人教A版必修二高中数学第三章 章末检测同步课堂导学案【含详细解析】

章末检测一、选择题1．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为()A．30°B．45°C．60°D．135°答案D解析由题意可知，直线l的斜率为－1，故由tan135°＝－1，可知直线l的倾斜角为135°.2．已知点A(0,4)，B(4,0)在直线l上，则l的方程为()A．x＋y－4＝0B．x－y－4＝0C．x＋y＋4＝0D．x－y＋4＝0答案A解析由截距式方程可得l的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,4)＝1，即x＋y－4＝0.3．点(1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为()A．1B．2C.eq\f(\r(2),2)D.eq\r(2)答案C解析由点到直线的距离公式得d＝eq\f(|1＋1－1|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2).4．已知直线l1：ax－y－2＝0和直线l2：(a＋2)x－y＋1＝0互相垂直，则实数a的值为()A．－1B．0C．1D．2答案A解析l1的斜率为a，l2的斜率为a＋2，∵l1⊥l2，∴a(a＋2)＝－1.∴a2＋2a＋1＝0即a＝－1.5．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于直线4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为eq\f(1,3)，则m，n的值分别为()A．4和3B．－4和3C．－4和－3D．4和－3答案C解析由题意知：－eq\f(m,n)＝－eq\f(4,3)，即3m＝4n，且有－eq\f(1,n)＝eq\f(1,3)，∴n＝－3，m＝－4.6．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为()A．3x＋4y＋5＝0B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0D．－3x＋4y＋5＝0答案A解析设所求直线上的任一点为(x，y)，则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，因为点(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，所以3x＋4y＋5＝0.7．两点A(a＋2，b＋2)和B(b－a，－b)关于直线4x＋3y＝11对称，则a，b的值分别为()A．－1,2B．4，－2C．2,4D．4,2答案D解析A、B关于直线4x＋3y＝11对称，则kAB＝eq\f(3,4)，即eq\f(b＋2－－b,a＋2－b－a)＝eq\f(3,4)，①且AB中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋2,2)，1))在已知直线上，代入得2(b＋2)＋3＝11，②解①②组成的方程组得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2.))故选D.8.如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．2eq\r(10)B．6C．3eq\r(3)D．2eq\r(5)答案A解析由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程PMN的长为|CD|＝2eq\r(10).9．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过的定点是()A．(2,3)B．(－2,3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)))D．(－2,0)答案B解析将直线方程变为：a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，则直线恒过两直线x＋2＝0与－x－y＋1＝0的交点，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,x＋y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3，))即直线过定点(－2,3)．10．已知点M(1,0)和N(－1,0)，直线2x＋y＝b与线段MN相交，则b的取值范围为()A．[－2,2]B．[－1,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))D．[0,2]答案A解析直线可化成y＝－2x＋b，当直线过点M时，可得b＝2；当直线过点N时，可得b＝－2.所以要使直线与线段MN相交，b的取值范围为[－2,2]．二、填空题11．过点(1,3)且在x轴的截距为2的直线方程是________．答案3x＋y－6＝0解析由题意设所求直线的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,b)＝1，又点(1,3)满足该方程，故eq\f(1,2)＋eq\f(3,b)＝1，∴b＝6.即所求直线的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,6)＝1，化为一般式得3x＋y－6＝0.12．经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为________．答案2x＋3y－2＝0解析由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))得交点A(－2,2)，因为所求直线垂直于直线3x－2y＋4＝0，故所求直线的斜率k＝－eq\f(2,3)，由点斜式得所求直线方程为y－2＝－eq\f(2,3)(x＋2)，即2x＋3y－2＝0.13．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．答案－eq\f(2,3)解析设P(x,1)，则Q(2－x，－3)，将Q坐标代入x－y－7＝0得，2－x＋3－7＝0.∴x＝－2，∴P(－2,1)，∴kl＝－eq\f(2,3).14．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案(2,4)解析设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求．又kAC＝eq\f(6－2,3－1)＝2，∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.①又kBD＝eq\f(5－－1,1－7)＝－1，∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x＋y－6＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))∴M(2,4)．三、解答题15．已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2(1)相交；(2)平行；(3)重合．解当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l1∥l2.当m＝2时，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，∴l1与l2相交．当m≠0且m≠2时，由eq\f(1,m－2)＝eq\f(m2,3m)得m＝－1或m＝3，由eq\f(1,m－2)＝eq\f(6,2m)，得m＝3.故(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l1与l2相交．(2)当m＝－1或m＝0时，l1∥l2.(3)当m＝3时，l1与l2重合．16．直线l经过两直线l1：2x－y＋4＝0与l2：x－y＋5＝0的交点，且与直线x－2y－6＝0垂直．(1)求直线l的方程；(2)若点P(a,1)到直线l的距离为eq\r(5)，求实数a的值．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋4＝0，,x－y＋5＝0))得交点为(1,6)，又直线l垂直于直线x－2y－6＝0，所以直线l的斜率为k＝－2.故直线l的方程为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.(2)由于P(a,1)到直线l的距离等于eq\r(5)，则eq\f(|2a＋1－8|,\r(5))＝eq\r(5)，解得a＝1或a＝6.17．(1)已知直线y＝eq\f(\r(3),3)x－1的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β＝2α，且过点M(2，－1)，求l的方程；(2)已知直线l过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．解(1)∵已知直线的斜率为eq\f(\r(3),3)，即tanα＝eq\f(\r(3),3)，∴α＝30°.∴直线l的斜率k＝tan2α＝tan60°＝eq\r(3).又l过点(2，－1)，∴l的方程为y－(－1)＝eq\r(3)(x－2)，即eq\r(3)x－y－2eq\r(3)－1＝0.(2)显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设l的斜率为k，则k≠0，则l的方程为y－3＝k(x＋2)．令x＝0，得y＝2k＋3；令y＝0，得x＝－eq\f(3,k)－2.于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为eq\f(1,2)|(2k＋3)·(－eq\f(3,k)－2)|＝4，即(2k＋3)(eq\f(3,k)＋2)＝±8，解得k＝－eq\f(1,2)或k＝－eq\f(9,2).∴l的方程为y－3＝－eq\f(1,2)(x＋2)，或y－3＝－eq\f(9,2)(x＋2)．即x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.18．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是eq\f(7,10)eq\r(5).(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的eq\f(1,2)；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是eq\r(2)∶eq\r(5)，若能，求出P点的坐标；若不能，说明理由．解(1)∵l2为2x－y－eq\f(1,2)＝0，∴l1与l2的距离为d＝eq\f(|a－－\f(1,2)|,\r(22＋－12))＝eq\f(7\r(5),10).∵a>0，∴a＝3.(2)设点P(x0，y0)满足②，则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上且eq\f(|c－3|,\r(5))＝eq\f(1,2)·eq\f(|c＋\f(1,2)|,\r(5))，即c＝eq\f(13,2)或c＝eq\f(11,6)，∴有2x0－y0＋eq\f(13,2)＝0或2x0－y0＋eq\f(11,6)＝0.若点P满足条件③，由点到直线的距离公式有：eq\f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq\f(\r(2),\r(5))·eq\f(|x0＋y0－1|,\r(2))，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，∴x0－2y0＋4＝0，或3x0＋2＝0.∵P点在第一象限，∴3x0＋2＝0不可能．联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0－y0＋\