理学第3章-一元函数积分学

第三章一元函数积分学 引言积分学分为不定积分与定积分两部分。不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上却有着紧密的内在联系。8/17/20241本章主要研究不定积分和定积分的概念、性质及基本积分方法，并揭示二者的联系，从而着重论证微积分学核心定理（牛顿莱—布尼茨公式）,解决定积分的计算问题，同时研究定积分在几何、物理及医学等方面的应用，最后简单研究广义积分。8/17/20242本章主要内容：第3.1节不定积分第3.2节不定积分的计算第3.3节定积分第3.4节定积分的计算第3.5节广义积分8/17/202433.1不定积分3.1.1不定积分的概念一、不定积分定义在小学和中学我们学过逆运算：如：加法的逆运算为减法乘法的逆运算为除法指数的逆运算为对数8/17/20244微分法：积分法：互逆运算8/17/20245原函数(primitivefunction)定义定义1在某一区间上F

(x)

f(x)，则称F(x)为f(x)在这个区间上的一个原函数。例： (x2)

2x (sinx)

cos

x所以 x2是2x的一个原函数

sinx是

cos

x的一个原函数8/17/20246不定积分因为(x2)

2x，(x2

1)

2x，

(x2

ln2)

2x设F(x)、G(x)都是f(x)的一个原函数，则：[G(x)

F(x)]

G

(x)

F

(x)

f(x)

f

(x)

0从而G(x)

F(x)

C

即G(x)

F(x)

C定理1如果F(x)是f(x)的一个原函数,则：f(x)的所有原函数可表示为F(x)

C。8/17/20247不定积分定义定义2

函数f(x)的所有原函数，称为f(x)的不定积分。记作：如果F(x)是f(x)的一个原函数,则由定义有积分号积分变量被积函数积分表达式积分常数8/17/20248因为x2,sinx分别是2x,cosx

的一个原函数，所以求已知函数的原函数的方法称为不定积分法或简称积分法。积分法是微分法的逆运算。8/17/20249二、不定积分的几何意义f(x)的一个原函数F(x)的图形,称为f(x)的积分曲线。y

F(x)y

F(x)

Cx0yox其斜率都是f(x),所以积分曲线上横坐标相同处切线彼此平行。表示一族积分曲线。8/17/2024103.1.2不定积分的基本公式和运算法则一、不定积分的基本公式由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运算的逆运算。因此，有一个导数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式。8/17/202411不定积分的基本公式8/17/202412不定积分性质1.(

f(x)dx)

f(x)或d

f(x)dx

f(x)dx2.F

(x)dx

F(x)

C

或

dF(x)

F(x)

C8/17/202413二、不定积分的运算法则1.

af(x)dx

a

f(x)dx2.[f(x)

g(x)]dx

f(x)dx

g(x)dx8/17/202414例3.1.18/17/2024153.2不定积分的计算利用基本积分公式及不定积分的性质直接计算不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些方法和技巧。下面介绍不定积分的两大积分方法：换元积分法与分部积分法8/17/2024163.2.1换元积分法

通过适当的变量变换,使复杂的积分转换为简单的积分,称为换元积分法8/17/202417一、第一类换元积分法（凑微分法）例3.2.18/17/202418第一类换元积分法步骤如下：8/17/202419例3.2.28/17/202420解68/17/202421解78/17/202422解88/17/202423解98/17/202424续8/17/202425*思考题：8/17/202426解18/17/202427解28/17/202428解38/17/202429解48/17/202430总结如下：8/17/202431二、第二类换元积分法第一类换元积分法是利用凑微分的方法，把一个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形式，但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个代换x

(t)，而积分

f(x)dx

f[

(t)]

(t)dt可用基本积分公式求解8/17/202432定理2设f(x)连续,x

(t)是单调可导的连续函数,且其导数

(t)

0,x

(t)的反函数t

–1(x)存在且可导,并且

f[

(t)]

(t)dt

F(t)

C,则

f(x)dx

F[

–1(x)]

C8/17/202433例3.2.3*8/17/202434解18/17/202435解28/17/202436解38/17/202437特例用尤拉代换计算解：8/17/202438解48/17/202439解58/17/202440解68/17/202441解78/17/202442解88/17/202443解98/17/202444解108/17/202445三.

