天津市滨海新区2019-2020学年中考数学三模考试卷含解析

天津市滨海新区2019-2020学年中考数学三模考试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.）

1-在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx-2k和二次函数y=-kx?+2x-4（k是常数且k，0）的图

象可能是（）

2.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（

3.如图，正比例函数y=x与反比例函数二的图象交于A（2,2）、B（-2,-2）两点，当y=x的函

数值大于二=4■的函数值时，x的取值范围是（）

4

X

O2x

A.x>2B.x<-2

C.-2<X<0SK0<X<2D.-2VxV0或x>2

4.如图1,在等边△ABC中，D是BC的中点，P为AB边上的一个动点，设AP=x,图1中线段DP的

长为y,若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则4ABC的面积为()

A.4B.273C.12D.473

5.碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径

为0.5纳米的碳纳米管，1纳米=0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为()

A.0.5x10-9米B.5x10-8米C.5、10一9米0.5xl()T°米

6.计算(ab?)3的结果是()

A.ab5B.ab6C.a3bsD.a3b6

7.已知在一个不透明的口袋中有4个形状、大小、材质完全相同的球，其中1个红色球，3个黄色球.从

口袋中随机取出一个球(不放回)，接着再取出一个球，则取出的两个都是黄色球的概率为()

A.-B-7

8.已知aVL点A(xi，-2)、B(x2,4).C(x3,5)为反比例函数丫=心图象上的三点，则下列结

X

论正

确的是()

A.X1>X2>X3B.X1>X3>X2C.Xj>Xi>X2D.X2>X3>X1

9.在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A,B,C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两

点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，贝!矩面积"S=ah.例如：三点坐标分别

为A(1,2),B(-3,1),C(2,-2),则“水平底”a=5,“铅垂高”h=4,“矩面积"S=ah=l.若D(1,2)、

E(-2,1)、F((),t)三点的“矩面积”为18,则t的值为()

A.-3或7B.-4或6C.-4或7D.-3或6

10.若分式一二有意义，则x的取值范围是

x-1

A.x>lB.x<lC.x#lD.x邦

IL如图，CE,BF分别是△ABC的高线，连接EF,EF=6,BC=10,D、G分别是EF、BC的中点，则

DG的长为()

A

A.6C.4D.3

12.如图1,点E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿BE-ED-DC运动到点C停止,

点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是km/s.若点P、Q同时开始运动，设运动

时间为t(s),ABPQ的面积为y(cm?),已知y与t之间的函数图象如图2所示.给出下列结论：①当()

2

VtWIO时，ABPQ是等腰三角形；@SAABE=48cm；③14<tV22时，y=110-It；④在运动过程中，使得

AABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤当ABPQ与△BEA相似时，其中正确结论的序号是

()

D.①③⑤

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.如图，矩形ABC。中，45=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点。落在点。'处.则重叠部分AAFC

的面积为.

14.小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的

概率是.

15.某物流仓储公司用如图A,B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多

搬运20kg,A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，设B型机器人每小

时搬运xkg物品，列出关于x的方程为.

16.如图，在AABC中，AB=AC,tanZACB=2,D在△ABC内部，且AD=CD,ZADC=90°,连接BD,

若ABCD的面积为10,则AD的长为.

17.如图，在菱形ABCD中，AB=JLNB=120。，点E是AD边上的一个动点（不与A,D重合），EF〃AB

交BC于点F,点G在CD上，DG=DE.若△EFG是等腰三角形，则DE的长为

18.如图，已知根//〃，Zl=105°,22=140°则/4=.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x?-2ax与x轴相交于O、A两点，OA=4,点D为

抛物线的顶点，并且直线y=kx+b与该抛物线相交于A、B两点，与y轴相交于点C,B点的横坐标是-1.

