C为()A. B.C. D.8.的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为A.-40 B.-20 C.20 D.409.在条件下,目标函数的最大值为40,则的最小值是()A. B. C. D.210.如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是()A. B. C. D.11.复数满足为虚数单位),则的虚部为()A. B. C. D.12.金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节,“……洪七公道:肉只五种,但猪羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有几般变化,我可算不出了”.现有五种不同的肉,任何两种(含两种)以上的肉混合后的滋味都不一样,则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为()A.20 B.24 C.25 D.26二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.二项式的展开式的各项系数之和为_____,含项的系数为_____.14.已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上任一点,且的最小值为,则该双曲线的离心率是__________.15.电影《厉害了,我的国》于2018年3月正式登陆全国院线,网友纷纷表示,看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲,我为我是中国人骄傲!”《厉害了,我的国》正在召唤我们每一个人,不忘初心,用奋斗书写无悔人生,小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了,我的国》,并把标识为的四张电影票放在编号分别为1,2,3,4的四个不同的盒子里,让四位好朋友进行猜测:甲说:第1个盒子里放的是,第3个盒子里放的是乙说:第2个盒子里放的是,第3个盒子里放的是丙说:第4个盒子里放的是,第2个盒子里放的是丁说:第4个盒子里放的是,第3个盒子里放的是小明说:“四位朋友你们都只说对了一半”可以预测,第4个盒子里放的电影票为_________16.已知函数,曲线与直线相交,若存在相邻两个交点间的距离为,则可取到的最大值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数).以平面直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程;(2)设和交点的交点为,求的面积.18.(12分)已知,函数.(Ⅰ)若在区间上单调递增,求的值;(Ⅱ)若恒成立,求的最大值.(参考数据:)19.(12分)记抛物线的焦点为,点在抛物线上,且直线的斜率为1,当直线过点时,.(1)求抛物线的方程;(2)若,直线与交于点,,求直线的斜率.20.(12分)如图,已知椭圆C:x24+y2=1,F为其右焦点,直线l:y=kx+m(km<0)与椭圆交于P(x1(I)试用x1表示|PF|(II)证明:原点O到直线l的距离为定值.21.(12分)设椭圆:的右焦点为,右顶点为,已知椭圆离心率为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点,若,且,求直线斜率的取值范围.22.(10分)已知椭圆,上、下顶点分别是、,上、下焦点分别是、,焦距为,点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)若为椭圆上异于、的动点,过作与轴平行的直线,直线与交于点,直线与直线交于点,判断是否为定值,说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
根据函数单调性逐项判断即可【详解】对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定,故错误;对B,因为y=cx为增函数,且a>b,所以ca>cb,正确对C,因为y=xc为增函数,故,错误;对D,因为在为减函数,故,错误故选B.【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性,属基础题.2.D【解析】
先判断函数在时的单调性,可以判断出函数是奇函数,利用奇函数的性质可以得到,比较三个数的大小,然后根据函数在时的单调性,比较出三个数的大小.【详解】当时,,函数在时,是增函数.因为,所以函数是奇函数,所以有,因为,函数在时,是增函数,所以,故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题,判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.3.D【解析】
根据双曲线的一条渐近线方程为,列出方程,求出的值即可.【详解】∵双曲线的一条渐近线方程为,可得,∴,∴双曲线的离心率.故选:D.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法,属于基础题.4.D【解析】
根据等差数列公式直接计算得到答案.【详解】依题意,,故,故,故,故选:D.【点睛】本题考查了等差数列的计算,意在考查学生的计算能力.5.B【解析】
分类讨论,分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数,即可得解.【详解】集合含有个元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素为的集合有个;最大元素为的集合有;最大元素为的集合有;最大元素为的集合有;所以.故选:.【点睛】此题考查集合相关的新定义问题,其本质在于弄清计数原理,分类讨论,分别求解.6.A【解析】
利用两条直线互相平行的条件进行判定【详解】当时,直线方程为与,可得两直线平行;若直线与互相平行,则,解得,,则“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件,故选【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质,充分条件,必要条件的定义和判断方法,属于基础题.7.A【解析】
由题意求得c与的值,结合隐含条件列式求得a2,b2,则答案可求.【详解】由题意,2c=8,则c=4,又,且a2+b2=c2,解得a2=4,b2=12.∴双曲线C的方程为.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质,属于基础题.8.D【解析】令x=1得a=1.故原式=.的通项,由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80,由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为40,选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘,若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x,选3个提出;若第1个括号提出,从余下的括号中选2个提出,选3个提出x.故常数项==-40+80=409.B【解析】