几个积分公式：8/17/202446续8/17/2024473.2.2分部积分法(integrationbyparts)如果u

u(x)与v

v(x)都有连续的导数，则由函数乘积的微分公式d(uv)

vdu

udv

移项得udv

d(uv)

vdu从而

udv

uv

vdu这个公式叫作分部积分公式,当积分

udv不易计算，而积分

vdu

比较容易计算时，就可以使用这个公式。8/17/202448例3.2.4*8/17/202449解1uvuv8/17/202450解2uvuv8/17/202451解38/17/202452解48/17/202453解58/17/202454另解58/17/202455解68/17/202456解78/17/202457总结8/17/2024583.2.3*

有理函数积分简介有理函数总可以写成两个多项式的比其中n为正整数,m为非负整数,a0

0,b0

0,设分子与分母之间没有公因子,当n＞m时,叫做真分式;当m

n时,叫做假分式,假分式可以用除法把它化为一个多项式与一个真分式之和。8/17/202459例3.2.5*8/17/202460解18/17/202461解28/17/202462解38/17/202463续8/17/202464总结“积不出”的积分：8/17/2024653.2.4*

积分表的使用例3.2.68/17/202466P112四6(13)8/17/202467P112四8(3)8/17/202468解法二8/17/2024693.3定积分在初等数学中，我们会求有规则的图形面积，如三角形、圆形、多边形的面积，但是对无规则封闭曲线围成的平面图形面积如何计算，就是定积分解决的问题。计算这类平面图形的面积，最终归结为求特定结构的和式极限。定积分在科学技术和医药等领域有广泛的应用，本节将研究它的概念、性质、计算及其应用。8/17/2024703.3.1定积分的概念我们先介绍曲边梯形的概念，然后由求曲边梯形面积和变速直线运动的路程入手，引出定积分的概念。8/17/202471一、曲边梯形的面积设y

f(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)

0,则由直线x

a,x

b,x轴及曲线y

f(x)所围成的图形aMNb称做曲边梯形(curvilineartrapezoid)。8/17/202472abxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。abxyo（四个小矩形）（九个小矩形）8/17/202473观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系。播放8/17/202474曲边梯形如图所示在[a,b]内插入n

1个分点：a

x0<x1<x2<…<xi

1<xi<…<xn

1<xn

b。将区间分成n个小区间[xi

1,xi],长度为

xi

xi

xi

1,在每个小区间上任取一点

i(xi

1

i

xi)。以[xi

1,xi]为底,f(

i)为高的小矩形面积为：Ai

f(

i)

xiabxyo8/17/202475曲边梯形面积的近似值当分割无限加细，即小区间的最大长度，趋近于零(

0)时，曲边梯形面积为：8/17/202476二、变速直线运动的路程设某物体作直线运动,已知速度v

v(t)是时间间隔[T1,T2]上t的一个连续函数,且v(t)0,求物体在这段时间内所经过的路程。思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。8/17/202477（1）分割：T1

t0<t1<t2<…<tn

1<tn

T2（2）取近似：（3）求和：（路程的精确值）（4）取极限：部分路程值某时刻的速度8/17/202478三、定积分的定义设f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]内任意插入n

1个分点：a

x0<x1<…<xi

1<xi<…<xn

b。将[a,b]分成n个长度为：

xi

xi

xi

1(i

1,2,…,n)的小区间,在每个小区间[xi

1,xi]上任取一点

i(xi

1

i

xi),作和式：不论小区间如何划分以及

i如何选取,只要

0时有同一极限存在,则称此极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。8/17/202479积分上限积分下限积分和被积表达式被积函数积分变量记作：[a,b]积分区间8/17/202480根据定积分定义：曲边梯形面积变速直线运动的路程8/17/202481关于定积分定义，有几点注明：1)定积分是一个和式的极限，是唯一的一个数，它只与被积函数和积分上、下限有关，与积分变量无关。即8/17/2024822)为了定积分定义的完整性，规定：3)可积性：被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，连续函数是定积分存在的充分条件8/17/2024834)定积分的几何意义。f(x)>0，为曲线y

f(x)和x轴及两条直线x

a、x

b所围曲边梯形面积f(x)<0，是一个负数，其绝对值为曲线y

f(x)和x轴及两条直线x

b、x

c所围曲边梯形面积一般地，定积分为曲线y

f(x)和x轴及两条直线x

a、x

d所围曲边梯形面积的代数和8/17/202484举例：用定义求定积分y

x2在[0,1]上连续，

定积分存在。故可将[0,1]区间n等份：0

x0<x1<…<xi<…<xn

1，且取小区间的右端点。8/17/2024853.3.2定积分的性质性质1若函数f1(x)、f2(x)在区间[a,b]上可积，则f1(x)

f2(x)在[a,b]上也可积,且性质2若函数f(x)在[a,b]上可积,则cf(x)在[a,b]也可积,c为任意常数,且8/17/202486性质3若函数f(x)在[a,b]上可积,且a<c<b