（1）求k,a,b的值；

（2）若P是直线AB上方抛物线上的一点，设P点的横坐标是t,APAB的面积是S,求S关于t的函数

关系式，并直接写出自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当PB〃CD时，点Q是直线AB上一点，若NBPQ+NCBO=180。，求Q点坐标.

图（1）图（2）图（3）

20.（6分）如图，AB是。O的直径，弦DE交AB于点F,。。的切线BC与AD的延长线交于点C,

连接AE.

（1）试判断NAED与NC的数量关系，并说明理由；

（2）若AD=3,ZC=60°,点E是半圆AB的中点，则线段AE的长为.

21.（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-Jx2+bx+c（a#））与x轴交于A、B两点，与

3

y轴交于点C,点A的坐标为（-1,0）,抛物线的对称轴直线x=万交x轴于点D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,交x轴于点G,当点E

运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；

（3）在（2）的条件下，将线段FG绕点G顺时针旋转一个角a（（TVaV%。），在旋转过程中，设线段

FG与抛物线交于点N,在线段GB上是否存在点P,使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？

如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

DB

22.（8分）某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400

个以上，可享受8折优惠.若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88

个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元.请问该学校九年级学生有多少人？

23.（8分）如图，已知。是AABC的外接圆，圆心。在A4BC的外部，AB=AC=4,BC=4

求。的半径.

24.（10分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,DEJ_AC于点F,交BC于点

G,交AB的延长线于点E,且AE=AC.

C求证：BG=FG;若AD=DC=2,求AB的长.

25.（10分）RtAABC中，ZABC=90°,以AB为直径作。O交AC边于点D,E是边BC的中点，连接

DE,OD.

（1）如图①，求NODE的大小;

（2）如图②，连接OC交DE于点F,若OF=CF,求NA的大小.

—2丫+]X2—41

26.（12分）先化简，再求值：〃七+弓_且X为满足-3VxV2的整数.

x-xx+2xx

27.（12分）已知，抛物线L:y=d—2/犹—3（〃为常数）.

（1）抛物线的顶点坐标为（.）（用含〃的代数式表示）;

k

(2)若抛物线L经过点M(-2,-l)且与y=图象交点的纵坐标为3,请在图1中画出抛物线L的简图,

并求>=人的函数表达式；

x

(3)如图2,规矩ABCD的四条边分别平行于坐标轴，AD=1,若抛物线L经过A,C两点,且矩形ABCD

在其对称轴的左侧，则对角线AC的最小值是.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.)

1.C

【解析】

【分析】

根据一次函数与二次函数的图象的性质，求出k的取值范围，再逐项判断即可.

【详解】

解：A、由一次函数图象可知，k>0,.•.-!€<(),.•.二次函数的图象开口应该向下，故A选项不合题意；

21

B、由一次函数图象可知，k>0,-kVO,--：=/>(),...二次函数的图象开口向下，且对称轴在

-2kk

x轴的正半轴，故B选项不合题意；

21

C、由一次函数图象可知，k<0,/.-k>0,--7=:<0,,...二次函数的图象开口向上，且对称轴在

-2kk

x轴的负半轴，一次函数必经过点(2,0),当x=2时，二次函数值y=-4k>0,故C选项符合题意;

21

D、由一次函数图象可知，kVO,-k>0,-F7=/<0,,.,.二次函数的图象开口向上，且对称轴在

-2kk

x轴的负半轴，一次函数必经过点(2,0),当x=2时，二次函数值y=-4k>0,故D选项不合题意;

故选：C.

【点睛】

本题考查一次函数与二次函数的图象和性质，解决此题的关键是熟记图象的性质，此外，还要主要二

次函数的对称轴、两图象的交点的位置等.

2.B

【解析】

【分析】

找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

【详解】

解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形.

故选：B.

【点睛】

本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图.

3.D

【解析】

试题分析：观察函数图象得到当-2VxV()或x>2时，正比例函数图象都在反比例函数图象上方，即有

y=x的函数值大于二=三的函数值.故选D.

