山西省晋中市介休市2023-2024学年九年级下学期中考摸底数学试题

介休市2024年第二学期九年级中考摸底考试数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.2.卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.4.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）1.在中，，，则的度数是（）A.30° B.45° C.60° D.90°2.如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（）A.对称 B.平移 C.旋转 D.位似3.用配方法解一元二次方程，方程可变形为（）A. B. C. D.4.几何体的三视图如左图所示，则这个几何体是（）A. B. C. D.5.如图，直线，直线和被直线、、所截，，，，则的长为（）A.14 B. C.15 D.6.在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是（）A. B. C. D.7.十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的；下列四副十二生肖图片，大小、形状、质地完全相同，小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，两张图片恰好是“牛”和“兔”的概率是（）A. B. C. D.8.如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作垂直于y轴，C，D在x轴上，，则平行四边形的面积是（）A.3 B.6 C.12 D.249.中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程.如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（）A. B.C. D.10.如图，在矩形中，，E是边上一点，且，连接.若，则的长为（）A.20 B.29 C. D.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.抛物线的顶点坐标是_______.12.如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为_______米.13.普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑.其中，最著名的便是莺莺塔（如图1）.数学兴趣小组根据光的反射定律（如图2），把一面镜子放在离古塔（）的点P处，然后观测者沿着直线后退到点B处．这时恰好在镜子里看到塔顶端D，量得，已知观测者目高，那么该古塔（）的高度是_______m.14.如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则水温下降过程中，y与x的函数关系式是_______.15.如图，在边长为2的正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、交于点O，点G、H分别是、的中点，连接，则的长度为_______三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本题共10分）（1）解方程：（2）计算：.17.（本小题共6分）鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表：s/m0912151821…h/m04.24.854.84.2…（1）根据表中数据预测足球落地时，_______m；（2）求h关于s的函数解析式；18.（本题7分）如图，在四边形中，，.（1）用尺规作的角平分线，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接．求证：四边形是菱形.19.（本题共10分）2023年4月，第三届中国国际消费品博览会暨全球消费论坛开幕式在海南国际会展中心举行，展馆内3000多件消费精品集中亮相，首发首秀新品大幅增加，其中山西展区分为Q.“酿造山西”、W.“品味山西”、R.“工艺山西”、X.“智造山西”四大板块.“智造山西”板块内一款“自动焊接机器人”的介绍引起大家的格外大出，随看科学技术不断的发展，自动机器人用于生产、生活的技术已日益成熟.（1）在山西展区的四个板块中，君君和娜娜两位同学计划各选一个板块进行了解参观，请用树状图或者列表来分析她们两人选到同一个板块的概率；（2）如图1，是展馆内一款自动焊接机器人，主要从事焊接，切割或热喷涂等工作.如图2，是该自动焊接机器人工作状态下的示意图，底座与地面垂直且可根据需要进行移动，，为机械臂，，，，，.求机械臂端点C离地面的距离.（结果精确到，参考数据：，，，）20.（本题共8分）阅读与思考如图是小强同学的数学课堂笔记本，请仔细阅读，并完成相应的任务．平面直角坐标系与直角三角形×年×月×日星期三原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行分类讨论.口诀：“两线一圆”作图：举例如下：已知、，在直线上求点C，使得为直角三角形.