则注：可以证明如果c在[a,b]之外,此性质也成立8/17/202487性质4若f(x)和g(x)在[a,b]上都可积，并有f(x)

g(x),则推论1设m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小值和最大值，则8/17/202488性质5（积分中值定理）若f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点

,使思考：这个性质的几何意义是？8/17/202489证性质5由f(x)在区间[a,b]上连续可知，在[a,b]上一定有最大值M、最小值m

，再由本章推论1可知：再由在闭区间上连续函数的介值性可知在[a,b]上至少存在一点

，使得：8/17/2024903.4定积分的计算3.4.1微积分基本定理一、积分上限函数的导数2.定理3：

(x)

f(x)1.函数的定义：8/17/202491例3.4.18/17/202492例3.4.28/17/202493例3.4.3解：该极限为0/0型不定式，据洛必达法则知8/17/202494二、微积分基本定理微积分基本定理也可叫做牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式，它是用求原函数的方法计算定积分的数值．定理4若f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是[a,b]上的一个原函数，则8/17/202495例3.4.48/17/2024963.4.2

定积分的换元积分法一.

定积分的换元积分法定理5设函数f(x)在区间[a,b]上连续;函数x

(t)在区间[

,

]上单调且有连续的导数

(t)。当t在区间[

,

]上变化时,x

(t)的值在区间[a,b]上变化,且有

(

)

a,

(

)

b,则8/17/202497证明：由于f(x)在[a,b]上连续，F(x)的一个原函数存在，则有：由于

(t)连续,f(

(t))

(t)在[

,

]上连续,从而有原函数存在,由于F(x)是f(x)的一个原函数,F(

(t))也是f(

(t))

(t)的一个原函数,由定理4有8/17/202498例3.4.58/17/202499例3.4.6思考：几何意义？8/17/2024100思考：错在哪里？8/17/2024101例3.4.7

设f(x)是相应区间上的连续函数,证明(2)若f(x)是偶函数,则(1)若f(x)是奇函数,则思考：几何意义？8/17/2024102证：8/17/20241033.4.3定积分的分部积分法例3.4.88/17/20241043.4.4定积分的应用一、微元法在应用定积分解决实际问题时，关键是将实际问题归结为定积分。定积分的定义导出有四步：

1.分割

2.近似替代

3.求和

4.取极限8/17/2024105具体问题只要抓住如下两步便可：1.在区间[a,b]上任取一点x，在区间[x,x

dx]作微元dA

f(x)dx,使得：

A

dA

o(

x)2.对[a,b]上每一点x的微元无限累加，即这种通过微元简化定积分定义的过程的作法称为微元法。8/17/2024106o(

x)8/17/2024107例3.4.9已知物体直线运动的速度是v(t),计算从时刻a到时刻b物体运动的路程。解：(1)在[a,b]上任取一时刻t，则时刻t到t

dt时间内物体运动的路程微元

ds

v(t)dt

（路程

速度

时间）(2)所求路程是各微元从a到b的无限累加求和，也就是微元ds从a到b的定积分8/17/2024108二、平面图形的面积1.沿x轴积分8/17/20241092.沿y轴积分8/17/2024110例3.4.10求由两条曲线y

x2与x

y2围成的平面图形面积。x

x解：两条曲线的交点是(0,0)、(1,1)8/17/2024111例3.4.11求抛物线y2

2x及直线y

x

4所围成图形的面积。8/17/20241128/17/2024113将y作为积分变量,沿y轴积分。8/17/2024114三、旋转体的体积旋转体可以看成由一个平面图形绕某一轴旋转一周而成的体积，叫旋转体(volumesofrevolution)。例如矩形绕它一条直角边旋转一周便得到圆柱体，直角三角形绕它的一条直角边旋转便得圆锥体等等。8/17/2024115绕x轴旋转曲边梯形：y

