02共轴球面组近轴成像解析

§1ImagingRealandvirtualobjects,realandvirtualimagesObjectspaceandImagespace物与像的共轭性物像之间的等光程性实像:若出射的同心光束是会聚的,我们称像点Q′为实像虚像:若出射的同心光束是发散的,我们称像点Q′为虚像1.Realandvirtualobjects,realandvirtualimages同心光束(concentricbeam)：各光束本身或其延长线交于同一点的光束。在各向同性媒质中对应球面波。Q:真实的发光点一定起到实物的作用吗？实物:在某个光具组中，若入射的是发散的同心光束，则其发散中心Q为实物。虚物:如果入射的是个会聚的同心光束，则相应的会聚中心Q为虚物。光具组(opticalsystem)：由若干反射面或折射面组成的光学系统发光点Q射出的同心光束经镜面反射后成为发散光束,据反射定律:反射线的延长线严格的交于镜面后同一点Q′(虚像)

真实发光点Q经L1成像与Q1′(实像),当透镜L2插在Q1′之前时,对L2来说入射的光束是会聚,会聚点Q1′就是L2的虚物,L2将入射的光束进一步会聚到Q2′,L2

使Q1′成实像于Q2′。

实物不一定成实像，虚物不一定成虚像理想光具组—一个能使任何同心光束保持同心性的光具组理想光具组将空间每个物点Q和相应的像点Q′组成一一对应关系.(2)物方(物空间)—由所有物点组成的空间像方(像空间)—由所有像点组成的空间2.物方与像方物与像的共轭性(3)如何区分某个点是物点还是像点判断方法：看它是与入射光束还是与出射光束相联系。

Q是入射光束的交点，故在物方是物点。

Q′是出射光束的交点，故在像方是像点。(4)共轭点：物方和像方的点不仅一一对应，而且根据光的可逆性原理，如果将发光点移到原来像点的位置Q′上，并使光线沿反方向射入光具组，它的像将成在原来物点的位置Q上，这样一对相互对应的点Q和Q′称共轭点。(5)判断：物方媒质n

像方媒质n′物点所在空间媒质折射率为n—入射实际光线所在空间。像点所在空间媒质折射率为n′—出射实际光线所在空间。3.物像之间的等光程性（1）

由费马原理可导出一个重要结论：物点Q和像点Q′之间各光线的光程都相等。由费马原理：物像间的光程都应取极值或恒定值，这些连续分布的实际光线的光程都取极大值或极小值是不可能的，唯一可能性是取恒定值，即它们的光程都相等

（2）

虚光程为了把物像之间的等光程原理推广到虚物或虚像情形，引入“虚光程”的概念。（3）

等光程面P39-40反射等光程面：椭球面，抛物面，双曲面，平面折射等光程面：折射球面的齐明点（aplanaticpoints）§2共轴球面组近轴成像

(paraxialapproximation)Whyisimagingnecessary:Huygen’sprinciple-Spherical¶llelraybundles,pointsatinfinity

Refractionatsphericalsurfaces(paraxialapproximation)

逐面成像

1.Whyarefocusinginstrumentsnecessary?Raybundles:sphericalwavesandplanewavesPointsourcesandpointimagesHuygensprincipleandwhywecanseearoundusIdealimagingsystem:eachpointintheobjectismappedontoasinglepointintheimageEachpointinanobjectscatterstheincidentilluminationintoasphericalwave,accordingtotheHuygens’sprinciple.Afewmicronsawayfromtheobjectsurface,theraysemanatingfromallobjectpointsbecomeentangled,delocalizingobjectdetails.Torelocalizeobjectdetails,amethodmustbefoundtoreassign(“focus”)alltheraysthatemanatedfromasinglepointobjectintoanotherpointinspace(the“image.”)ThelatterfunctionisthetopicofthedisciplineofOpticalImaging.(e.g.satellitedish)Parabloidmirror:perfectfocusingLens:maininstrumentforimage

