中考专题复习与圆有关的计算与证明

学习好资料欢迎下载学习好资料欢迎下载学习好资料欢迎下载中考专题复习——与圆有关的计算与证明【中考要求及命题趋势】1、理解圆的基本概念与性质。2、求线段与角和弧的度数。3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。4、直线和圆的位置关系。5、圆的切线的性质和判定。6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。7、圆和圆的五种位置关系。8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。两圆相切、相交的性质。9、掌握弧长、扇形面积计算公式。10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。2010年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似（全等）。三角函数的小综合题为考查重点；直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点；继续考查圆与圆的位置五种关系。对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点。【应试对策】圆的综合题，除了考切线、弦切角必须的问题。一般圆主要和前面的相似三角形，和前面大的知识点接触。直线和圆以前的部分是重点内容，后面扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积，这些都是必考的，后面都是一些填空题和选择题，考查对扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记忆。圆这一章重要的概念、定理先掌握、后应用，掌握之后，再掌握一些解题思路和解题方法。第一：有三条常用辅助线，一是圆心距，二是直径圆周角，第三条是切线径。第二：有几个分析思路：弧、常与圆周角互相转换；那么怎么去应用，就根据题目条件而定。【复习要点】1、圆的有关概念：（1）圆上任意两点间的部分叫弧，______的弧叫优弧，________的弧称为劣弧。（2）______________________的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。（3）_________________的角叫做圆心角；顶点在圆上且两边____________的角叫做圆周角。2、圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是_________；（2）圆是中心对称图形，其对称中心是_________。3、垂径定理及推论垂径定理：垂直于弦的直径_________弦，并且平分____________________。推论：平分弦（不是直径）的直径_____这条弦，并且平分__________________4、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。如图所示：AB,CD是⊙O的两条弦，OE,OF为AB,CD的弦心距，根据圆心角，弧，弦和弦心距之间的关系定理填空：（1）如果AB=CD,那么___________,__________,______________（2）如果OE=OF,那么___________,___________,______________（3）如果弧AB=弧CD，那么__________,____________,___________5、圆周角定理及推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的________,如图，∠ACB=____________（2）推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________,直径所对的圆周角是_______，90°的圆周角所对的弦是________,所对的弧是__________.6、确定圆的条件三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的、这个三角形是圆的.7、点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外.其中r为圆的半径，d为点到圆心的距离，位置关系点在圆内点在圆上点在圆外数量（d与r）的大小关系d＜rd＝rd＞r8、直线和圆的位置关系：直线和圆的位置关系相离相切相交公共点个数_______________________公共点名称无_______________直线名称无_________________判定条件__________________________9、切线的判定与性质判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有惟一公共点的直线是圆的切线。②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。③经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的五个性质：①切线与圆只有一个公共点；②切线到圆心的距离等于圆的半径；③切线垂直于经过切点的半径；④经过圆心垂直于切线的直线必过切点。⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心。10、切线长定理经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.11、三角形内切圆和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫三角形的内心.12、圆和圆的位置关系：位置外离外切相交内切内含公共点个数__________________________d与R、r数量关系_____________________________性质无连心线必过切点连心线垂直平分公共弦连心线必过切点无13、正多边形与圆1、正多边形的定义:、的多边形叫做正多边形。2、正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做。3、正多边形的中心:是正多边形的中心。4、正多边形的半径:是正多边形的半径。5、正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的叫做正多边形的中心角。6、正多边形的边心距：到的距离叫做正多边形的边心距。7、任何一个正多边形都有一个和一个,这两个圆是.8、正多边形的边心距与相等。14、弧长和扇形面积1.圆的周长为，1°的圆心角所对的弧长为，n°的圆心角所对的弧长为，弧长公式为.2.圆的面积为，1°的圆心角所在的扇形面积为，n°的圆心角所在的扇形面积为S===.3.圆柱的侧面积公式：S=.（其中为的半径，为的高）4.圆锥的侧面积公式：S=.（其中为的半径，为的长）5.弓形的面积（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做。（2）弓形的周长＝（3）弓形的面积当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，s弓形=当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，s弓形当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，s弓形【备考指导】1、“垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，根据垂径定理，有R2=d2+（）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．