考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2.数形结合思想的应用.

4.D

【解析】

分析：

由图1、图2结合题意可知，当DP_LAB时，DP最短，由此可得DP最短=y最小=石，这样如图3,过点P

作PDJ_AB于点P,连接AD,结合△ABC是等边三角形和点D是BC边的中点进行分析解答即可.

详解：

由题意可知：当DPJ_AB时，DP最短，由此可得DP最短=丫最小=百，如图3,过点P作PDJ_AB于点P,

连接AD,

•.,△ABC是等边三角形，点D是BC边上的中点，

.,.ZABC=60°,AD±BC,

•••DPLAB于点P,此时DP=J5，

•PD®

••BD=y/j4------=2，

sin602

，BC=2BD=4,

.♦.AB=4,

AD=AB・sin/B=4xsin60°=2石，

SAABC=-ADBC=-x273x4=4G.

22

故选D.

A

点睛：“读懂题意，知道当DPJ_AB于点P时，DP最短=G”是解答本题的关键.

5.D

【解析】

解：0.5纳米=0.5x0.000000001米=0.0000000005米=5xl0T0米.

故选D.

点睛:在负指数科学计数法ax10-"中，其中14a<10,n等于第一个非0数字前所有0的个数(包括

下数点前面的0).

6.D

【解析】

试题分析：根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可.

试题解析：(ab2)3=a3*(b2)3=a3b'.

故选D.

考点：幕的乘方与积的乘方.

7.D

【解析】

试题分析：列举出所有情况，看取出的两个都是黄色球的情况数占总情况数的多少即可.

/N/N/N

苗苗订苗苗幺T苗苗幺T苗苗苗

共有12种情况，取出2个都是黄色的情况数有6种，所以概率为：

故选D.

考点：列表法与树状法.

8.B

【解析】

【分析】

根据y=j的图象上的三点，把三点代入可以得到XI=-3二，Xi=21,X3=^,在根据a

x245

的大小即可解题

【详解】

解：•.•点A（xi，-1）、B（xi，4）、C63,5）为反比例函数y=图象上的三点，

6!—1〃一1〃一1

Va<l,

Aa-KO,

.,•X1>X3>X1.

故选B.

【点睛】

此题主要考查一次函数图象与系数的关系，解题关键在于把三点代入，在根据a的大小来判断

9.C

【解析】

【分析】

由题可知“水平底”a的长度为3,则由“矩面积”为18可知“铅垂高”h=6,再分>2或tVl两种情况进行求

解即可.

【详解】

解：由题可知a=3,贝!|h=18+3=6,则可知t>2或tVl.当t>2时，t-l=6,解得t=7；当tVl时，2-t=6,

解得t=-4.综上，t=-4或7.

故选择C.

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系的内容，理解题意是解题关键.

10.C

【解析】

【分析】

【详解】

分式分母不为0,所以X-1W0,解得xwl.

故选：C.

11.C

【解析】

【分析】

连接EG、FG,根据斜边中线长为斜边一半的性质即可求得EG=FG=^BC,因为D是EF中点，根据

2

等腰三角形三线合一的性质可得GD±EF,再根据勾股定理即可得出答案.

【详解】

解：连接EG、FG,

EG、FG分别为直角ABCE、直角ABCF的斜边中线，

•••直角三角形斜边中线长等于斜边长的一半

11

.".EG=FG=-BC=-xlO=5,

22

•••D为EF中点

AGDXEF,

即NEDG=90。，

又是EF的中点，

/.DE=LEF=LX6=3,

22

在RtdEDG中，

DG=^EG2-ED2=A/52-32=4»

故选C.

【点睛】

本题考查了直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半的性质、勾股定理以及等腰三角形三线合一的性质,

本题中根据等腰三角形三线合一的性质求得GD±EF是解题的关键.