formationThecurvedsurfacemakestheraysbendproportionallytotheirdistancefromthe“opticalaxis”,accordingtoSnell’slaw.Therefore,thedivergentwavefrontbecomesconvergentattheright-hand(output)side.Realimagingsystemsintroduceblur...AsphericalSurfaces:idealopticalelementsP151P189IdeallensWhyopticalsystemsdonotfocusperfectlyDiffractionAberrationsHowever,intheparaxialapproximationtoGeometricalOpticsthatweareabouttoembarkupon,opticalsystemsdofocusperfectlyTodealwithaberrations,weneednon-paraxialGeometricalOptics(higherorderapproximations)Todealwithdiffraction,weneedWaveOpticsdefocusimperfectfocus2.RefractionatsinglesphericalsurfaceForeachray,mustcalculate：

pointofintersectionwithsphereAnglebetweenrayandnormaltosurfaceApplySnell’slawtofinddirectionofpropagationofrefractedrayParaxialapproximation：Inparaxialoptics,theapproximations(1storderTaylor)areused:

sin

tan

,cos

1,(1+

)0.51+0.5

:theanglebetweenarayandtheopticalaxis(

<<1rad).

Approximationvalidityrange:10~30degrees,dependingonthedesireddegreeofaccuracy.Note:theassumptionsofexistenceofanopticalaxis(i.e.,perfectalignment)“GaussianOptics”or“ParaxialOptics.”Paraxialapproximation：ImagingformulaofrefractionImagingformulaofreflection

M

i

i

p

p

h

u

u

Q

C

Q

A

s

-r

sDerivationsofimagingformulaofreflectionNoteherer>0,anditisthesamewith(2.23)inp43

n

n1

n2

n3

P2PQ

A1

Q1

A2

Q2

A3

Q3

1

2

3

P1

P3

S1

S

1

S2

S

2

S3

S

3对光具组

1有(n,n1,s1,s1,r1)，计算起点为A1对光具组

2有(n1,n2,s2,s2,r2)，计算起点为A2对光具组

3有(n2,n3,s3,s3,r3)，计算起点为A33.逐面成像§3TheThinLensThinlensequation焦面及成像作图Multi-elementsystemsOn-axisobjectQisimagingatQ1throughrefracioninterfaceΣ1firstly,thenQ1isthevirtualobjectastointerfaceΣ2

anditsimageisQ2.Tworefractionimagingequationsaregiven

1.ThinLensEquations

SignConventionforSphericalRefraction

LightfromtheleftSf+leftofvertex(realobject)S’f’+rightofvertex(

realimage)R+ifCisrightofvertexy,y’+aboveopticalaxisOrseepage43(Chinese)Atfirstinterface

Atsecondinterface

if=d,then.d:thicknessofthelensisverysmall在薄透镜中A1和A2，几乎重合为一点，该点叫透镜的光心记为O薄透镜的物距S和像距都是从光心O开始算的。so，astothinlense，，，weget

1f´×两式相加消去得

据焦距定义∞或,s=∞

Weget:

and

将单个球面焦距公式代入得

如果物象方折射率，则有此式给出了薄透镜焦距与的关系，称为磨镜者公式(lensmaker'sequation)

。

将焦距公式代入式中，则有Thisisthethinlensequationif,thenGaussianLensFormula

会聚透镜：具有实焦点(f和f

>0)的透镜叫正透镜。

反之为负透镜或发散透镜注意：透镜放在不同的环境中起到的作用可能是不一样的。例如若把空气中的凸透镜放在折射率大于透镜材料的液体中，则该透镜就起到凹透镜的作用。不能仅凭透镜的形状来断定它是正透镜还是负透镜Lightenteringfromtheleft，(Ⅰ)ifisontheleftofvertex，thens>0（realobject）(Ⅱ)isontherightofvertex，then>0（realimage）Usingthedistancemeasuredfromthefocalpoints(Ⅲ)whentheobjectisontheleftof，

x>0(Ⅳ)whentheimageisontherightof，>0

FF’

CombiningwiththeGaussianEquation,wegetNewtonianFormoftheThinLensEquationTransversemagnificationofthethinlens：

soorif，thatis，thelensisinair

()transversemagnification如题图所示，折射率为1.5，中心厚度为7.5cm的透镜，左右表面的曲率半径分别为20cm和30cm，左表面左方40cm处的轴上放置高为0.5cm的小物求在傍轴条件下，最后成像的位置、高度及像的倒正、虚实和缩放?解：，对于左表面，n=1，s1=40cm（实物），n

