新教材苏教版必修第二册93平面向量

第9章平面向量

9.3向量基本定理及坐标表示

9.3.1平面向量基本定理

基础过关练

题组一基底的理解与判定

L下列说法中正确的是（）

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;

②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;

③零向量不可以作为基底中的向量.

A.①②B.②③C,①③D.①②③

2.（2021江苏沛县中学高一月考）若仍,已是平面内的一组基底,则下列四组向量能作

为平面向量的基底的是（）

A.会，会一eB.

C.2。2-381,661-4&D.

3.如图，点。为正六边形4?6娇的中心，其中可作为基底的一对向量是（）

I)

A.O4.BCB.OAXDC.AB^CFD.AB^DE

4.已知向量a,a不共线,a=e+2&后2©+儿包，要使向量a力能作为平面内的一组基

底，则实数A的取值范围为.

题组二用基底表示向量

5.（2021江苏响水中学高一月考）如图所示，在矩形/四中，若近=5份,反=34,则反

等于（）

11

A.-(5e,+36>2)B.-(5e-3e2)

C*(2&+5ei)D.；(5&+3a)

6.

c

（2020江苏常州高一期末）如图，在△/回中，而胃彳瓦点£为切的中点.设

C\4=a,CB=6,贝Ui4E=（用a,b表小）.

7.如图，已知£/分别是矩形ABCD的边BCCD的中点、,EF与〃'交于点G,若

布=a,而=6,用基底a,b表示

题组三平面向量基本定理的应用

8.（2021山东淄博实验中学高一阶段测试）如图,已知点。为△的6边45上一点，且

4小2%,若存在实数以典使得灰=痂+痂，则疗〃的值为（）

H

A.-之1B.OC：1D.：2

333

9.（2021江苏省海州高级中学高一月考）如图，在四边形ABCD中，蕊=2比/为线段

上的一点，若屁=4荏V而,则实数力的值等于（）

122

氏C

----

A.5-5D.5

10.如图，设。是△48C内部一点，且。A+OC=2OB,则如与的面积之比

为

B

0

11.设a/是平面内的一组基底荏=a+56,左=-2步86,而=3(a-6),求证：46〃三点共

线.

能力提升练

题组一用基底表示向量

1.(2021广东茂名一中高一期中*)已知点G为△月回的重心，若存=a,J?=8,则就:

212

6

-武---

33B.D3

2士12

A

----

3333

2.(*)已知在中，点也在玄边所在的直线上且满足【而|=31丽|,设

荏寸，前=6,以｛荏，前｝作为基底，则宿=.

3.(*)在平面四边形池力中荏|=3,|配|=7,|讶|=11,|5?|=9,则

AC•BD

题组二平面向量基本定理的应用

4.(#?)在中/是欧边的中点，角/、B、C的对边分别是a、b、c,若

c方+a刀+丽=0,贝lJ△力8。为(

A.直角三角形B.钝角三角形

C.等边三角形D.等腰三角形

5.（2020江苏省前黄高级中学高一期末,水。如图，已知△[a'与却有一个公共顶

点4且MN与欧的交点〃平分宛若布=丽，前=丽皿〃£工则田的最小值为

B.—C.-+V2

22

6.（多选）（2021江苏如皋中学高一月考,*:）设点"是△/式所在平面内一点,则下列

说法正确的是（）

A.若宿带而+；而，则点也是边欧的中点

B.若宿=2万-前，则点"在边回的延长线上

C.若魂一丽-丽，则点"是△/a'的重心

D.若魂=函+屈，且x+片则的面积是面积的g

7.（2021山东寿光一中高一期中#）如图，在△/欧中,〃尸分别为边名。,4?上的

点，且C片BC,E吟AC,A*AB.设P为四边形力&附内一点（点〃不在边界上）.若加=-

:沆+疝瓦则实数x的取值范围为.

8.（2021江苏南通启东中学高一月考,"）如图,在菱形4?⑦中,屁三就，不=2万.

⑴若乔=耘讣屈，求3x+2y的值；

⑵若|前1=6,/阴庐60°,求前•前；

⑶若菱形4用刀的边长为6,求荏•丽的取值范围.

DC

9.(2020福建泉州一中高一期中,")如图所示，在△脑中祝三证而=g函/〃与

8C相交于点M.设昴a语b.

(1)试用向量a,6表示丽；

⑵在线段〃上取一点后在线段劭上取一点尸，使"过点必设

OE=AOA^OF=pOB,A,u且均不为0,求证：*=7.

A〃

Ji

3/

答案全解全析

第9章平面向量

9.3向量基本定理及坐标表示

9.3.1平面向量基本定理

基础过关练

1.B一个平面内只要是一对不共线的向量就可以作为该平面内所有向量的基底,

故①错误;②③显然正确.故选B.

2.D对于A,因为刍-金=-(金-3),所以两向量共线,不能作为基底，故A不符合题意;

对于B,因为2e「包=2但多2),所以两向量共线,不能作为基底，故B不符合题意；

对于C,因为2金-3ei=«6e「4⑸，所以两向量共线,不能作为基底，故C不符合题意；

对于D,因为a+位与0-02.不共线，所以两向量可作为基底，故D符合题意，故选D.

3.B由基底的概念可知，作为基底的两个向量不能共线.由题图可知，记与就共

线，乱与方共线，荏与族共线，均不能作为基底向量，褊与3不共线，可作为基底向量，

故选B.

4.答案(-8,4)u(4,+8)

解析若a,6能作为平面内的一组基底，则a与6不共线，设aW例MR),又

a=ei+2色，上尸2刍+八金，二4W4,.,.实数A的取值范围为(-8,4)U(4,+8).