12.D

【解析】

【分析】

根据题意，得到P、Q分别同时到达D、C可判断①②，分段讨论PQ位置后可以判断③，再由等腰三角

形的分类讨论方法确定④，根据两个点的相对位置判断点P在DC上时，存在ABPQ与ABEA相似的可

能性，分类讨论计算即可.

【详解】

解：由图象可知，点Q到达C时，点P至!JE贝!|BE=BC=1(),ED=4

故①正确

贝!IAE=10-4=6

t=10时，△BPQ的面积等于^BC£>C=1xl0£>C=40,

.*.AB=DC=8

故S"E=；A〃AE=24,

故②错误

当14ct<22时，y=1BCPC=|xlOx（22-x）=UO-5r,

故③正确；

分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，将两圆交点连接即为AB垂直平分线

则。A、OB及AB垂直平分线与点P运行路径的交点是P,满足4ABP是等腰三角形

此时，满足条件的点有4个，故④错误.

VABEA为直角三角形

二只有点P在DC边上时，有ABPQ与ABEA相似

由已知，PQ=22-t

二当法AB=噎PO或AB而B时C’ABPQ与ABEA相似

分别将数值代入

8227—810

片干或丁豕7，

132

解得t=-TT（舍去）或t=14.1

14

故⑤正确

故选：D.

【点睛】

本题是动点问题的函数图象探究题，考查了三角形相似判定、等腰三角

形判定，应用了分类讨论和数形结合的数学思想.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.1（）

【解析】

【分析】

根据翻折的特点得到AA。/三ACBF,==则FC=AF=8—x.在放A3CF中,

BC2+BF2=CF2,即42+炉=（8-X）2,解出X,再根据三角形的面积进行求解.

【详解】

2翻折,AAD=AD'=BC=4,ZD'=ZB=90°,

又•：NAFD'=NCFB,

：.\AD'F\CBF,

，AF=b.设BE=x,贝!)EC=A/=8—x.

在R/ABb中，BC2+BF2=CF2，即4?+/=(8-，

解得x=3,

AF=5,

•••^C=1^-5C=1X5X4=10.

【点睛】

此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知翻折的性质及勾股定理的应用.

14.j

【解析】

试题分析：根据题意和图示，可知所有的等可能性为18种，然后可知落在黑色区域的可能有4种，因此

可求得小球停留在黑色区域的概率为：.

.1000800

.5•--------=------

x+20x

【解析】

【分析】

设B型机器人每小时搬运xkg物品，则A型机器人每小时搬运(x+20)kg物品，根据“A型机器人搬运

1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等”可列方程.

【详解】

设B型机器人每小时搬运xkg物品，则A型机器人每小时搬运(x+20)kg物品,

1000800

根据题意可得

x+20x

“立心上

故答案为1000800

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据数量关系列出关于X的分式方程.本题属于基

础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键.

16.572

【解析】

【分析】

作辅助线，构建全等三角形和高线DH,设CM=a,根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和

AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明AADG02XCDH(AAS),可得DG=DH=MG=作辅助

线，构建全等三角形和高线DH,设CM=a,根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的

长，根据三角形面积表示DH的长，证明AADG@Z\CDH(AAS),可得DG=DH=MG=—,AG=CH

a

=a+—,根据AM=AG+MG,列方程可得结论.，AG=CH=a+—,根据AM=AG+MG,列方程

aa

可得结论.