f(x),x

a,x

b,y

0绕x轴旋转xy

f(x)abyxx

dx1111111118/17/2024116绕y轴旋转曲边梯形：x

f-1(y),x

0,y

c,y

d

绕y轴旋转8/17/2024117例3.4.12求椭圆上半部与x轴所围图形绕x轴旋转而成的体积。解：椭圆上半部的方程为8/17/2024118例3.4.13求由抛物线y

x2及直线x

2,x轴所围成的平面图形绕y轴旋转而成的体积解：设所求体积为V，V

圆柱体体积

(y

x2绕y轴旋转成的体积)8/17/2024119四、平面曲线弧长设y

f(x)在[a,b]上有连续导数f

(x),求曲线在[a,b]上的弧长。用微元法,在[a,b]上取小区间[x,x

dx],相应地截取一小段弧AD,过A作切线AC,则BC

dy,若dx很小,则AC

AD,而8/17/2024120例3.4.14证明半径为a的圆的周长为2

a。解：设半径a的圆的方程为x2

y2

a2,则8/17/2024121五、变力所作的功我们知道一个常力F将物体沿力的方向从点a移到点b,所做的功W

F(b

a)。如何求变力F(x)将物体沿力的方向从点a移到点b所做的功W？在[a,b]内任取一点x,小区间[x,x

dx]上功的微元dW

F(x)dx8/17/2024122例3.4.15底半径为3m,高为2m的园锥形水池装满了水,欲将池水全部抽出,需作多少功。解：8/17/2024123六、定积分在医药学中的应用例3.4.16在测定病人胰岛素时,先让病人禁食以达到降低体内血糖水平,然后通过给病人注射大量的糖，假设测得病人血液中胰岛素的浓度c(t)(单位/ml)符合分段函数其中K

(ln2)/10,时间t的单位为分钟,试求血液中胰岛素在一小时内的浓度变化的平均值。8/17/2024124解：由函数的平均值公式，有8/17/2024125例3.4.17假定长为L,半径为R

的一段血管,左端为相对动脉管,其血压为p1,右端为相对静脉管,血压为p2,且p1>p2。若血管某截面上某一点与血管中心距离为r,其流速v(r)其中

为血液黏滞系数,求单位时间内,通过该截面的血流量Q。8/17/20241268/17/2024127解：将半径为R的截面圆上,求出通过截面的某个圆环的血流量

Q的近似值。在[0,R]上任取一点r,在[r,r

r]上圆环面积近似值为2

r

r,所以在单位时间内,区间上的血流量微元是dQ

v(r)2

r

r8/17/2024128课堂练习*8/17/2024129思考椭圆绕x轴与绕y轴旋转所成的体积是否相同，为什么？8/17/20241303.5广义积分在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分了。因此，我们对定积分作如下两种推广，从而形成“广义积分”的概念。无穷区间上广义积分无界函数的广义积分8/17/20241318/17/20241323.5.1无穷区间上广义积分定义4设函数f(x)在区间[a,

)内连续,b是[a,

)内任一实数,若极限存在,则称此极限值为函数f(x)在区间[a,

)内的广义积分,记做并称此时广义积分收敛,否则,若不存在,则称此时广义积分发散。8/17/2024133同样可定义在区间(

,

b]上的广义积分f(x)在区间(

,

)上的广义积分,如果对任意实数C,广义积分都收敛,则称广义积分收敛或存在,否则称为发散。8/17/2024134例3.5.1计算广义积分8/17/2024135这个广义积分值的几何意义是：当a

,b

时,虽然图中阴影部分向左、右无限延伸,但面积却有极限值

。简单地说,它是位于曲线的下方,x轴上方的图形面积。8/17/2024136例3.5.2讨论广义积分敛散性。8/17/20241373.5.2*

无界函数的广义积分8/17/2024138定义5设函数f(x)在(a,b]上连续,且如果对于任意

>0,极限存在,则称此极限值为函数f(x)在[a,b]上的广义积分,记为并称此时广义积分收敛,否则就说广义积分发散,其中a称为瑕点,此积分也称为瑕积分。8/17/2024139同样,若设函数f(x)在[a,b)上连续,且任取

>0,则定义广义积分8/17/2024140若函数f(x)在区间[a,b]内除