=1.5，r1=-20cm，可求得s1

=-30cm，放大率为V1=-ns1

/n

s1=0.5，成的是正立缩小的虚像。对于右表面，仍然遵从，此时n=1.5，s2=(30+7.5)cm（实物），n

=1，r2=-30cm，s2

=-300cm/7，放大率为V2=-ns2

/n

s2=12/7。相对中间的虚像而言，成的是正立放大的虚像。总的来看，放大率为V=V1V2=6/7，所成的像的高度为3cm/7。所以所成的是正立缩小的虚像。注意虚像和实像的概念。2.焦面及成像作图入射光线从左→右入射物方焦面——（第一焦面，前焦面）像方焦面——（第二焦面，后焦面）通过物方焦点F与光轴垂直的平面叫物方焦面。焦面的共轭平面:因焦点与轴上无穷远点共轭,焦面的共轭也在无穷远处焦面上轴外点的共轭在轴外无穷远倾斜的平行光束的方向可由或与光心O的连线来确定，这连线叫副光轴。相应的对称轴称主光轴。

（1）,通过光心O的光线，经透镜后方向不变。（2）通过物方焦点F的光线，经透镜后平行于光轴。（3）平行于光轴的光线经透镜后的出射光线一定通过像方焦点Thetworayspassingthroughthetwofocalpointsandthechiefraycanberay-traceddirectlyImagingcondition:ray-tracingreal&virtualimagesimage:real&invertedimage:virtual&erectimage:virtual&erectimage:virtual&erectAllrealimagesformedbyasinglethinlenswillbeinverted.Apositivetransversemagnificationmeansanerectimage,whileanegativevaluemeanstheimageisinverted.Page167(English)3.透镜组成像(Multi-elementsystems)利用逐次成像物象距公式或逐次成像作图法即可求透镜组最后成像的性质，性质包括（像的位置，缩放，倒正虚实等）

凸透镜L1和凹透镜L2的焦距分别为20.0CM和40.0CM，L2在L1之右40.0CM，傍轴小物放在L1之左30.0CM，求它的像。

例题1

解：（1）作图法第一次成像用特殊光作图，第二次以后成像利用焦面性质，这样可保证入射的两光线与出射光线共轭，光线在透射组中是连续的。

（2）高斯公式逐面成像法第一次对L1成像s1=30.0cmf1=20.0cm计算起点为O1

∴=60.0cm（实象）

（放大）第2次对L2成像s2=-20.0cmf2=-40.0cm计算起点为O2

∴cm（实象）

（放大）∴（放大的，倒立的）∴最后成像在O2右侧距离40.0cm处，成放大的倒立的实象。

（3）用牛顿公式第1次对L1成像x1=10.0cm，f1=20.0cm∴=40.0cm（实象）（倒立，放大）第2次对L2成像x2=20.0cm，f2=-40.0cm，∴=80cm（实象）

∴（倒立，放大）∴最后成像在F'右侧，距离80.0cm处，成倒立放大的实象由上面可以看出用三种方法得到的结果相同。例题2

凸透镜L1和L2及其焦点的位置示图6-9中，将傍轴小物PQ放在L1的第一焦面上，用作图法求它的像。§4理想光具组理论TheThicklensFocalLengths&PrincipalPlanesPSsandFLsforthinlensesThesignificanceofprincipalplanes1.ThethicklensRaysbendin“twosteps”Equivalenttoathinlensplaced“somewhere”withinthethickelement.Thelocationofthis“equivalentthinlens”isthePrincipalPlaneofthethickelementTheverythicklensFunnythingshappening:raysdivergeuponexitingfromtheelement,i.e.toomuchpositivepowerleadingtoanegativeelement!2.FocalLengths&PrincipalPlanesEFL:EffectiveFocalLength(orsimply“focallength”)FFL:FrontFocalLengthBFL:BackFocalLengthFP:FocalPoint/PlanePS:PrincipalSurface/PlaneAraytraversingthelensthroughitsopticalcenteremergesparalleltotheincidentdirection.Extendingboththeincomingandoutgoingraysuntiltheycrosstheopticalaxislocateswhatarecalledthenodalpoints.节点的物理意义：通过它们的任意共轭光线方向不变Whenthelensissurroundedonbothsidesby