【详解】

解：过D作DH_LBC于H,过A作AMJ_BC于M,过D作DG1.AM于G,

A

设CM=a,

VAB=AC,

ABC=2CM=2a,

VtanZACB=2,

AM

=2,

~CM

AAM=2a,

由勾股定理得：AC=V5a,

1

SBDC=-BC«DH=10,

A2

1

-•2a»DH=10,

2

10

DH=—,

a

VZDHM=ZHMG=ZMGD=90°,

二四边形DHMG为矩形，

/.ZHDG=90°=ZHDC+ZCDG,DG=HM,DH=MG,

：NADC=90。=NADG+NCDG,

.,.ZADG=ZCDH,

在小ADG^flACDH中，

NAG£>=NC”D=90°

VNADG=NCDH,

AD=CD

/.△ADG^ACDH(AAS),

ADG=DH=MG=—,AG=CH=aH——,

aa

AAM=AG+MG,

口口,10,10

即2a=aH-------1-----,

aa

a2=20,

在R3ADC中，AD2+CD2=AC2,

VAD=CD,

.,.2AD2=5a2=100,

.•.AD=5近或-5夜（舍），

故答案为5夜.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算；证明三角形全等得

出AG=CH是解决问题的关键，并利用方程的思想解决问题.

17.1或9

3

【解析】

【分析】

由四边形ABCD是菱形，得到BC〃AD,由于EF〃AB,得到四边形ABFE是平行四边形，根据平行四

边形的性质得到EF〃AB,于是得至ljEF=AB=Ji，当△EFG为等腰三角形时，①EF=GE=6时，于是

得至！）DE=DG=LAD+@=L②GE=GF时，根据勾股定理得到DE=4

223

【详解】

解：；四边形ABCD是菱形，ZB=120°,

.••ZD=ZB=120°,ZA=180°-120°=60°,BC//AD,

VEF/7AB,

二四边形ABFE是平行四边形，

，EF〃AB,

.,.EF=AB=V3»ZDEF=ZA=60°,ZEFC=ZB=120°,

VDE=DG,

.,.ZDEG=ZDGE=30°,

NFEG=30°,

当4EFG为等腰三角形时,

当EF=EG时，EG=5

如图1,

图1

过点D作DHJ_EG于H,

1杷

.*.EH=-EG=—,

22

*一HE

在RtADEH中，DE=---------T-=1,

cos30°

GE=GF时，如图2,

过点G作GQ_LEF,

i巧

：.EQ=_EF=2，在RtAEQG中，NQEG=30。，

22

.*.EG=1,

过点D作DPJ_EG于P,

11

.".PE=-EG=-,

22

同①的方法得，DE=*5,

3

当EF=FG时，由NEFG=180"2X30O=12()O=NCFE,此时，点C和点G重合，点F和点B重合，不符合

题意，

故答案为1或W.

3

【点睛】

本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握各性质是解题的

关键.

18.65°

【解析】

【分析】

根据两直线平行，同旁内角互补求出N3,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式

计算即可得解.

【详解】

Vm#n,2^1=105°,

:.Z3=180°-Zl=180o-105o=75°

:.Za=Z2-Z3=140°-75°=65°

故答案为：65。.

【点睛】

此题考查平行线的性质，解题关键在于利用同旁内角互补求出N3.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3157

19.(1)k=l、a=2、b=4；(2)s=-yt2-—t-6,自变量t的取值范围是-4<t<-1；⑶Q(-彳，

L

3

【解析】

【分析】

(1)根据题意可得A(-4,0)代入抛物线解析式可得a,求出抛物线解析式，根据B的横坐标可求B点

坐标，把A,B坐标代入直线解析式，可求k,b

(2)过P点作PN1.OA于N,交AB于M,过B点作BH_1PN,设出P点坐标，可求出N点坐标，即

可以用t表示S.

(3)由PB〃CD,可求P点坐标，连接OP,交AC于点R,过P点作PN_LOA于M,交AB于N,过

D点作DTJ_OA于T,根据P的坐标，可得NPOA=45。，由OA=OC可得NCAO=45。则PO_LAB,根据

抛物线的对称性可知R在对称轴上.设Q点坐标，根据△BORS/IPQS,可求Q点坐标.