2、证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径．”3、面积的计算往往是不规则图形，不易直接求出，所以要将其转化为与其面积相等的规则图形，等积转化的一般方法是：（1）利用平移、旋转或轴对称等图形变换进行转化；（2）根据同底（等底）同高（等高）的三角形的面积相等进行转化；（3）利用几个规则图形的面积和或差求不规则图形的面积．【经典例析】例1已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D，AE是⊙O的直径，若S△ABC=S，⊙O的半径为R．（1）求证：AB·AC=AD·AE；（2）求证：AB·AC·BC=4RS．【解析】（1）本题要证明的结论是“等积式”，通常的思路是把等积式转化成比例式，再找相似三角形．（2）利用（1）的结论和三角形的面积公式．例2如图所示，AB是直径，弦于点，且交于点，若．（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；（2）当时，求的长．【答案】（1）直线和相切．证明：∵，，∴．∵，∴．∴．即．∴直线和相切．（2）连接．∵AB是直径，∴．在中，，∴．∵直径，∴．由（1），和相切，∴．∴．由（1）得，∴．∴．∴，解得．【点评】圆的切线有三种判定方法：①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线．在证明时一定要根据题目已知条件合理选择．例3如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AB=13，BC=5．（1）求sin∠BAC的值；（2）如果OD⊥AC，垂足为点D，求AD的长；（3）求图中阴影部分的面积．（精确到0．1）【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴sin∠BAC=．（2）在Rt△ABC中，AC==12．又∵OD⊥AC于点D，∴AD=AC=6．（3）∵S半圆=×（）2=×=．S△ABC=AC×BC=×12×5=30，∴S阴影=S半圆－S△ABC=－30≈36.3点评“直径所对的圆周角为90°”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形有关知识结合起来．因此对这部分知识应加以重视．例4已知扇形的圆心角为120°，面积为300cm2（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？解析：（1）由S扇形=求出R，再代入L=求得．（2）若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，圆锥母线为腰的等腰三角形．解答如下：（1）如图所示：∵300=；∴R=30；∴弧长L==20（cm）（2）如右图所示：∵20=20r；∴r=10，R=30。AD==20∴S轴截面=×BC×AD=×2×10×20=200（cm2）；因此，扇形的弧长是20cm卷成圆锥的轴截面是200cm2．反思：圆锥、扇形、圆之间的换算是中考中的热点、常考点，需同学们理清平面与立体之间的变换和实质，熟悉公式并能利用题目中的数据代替公式中的量来解题。【迎考精炼】一、选择题：1.（2009年湖北孝感）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是()A．15° B．30° C．45° D．60°2．（2010安徽省中中考）如图，⊙O过点B、C。圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝900，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为………………（）A）B）C）D） 3．（2010安徽蚌埠二中）以半圆的一条弦（非直径）为对称轴将弧折叠后与直径交于点，若，且，则的长为A．B．C．D．44.（2009年山东青岛）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）．A．0.4米 B．0.5米 C．0.8米 D．1米5.（2009年湖北襄樊）如图，AB是⊙O的直径，点在的延长线上，切于若则等于（）A．B．C．D．6.（2009年浙江台州）大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（）A．外离B．外切Ｃ．相交D．内含7（2010河北）如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是MMRQ第7题3ABCPA．点P B．点Q C．点R D．点M8.（2010湖北武汉）如图，的直径AB长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD的长为（）A、7B、C、D、99.（2010广西梧州）如图6，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有①CE=DE；②BE=OE；③eq\o(CB,\s\up5(⌒))=eq\o(BD,\s\up5(⌒))；④∠CAB=∠DAB；⑤AC=AD。（）A．4个B．3个C．2个D．1个BBCAO第10题（（第9题）BCDEOA·10.（2010四川攀枝花）如图２，△ABC内接于⊙O，若∠OAＢ＝28°，则∠C的大小是（）A．56°B．62°C．28°D．32°二、填空题：1.（2010山东青岛）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC24°，则∠BOC°．482.（2010杭州）如图,已知△,，．是的中点，⊙与AC，BC分别相切于点与点．点F是⊙与的一个交点，连并延长交的延长线于点.则.3．(株洲市2010)两圆的圆心距，它们的半径分别是一元二次方程的两个根，这两圆的位置关系是．外切4.(兰州市2010)如图，扇形OAB，∠AOB=90，⊙P与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是．OAOABC第1题图·5.(黄冈市2010)将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是___________cm.10.三、解答题1.(2009年四川内江)如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC.求证：（1）CD⊥DF；（2）BC＝2CD证明：（1）设∠DFC＝θ，则∠BAD＝2θ在△ABD中，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB∠ABD＝12（180°-∠BAD）＝90°-θ又∠FCD＝∠ABD＝90°-θ∴∠FCD+∠DFC＝90°∴CD⊥DF（2）过F作FG⊥BC于G在△FGC和△FDC中，∠FCG＝∠ADB＝∠ABD＝∠FCD∠FGC＝∠FDC＝90°,FC＝FC∴△FGC≌△FDC∴GC＝CD且∠GFC＝∠DFC又∠BFC＝2∠DFC∴∠GFB＝∠GFC∴BC＝2GC，∴BC＝2CD.2.(2010年毕节地区)（本题12分）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．证明：（证法一）连接． 1分∵是⊙O的直径，．2分∵是的中点，．4分．6分∵．8分．即．10分是⊙O的切线．12分（证法二）连接． 1分∵，． 2分． 4分∵OC=OE．∴∠2=∠4． ∴∠1=∠3． 6分又，． 8分． 10分是⊙O的切线． 12分3.（2009年湖北仙桃）如图，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE．(1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为2，BD＝，求BC的长．