画出可行域和目标函数,根据平移得到最值点,再利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示,画出可行域和目标函数,根据图像知:当时,有最大值为,即,故..当,即时等号成立.故选:.【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数,均值不等式,意在考查学生的综合应用能力.10.C【解析】
根据程序框图的运行,循环算出当时,结束运行,总结分析即可得出答案.【详解】由题可知,程序框图的运行结果为31,当时,;当时,;当时,;当时,;当时,.此时输出.故选:C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构,已知输出结果求条件框,属于基础题.11.C【解析】
,分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【详解】由已知,,故的虚部为.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法运算,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.12.D【解析】
利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为,再利用组合数的计算公式可得所求的种数.【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为(种),故选:D.【点睛】本题考查组合的应用,此类问题注意实际问题的合理转化,本题属于容易题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
将代入二项式可得展开式各项系数之和,写出二项展开式通项,令的指数为,求出参数的值,代入通项即可得出项的系数.【详解】将代入二项式可得展开式各项系数和为.二项式的展开式通项为,令,解得,因此,展开式中含项的系数为.故答案为:;.【点睛】本题考查了二项式定理及二项式展开式通项公式,属基础题.14.【解析】
根据双曲线方程,设及,将代入双曲线方程并化简可得,由题意的最小值为,结合平面向量数量积的坐标运算化简,即可求得的值,进而求得离心率即可.【详解】设点,,则,即,∵,,,当时,等号成立,∴,∴,∴.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线与向量的综合应用,由平面向量数量积的最值求离心率,属于中档题.15.A或D【解析】
分别假设每一个人一半是对的,然后分别进行验证即可.【详解】解:假设甲说:第1个盒子里面放的是是对的,则乙说:第3个盒子里面放的是是对的,丙说:第2个盒子里面放的是是对的,丁说:第4个盒子里面放的是是对的,由此可知第4个盒子里面放的是;假设甲说:第3个盒子里面放的是是对的,则丙说:第4个盒子里面放的是是对的,乙说:第2个盒子里面放的是是对的,丁说:第3个盒子里面放的是是对的,由此可知第4个盒子里面放的是.故第4个盒子里面放的电影票为或.故答案为:或【点睛】本题考查简单的合情推理,考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力,属于中档题.16.4【解析】
由于曲线与直线相交,存在相邻两个交点间的距离为,所以函数的周期,可得到的取值范围,再由解出的两类不同的值,然后列方程求出,再结合的取值范围可得的最大值.【详解】,可得,由,则或,即或,由题意得,所以,则或,所以可取到的最大值为4.故答案为:4【点睛】此题考查正弦函数的图像和性质的应用及三角方程的求解,熟练应用三角函数的图像和性质是解题的关键,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)【解析】
(1)先将曲线的参数方程化为普通方程,再将普通方程化为极坐标方程即可.(2)将和的极坐标方程联立,求得两个曲线交点的极坐标,即可由极坐标的含义求得的面积.【详解】(1)曲线的参数方程为(α为参数),消去参数的的直角坐标方程为.所以的极坐标方程为(2)解方程组,得到.所以,则或().当()时,,当()时,.所以和的交点极坐标为:,.所以.故的面积为.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化,直角坐标方程与极坐标的转化,利用极坐标求三角形面积,属于中档题.18.(Ⅰ);(Ⅱ)3.【解析】
(Ⅰ)先求导,得,已知导函数单调递增,又在区间上单调递增,故,令,求得,讨论得,而,故,进而得解;(Ⅱ)可通过必要性探路,当时,由知,又由于,则,当,,结合零点存在定理可判断必存在使得,得,,化简得,再由二次函数性质即可求证;【详解】(Ⅰ)的定义域为.易知单调递增,由题意有.令,则.令得.所以当时,单调递增;当时,单调递减.所以,而又有,因此,所以.(Ⅱ)由知,又由于,则.下面证明符合条件.若.所以.易知单调递增,而,,因此必存在使得,即.且当时,单调递减;当时,,单调递增;则.综上,的最大值为3.【点睛】本题考查导数的计算,利用导数研究函数的增减性和最值,属于中档题19.(1)(2)0【解析】
(1)根据题意,设直线,与联立,得,再由弦长公式,求解.(2)设,根据直线的斜率为1,则,得到,再由,所以线段中点的纵坐标为,然后直线的方程与直线的方程联立解得交点H的纵坐标,说明直线轴,直线的斜率为0.【详解】(1)依题意,,则直线,联立得;设,则,解得,故抛物线的方程为.(2),因为直线的斜率为1,则,所以,因为,所以线段中点的纵坐标为.直线的方程为,即①直线的方程为,即②联立①②解得即点的纵坐标为,即直线轴,故直线的斜率为0.如果直线的斜率不存在,结论也显然成立,综上所述,直线的斜率为0.【点睛】本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系,还考查推理论证能力以及化归与转化思想,属于中档题.20.(I)|FP|=2-32x【解析】
(I)直接利用两点间距离公式化简得到答案.(II)设Ax3,y3,Bx4【详解】(I)椭圆C:x24|FP|=x(II)设Ax3,y3,B4k2+1x2OA=OB,故y3PA=PF,故1+k由已知得:x3<x故1+k即1+k2⋅故原点O到直线l的距离为d=m【点睛】本题考查了椭圆内的线段长度,定值问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)由题意可得,,,解得即可求出椭圆的C的方程;(Ⅱ)由已知设直线l的方程为y=k(x-2),(k≠0
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