以下分三种情况讨论：情况一：当A为直角顶点时，过点A作的垂线l交直线于点C，则交点即为所求点C.如图①，有一个点；情况二：当B为直角顶点时，过点B作的垂线l交直线于点C，则交点即为所求点C.如图②，有一个点；情况三：当C为直角顶点时，以为直径作圆，则该圆与直线的交点即为所求点C.如图③，有，两个点；方法：一、几何法：构造“K型”或“一线三垂直”相似；二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根；三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点.任务：（1）上面课堂笔记由的分析过程，主要运用的数学思想是_______（从下面选项中选出两个即可）；A.数形结合 B.统计思想 C.分类讨论 D.转化思想（2）选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中的坐标.（3）直接写出“情况二”中的坐标_______；（4）请你写出在“情况三”中，确定、的坐标位置及求坐标过程中，所依据的数学定理或原理（写出一个即可）.21.（本题共10分）“美丽乡村”建设是实施乡村振兴战略的重要内容，山西省依托“黄河、长城、太行”三大旅游板块为抓手，全面促进乡村振兴发展，着力打造乡村旅游重点村.某旅游村在今年的春节期间，接待游客达2万人次，预计后年的春节假期接待游客有望达到2.88万人次，该旅游村内一家特色刀削面馆希望在春节假期间卖刀削面获得好的收益，经测算可知，该刀削面的成本价为每份10元，若每份卖15元，平均每天将销售128份，若价格每提高1元，则平均每天少销售8份，每天店内所需其他各种费用为232元.（1）求预计该旅游村明、后两年春节假期间游客人次的年平均增长率；（2）为了更好地维护景区形象，物价局规定每份刀削面售价不得超过20元，当每份刀削面售价提高多少元时，面馆才能实现每天净利润600元?22.（本题11分）综合与实践问题情境：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动.数学实践体验课上，张老师利用几何画板将两个大小不同的正方形进行旋转变换，并提出以下问题：如图1，四边形和四边形均为正方形，且点G在边上，连接，，则与有怎样的数量关系和位置关系.猜想结论：（1）猜想题目中的问题：与的数量关系是______，位置关系是_____；探索验证：（2）如图2，将正方形以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使得经过点B（即点B落在边上），此时（1）中的结论是否成立，请说明理由；拓展深入：（3）如图3，在图2的基础上，过点A作于点H，若，，请直接写出线段的长度.23.（本题13分）综合与探究如图所示，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，；直线l与抛物线交于点A，D，其中点D的横坐标为2.（1）求二次函数及直线的表达式；（2）点S是线段上的一个动点，过S点作y轴的平行线交抛物线于T点，求线段长度的最大值；（3）在直线AD下方的抛物线上的是否存在一动点P（P与A，D不重合），使的面积有最大值，若存在，求出最大面积及点P的坐标；若不存在，请说明理由.

数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1—5BCDACB 6—10DCBDB二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11. 12. 13.36 14. 15.三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（1）解：，，或，解得，（2）解：原式.17.解：（1）30（2）抛物线关于对称，设，把代入上述解析式，，解得：，（或）18.（1）解：如图所示.即为所求的角平分线；（2）证明：∵是的角平分线，，∵，，∵，，四边形为平行四边形，∵，四边形为菱形.19.解：（1）列表如下：QWRXQWRX共有16种能等可能出的结果，其中她们两人选到同一个板块的结果有4种，两人选到同一个板块的概率.（2）方法一：过点C作垂直于于点D，再过点B作直线平行于分别与、的延长延长线交于F、E，则，，∵四边形为矩形，在中，，，，在中，，，，机械臂端点C离地面的距离为4.9m.方法二：如图2（略）20.解：（1）（或或）（2）如图①，过点A作的垂线l交直线于点，过点A作垂直于x轴，分别过点B，作的垂线，垂足为H、K.由题意可得，，，，点C在直线上，，，，，的坐标为.（3）的坐标为.（4）答案不唯一.例如“同角或等角的余角相等”；“直径所对的圆周角是直角”；“两角分别相等的两个三角形相似”；“相似三角形的对应边成比例”；一次函数中两直线平行k值相等；一次函数两直线互相垂直时k值互为负倒数等；21.（1）解：设年平均增长率为x，依题可得解得：，（舍去），答：预计该旅游村明、后两年春节假期间游客人次的年平均增长率为30%.（2）解：设当每份刀削面提高a元时，面馆才能实现每天净利润600元，依题可得：，即，解得：，，当时，售价为，符合题意；当时，售价为，不符题意，舍去.答：每份刀削面提高3元时，面馆能实现每天净利润600元.22.解：（1），；（2）成立；理由如下：如图2，延长、交于点Q