解：（1）FD与⊙O相切，理由如下：连接OD.∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠3+∠A＝90°.∵FE＝FD，∴∠1＝∠2.又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，又∵OA＝OD，∴∠A＝∠4.∴∠1+∠4＝90°，∴FD与⊙O相切.（2）∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，AB＝4，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵OC⊥AB，∴∠ADB＝∠BOC＝90°，又∵∠B＝∠B，∴Rt△ABD∽Rt△CBO∴，即，∴.(第4题)4.（(第4题)如图，为外接圆的直径，，垂足为点，的平分线交于点，连接，.(1)求证：；(2)请判断，，三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？并说明理由.（1）证明：∵为直径，，∴.∴. 3分（2）答：，，三点在以为圆心，以为半径的圆上. 4分理由：由（1）知：，∴.∵，，，∴.∴. 6分由（1）知：.∴.∴，，三点在以为圆心，以为半径的圆上. 7分•PBAEOCD5.（宿迁市2010）（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D•PBAEOCD求证：（1）PD=PE；（2）．证明：(1)连接OC、OD………………1分∴OD⊥PD，OC⊥AB∴∠PDE=—∠ODE，∠PED=∠CEO=—∠C又∵∠C=∠ODE∴∠PDE=∠PED…………4分∴PE=PD…………5分(2)连接AD、BD………6分∴∠ADB=∵∠BDP=—∠ODB，∠A=—∠OBD又∵∠OBD=∠ODB∴∠BDP=∠A∴PDB∽PAD…………………8分∴∴∴…………………10分6．(株洲市2010)（本题满分8分）如图，是的直径，为圆周上一点，，过点的切线与的延长线交于点．求证：（1）；（2）≌．证明：（1）∵是的直径，∴，由，∴又，∴∴，∴．……4分（2）在中，，得，又，∴．由切于点，得．在和中，∴≌……8分7．(黄冈市2010)（6分）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.证明：连结DC，DO并延长交⊙O于F，连结AF.∵AD＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，又∵∠CAF＝∠CDF，∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CDF＝∠DAF＝90°，故DE是⊙O的切线8.(兰州市2010)（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=AB；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB∴∠A=∠ACO=∠PCB……………………1分∵AB是⊙O的直径∴∠ACO+∠OCB=90°…………………2分∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP…………3分∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线…………………4分（2）∵PC=AC∴∠A=∠P∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB∴∠CBO=∠COB……………5分∴BC=OC∴BC=AB………6分(3)连接MA,MB∵点M是弧AB的中点∴弧AM=弧BM∴∠ACM=∠BCM………7分∵∠ACM=∠ABM∴∠BCM=∠ABM∵∠BMC=∠BMN∴△MBN∽△MCB∴∴BM2=MC·MN……8分∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM∴∠AMB=90°,AM=BM∵AB=4∴BM=………9分∴MC·MN=BM2=8……………………10分参考答案1.B2.D3.A4.D5.A6.A6.7.B8.B9.A10.B【链接中考】1.（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.FCPDOBAEHG【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝FCPDOBAEHGCCPDOBAE（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA是定值，那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；（3）由题可知＝DE(AB＋AC＋BC)，又因为，所以，所以AB＋AC＋BC＝，由于DH＝DG＝DE，所以在Rt△CDH中，CH＝DH＝DE，同理可得CG＝DE，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝DE＋，可得＝DE＋，解得：DE＝，代入AB＋AC＋BC＝，即可求得周长为．【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．（2）∠ACB是定值.理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.∴＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC)•DE＝l•DE．∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，∴△ABC的周长为． 【涉及知识点】垂径定理勾股定理内切圆切线长定理三角形面积【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题2.（楚雄州本小题13分）已知：如图，⊙A与轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交轴于点B（－4，0）．（1）求切线BC的解析式；（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1所示，连接AC，则AC=在Rt△AOC中，AC=，OA=1，则OC=2∴点C的坐标为（0，2）设切线BC的解析式为，它过点C（0，2），B（−4，0），则有解之得∴ ………………4分（2）如图1所示，设点G的坐标为（a,c）,过点G作GH⊥轴，垂足为H点，则OH=a,GH=c=a+2 ……………………5分OACOACBDxyGPH图1因为AC=AP,AG=AG,所以Rt△ACG≌Rt△APG(HL)所以∠AGC=×1200=600在Rt△ACG中，∠AGC=600，AC=∴Sin600=∴AG=…6分在Rt△AGH中,AH=OH－OA=a－1，GH=a+2+=∴+=解之得：=,=−(舍去) …………7分点G的坐标为（,+2） …………………8分(3)如图2所示，在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形. ………………9分要使△AEF为直角三角形AE=AF∴∠AEF=∠AFE900∴只能是∠EAF=900当圆心A在点B的右侧时，过点A作AM⊥BC,垂足为点M.在Rt△AEF中，AE=AF=,则EF=，AM=EF=在Rt△OBC中,OC=2,OB=4,则BC=2∠BOC=∠BMA=900，∠OBC=∠OBM∴△BOC∽△BMA∴=∴AB=∴OA=OB－AB=4－∴点A的坐标为（－4+，0） ………………11分当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，