【详解】

(1)VOA=4

.".A(-4,0)

:.-16+8a=0

:.a=2,

：.y=-x-4x,当x=-l时，y=-1+4=3,

AB(-1,3),

[~k+b=3

将A(-4,0)B(-1,3)代入函数解析式，得

-4Z+〃=0

k=1

解得

=4

直线AB的解析式为y=x+4,

Ak=l>a=2、b=4；

(2)过P点作PN_LOA于N,交AB于M,过B点作BH_LPN,如图1,

由(1)知直线AB是y=x+4,抛物线是y=-x?-4x,

2

当x=t时，yP=-t-4t,yN=t+4

PN=-t2-4t-(t+4)=-t2-5t-4,

BH=-1-t,AM=t-(-4)=t+4,

22

SAPAB=-PN(AM+BH)=-(-t-5t-4)(-1-t+t+4)=-(-t-5t-4)x3,

222

3]s

化简，得s=-\t2-=t-6,自变量t的取值范围是-4VtV-l；

22

:.-4<t<-1

(3)y=-x2-4x,当x=-2时，y=4即D(-2,4),当x=0时，y=x+4=4,即C(0,4),

.,,CD/7OA

VB(-1,3).

当y=3时，x=-3,

：.P(-3,3),

连接OP，交AC于点R,过P点作PN_LOA于M,交AB于N,过D点作DT_LOA于T,如图2,

可证R在DT上

APN=ON=3

，ZPON=ZOPN=45°

AZBPR=ZPON=45°,

VOA=OC,ZAOC=90°

/.ZPBR=ZBAO=45°,

・•・PO±AC

VZBPQ+ZCBO=180,

工ZBPQ=ZBCO+ZBOC

过点Q作QSJ_PN,垂足是S,

:.ZSPQ=ZBOR/.tanZSPQ=tanZBOR,

可求BR=0,OR=20,

设Q点的横坐标是m,

当x=m时y=m+4,

.♦.SQ=m+3,PS=-m-1

7

解得m=-y.

75

当x=-彳时，y=-»

33

75、

Q(z-

33

【点睛】

本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,

解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题.

20.(1)NAED=NC,理由见解析；(2)任

【解析】

【分析】

(1)根据切线的性质和圆周角定理解答即可;

(2)根据勾股定理和三角函数进行解答即可.

【详解】

(1)NAED=NC,证明如下:

连接BD,

可得NADB=90。，

.,.ZC+ZDBC=90°,

TCB是。O的切线，

.,.ZCBA=90°,

.,.ZABD+ZDBC=90°,

...NABD=NC,

VNAEB=NABD,

...NAED=NC,

(2)连接BE,

.,.ZAEB=90°,

VZC=60°,

.,.NCAB=30°,

在RtADAB中，AD=3,ZADB=90°,

./3_AO73

AB2

解得：AB=26，

YE是半圆AB的中点，

AAE=BE,

■:ZAEB=90°,

/.ZBAE=45°,

在RtAAEB中，AB=25ZADB=90°,

./DA口AEV2

••cosz_EAB=-----=,

AB2

解得：AE=76•

故答案为卡

【点睛】

此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应

用，注意掌握辅助线的作法.

1313

21.(1)y=x2H—x+2；(1)—,E(1»1)；(3)存在，P点坐标可以为(1+J7>5)或(3,

222

5).

【解析】

【分析】

(1)设B(xi,5),由已知条件得士至=],进而得到B(2,5).又由对称轴求得b.最终得

222xa

到抛物线解析式.

113

(1)先求出直线BC的解析式，再设E(m,=-----m+1.),F(m,-----n?+—m+L)

222

求得FE的值，得到SACBF-m1+2m.又由S四边形CDBF=SACBF+SACDB，得S四边形CDBF最大值，最终得到E

点坐标.

13

(3)设N点为(n,--n^-n+l),l<n<2.过N作NO_Lx轴于点P,得PG=n-L

22

又由直角三角形的判定，得AABC为直角三角形，由AABCS2\GNP,得n=l+J7或n=l-J7(舍

nrPG

去)，求得P点坐标.又由AABCsZiGNP,且洗=色时，

得n=3或n=-2(舍去).求得P点坐标.

