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2.2.4均值不等式及其应用

第二章等式与不等式人教B版（2019）尝试与发现（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；（2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义．a12b14131均值不等式如果a，b都是正数，那么当且仅当a＝b时，等号成立．证明因为a，b都是正数，所以即

而且，等号成立时，当且仅当，即a＝b．

值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如

一定是正确的．均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．那么，均值不等式有什么几何意义呢？将均值不等式两边平方可得≥ab．

如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab，

可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．探索与研究

如图所示的半圆中，AB为直径，O为圆心．

已知AC＝a，BC＝b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，给出均值不等式的另一个几何意义.例3

（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？分析：在（1）中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在（2）中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽之积的最大值.x=y=9当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.例3的结论可以表述为：

例5的结论也是经常要用的.不难看出，均值不等式与例5的结论既有联系，又有区别.区别在于例5中去掉了a，b是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成例5结论的一种特殊情况.练习巩固DCDCDCB

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