5.AOC=1^C=|(BC-B4)=1(BC+AB)~(5e,+3e>).

故选A.

6.答案

解析因为点£为⑦的中点，

所以前=*公+而)，又盍=|荏，且弱=而一刀，

所以战力国+g(CB-CA')],

化简，得版Wo而-5,)，

又~CB-b^CA-&所以版W6金.

7.解析易知不苗而，无=：而，

设记=4函4WR),

则由向量加法的平行四边形法则可得笈=X(滞+3)=2ACE+2ACF.

由于£G/三点共线，贝J24+24=1,

即1

A

8.AOC=OB+BC=OB+i~BA=OB+^BO+^OA=^OA+^OB,PIT^叫，石，所以炉炉一与故选A.

9.A由4£C三点共线，可设航=PAC,

则放=或+版=P'AC-'AD-n(AD+'DC)-'AD=〃(而+；而)-前=(〃T)而〃同，

又旗=X正!而，

rl_,_2

所以/‘3解得"=：’故选A.

产1=-匚(A=-.

10.答案1：2

解析如图，设〃是AC的中点，连接〃1狈J加+了=2而，

Xa4+OC=-2OB,/.OM=-OB,fiP。是"的中点,.色即S&AOB:S△加=1:2.

11.证明因为布=濯+或+/=a+5Z7+(-2a+88)+3(a-6)=2a+10Z>=2(a+56)=2福所以而与

同共线.

又因为方与方有公共点4

所以4瓦〃三点共线.

能力提升练

1.B设〃是4。的中点，则说带廊+硝，又G为△加。的重

心,/.BG=|BD=|X1（B4+BC）=|（B4+BC）=i（-^B+^C-^B）=-|^B+i^C=-1（a+iZ?.

故选B.

2.答案部他或匆裁

解析由【而I=3|笳|,得而=3而或加=-3而，故点"在边8。上或在。的延长线上.

当点"在边BCi^,'BC=AC-AB=b-a.因为瓦7=3流,所以前三玩=；/7~扣,

pfrJ^AM=AB+BM=a+Qb-）。=加出

当点V在"的延长线上时，不?=-3靛=3而，故前带函

所以病=屈+前=涡+；方=屈+会同一元月荏-gJ?=|a-gZ?.

综上，而号了他或筋号a-弱

3.答案0

解析如图,

AC•'BD=AC•（AD-AB）

=AC•AD-AC•AB

=（AD+'DC）.AD-（AB+Jc）.AB

>2>>>2一一->>

=AD+DC•AD-AB-BC,AB

=前2+*方+反）号（前2+反2）一同2

-^AB+Bcf+^AB+BC）

=AD2AD2'DC2-AB2+^AB2+^BC2=1（^D2+SC2一前一褶）=0.

4.C•./是a'边的中点,

，'AC=PC-'PA=-'PB-'PA.

...CAC+aPA+l）PB=O,

c（一陪刀）+a刀+6而=0,

即（a-cyPA+（b-C）PB=O.

•.•以与而不共线，

，且b~c=O,aptrc,

...△45C是等边三角形.

5.C因为。为及7的中点，所以正带颂+就），又病=/丽兀=〃褊，所以而杉而叫前.又

现0,川三点共线,所以甥=1,即阳厅2,易知力>0,〃>0,所以线=©+：）•得+

弓+企,当且仅当检=3即,=2卑，时取等号.

2Im+n=2,（n=4-2V2

故耳2的最小值为尹&故选C.

mn2

6.ACDA中方带通+次/祈酒*即

即前=流,.,.点"是边8。的中点，故A正确；

B,AM=2AB-AC,AM-AB=AB-AC,：.BM=CB,...点"在边。的延长线上，故B错误；

C中，设8。的中点为。，布=-丽-奇子存+标=2说，，点"是△力欧的重心，故C正确；

D中，病=才布+屈，且^+y=l=>2AM=2XAB+2yAC,2x+2y^l.

设前=2前,，AD=2xAB+2yAC,2x+2y=1,可知用乙〃三点共线,，/\MBC的面积是XABC

面积的也故D正确.

故选ACD.

a

7.答案（工）

解析在BD上取一点G,且DG^DC.

设〃仁3a,则〃白&从而叱5a,8俏a,贝ijG为宜的中点.

过点G作67/〃龙分别交加于点A；〃并以的,必为邻边作平行四边形环'〃G,以

〃G,67/为邻边作平行四边形//II'DG,如图.

Ran

由题意及平行四边形法则,易知点尸必定在线段A7/上(不含端点)，则有

15F*|<|XDE|<|D/TI,|KG|<|XDEI<|HG|,

即KG<xDE<HG.

GH//gHB=EC=AgEC、gDE.

连接勿因为零带=差=

nCLrri"BC/'卜’J

所以券彩=K唉lgK喂H*DE,

所以K*DE〈xDEgD4HG.

所以xe&J

8.解析(1)VBE=iBC,CF=2FD,

/.ET=FC+CF=16C-1DC=1AD-^AB,XE7=X45+yAD,.\尸一|,片，

.,.3^+2j^3X(-|)+2Xl=-l.

(2y.,AC=AB+AD,

.•.就•IF=(AB+AD).C而一河户而2-河2一池.超

四边形48⑶为菱形,二|前1=1词=6,

：.AC•FF=-i|12-1112cosABAD--\X36-1X36Xl=-9,

6666L

即X?•£T=-9.

(3)'."AE=AB+^AD^E