【详解】

3

解：(1)设B(xi，5).由A(-1,5),对称轴直线x=」.

2

.—\+x3

••--------2——

22

解得，xi=2.

AB(2,5).

b_3

.3

•.b=一.

2

1、3

...抛物线解析式为y=—x+2,

22

(1)如图1,

X

图1

VB(2,5),C(5,1).

直线BC的解析式为y=-yx+1.

由E在直线BC上，则设E(m,=-—m+1.),F(m,-—m'+—m+1.)

222

.1i3I1j

••FE=-—m+-m+1-(z-—n+1)=—-m+lm.

2222

「1

由SACBF=~EF*OB,

SACBF=~(~-m^lm)x2=-n?+2m.

又CDB=—BD・OC=—x(2--)xl=—

2222

・_i5

；・S四边形CDBF=SACBF+SACDB=-m+2m+—

化为顶点式得，S四边形CDBF=-(m-1)—・

2

当m=l时，S四边形CDBF最大,为

此时，E点坐标为(1,1).

(3)存在.

图2

1,3、

由线段FG绕点G顺时针旋转一个角a(5°<a<95°),设N(n,—n+—n+1),l<n<2.

22

过N作NOJ_x轴于点P(n,5).

1.3

.".NP=--n'+-n+l,PG=n-1.

22

又•在RtAAOC中,AC1=OA1+OC1=l+2=5,在RtABOC中,BCI=OB1+OC1=16+2=15.

ABi=51=15.

AAC'+BC^AB1.

.,.△ABC为直角三角形.

nrNP

当AABCs2XGNP,且——=—时，

OBPG

13

口口c—n2H—〃+2o

即，2=22

4n-2

整理得，n1-In_6=5.

解得，n=l+V7或n=l-用（舍去）.

此时P点坐标为（1+J7,5）.

nrPG

ABC^AGNP,且一=—时，

OBNP

2_n-2

即，4=12_,3

22

整理得，/+n-11=5.

解得，n=3或n=-2（舍去）.

此时P点坐标为（3,5）.

综上所述，满足题意的P点坐标可以为，（1+J7,5）,（3,5）.

【点睛】

本题考查求抛物线，三角形的性质和面积的求法，直角三角形的判定，以及三角形相似的性质，属于较难

题.

22.1人

【解析】

解：设九年级学生有x人，根据题意，列方程得：

三193匕60.8=1-9--3--6-2---,整理得0.8（x+88）=x,解之得x=l.

xx+88

经检验x=l是原方程的解.

答：这个学校九年级学生有1人.

设九年级学生有x人，根据“给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元”可得每个

文具包的花费是：吧元，根据“若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元”可得每个文

X

1936919361936?

具包的花费是：——,根据题意可得方程——・0.8=」"，解方程即可.

x+88xx+88

23.4

【解析】

【分析】

已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，作4”，3c于点〃，则直线A”为的中垂线,

直线A”过。点，在R3OBH中，用半径表示出OH的长，即可用勾股定理求得半径的长.

【详解】

作于点H,则直线AH为BC的中垂线，直线A”过。点,

OH=OA—AH=r—2,BH=2出，

OH2+BH2=OB2，

即(r—2『+(2G『=’，

r=4.

【点睛】

考查垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.

24.(1)证明见解析；(2)AB=G

【解析】

【详解】

(1)证明：・・•/ABC=90，DE_LAC于点F,

E

.".ZABC=ZAFE.

VAC=AE,ZEAF=ZCAB,

.,.△ABC^AAFE

.♦.AB=AF.

连接AG,

VAG=AG,AB=AF

/.RtAABG^RtAAFG

ABG=FG

(2)解：VAD=DC,DF±AC

:.AF=-AC=-AE