2025年高考数学复习大题题型归纳：专题18 独立性检验（解析）

专题18独立性检验1．某城市在创建“国家文明城市”的评比过程中，有一项重要指标是评估该城市在过去几年的空气质量情况，考评组随机调取了该城市某一年中100天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如下表：AQI0,100100,200200,300>300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染天数17482015(1)某企业生产的产品会因为空气污染程度带来一定的经济损失，其中经济损失S（单位：元）与空气质量指数（AQI）（记为x）有关系式S=00≤x≤1004x−400100<x≤300(2)若本次抽取得样本数据中有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.重度污染非重度污染合计供暖季的天数非供暖季的天数合计100附：KP0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)1(2)表格见解析，有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.【分析】（1）根据古典概型可求概率；（2）根据独立性检验，填写列联表并代入公式计算.【详解】（1）要使400<S≤800，可知空气质量指数（AQI）200<x≤300.根据题意，空气质量指数（AQI）200<x≤300的天数为20天，所调取的数据为100天，所以概率为P=20（2）补充的2×2列联表为重度污染非重度污染合计供暖季的天数82230非供暖季的天数76370合计1585100K2可见，有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.2．某驾校对最近一年考驾照通过的情况进行了分析，在随机抽取的200名拿到驾照的学员中，包括女学员80名，没有补考经历的女学员有60名，男学员有补考经历的占16(1)根据条件填写下列2×2列联表，并分析能否有95%没有补考经历有补考经历合计男学员（单位：人）女学员（单位：人）合计200(2)在通过考试的学员中，随机抽查了20名学员，其科目三补考次数如下（最多只能补考4次）：补考次数01234人数105131求这20名学员补考次数的平均数与方差.参考公式：K2=n参考数据：P0.500.400.250.150.100.05k0.4550.7801.3232.0722.7063.841【答案】(1)列联表见解析，没有(2)1，8【分析】（1）先算出男学员的总人数，再分别计算男学员补考和不补考的人数，从而完善列联表，代入卡方公式计算判断即可；（2）利用平均数和方差计算公式计算即可.【详解】（1）由题意，拿到驾照的男学员有200−80=120名，因为男学员有补考经历的占16，所以男学员有补考经历的有120×所以没有补考经历的男学员有120−20=100名，又没有补考经历的女学员有60名，所以有补考经历的女学员有20名，完善列联表如下：没有补考经历有补考经历合计男学员（单位：人）10020120女学员（单位：人）602080合计16040200则K2因为2.083<3.841，所以没有95%的把握认为是否有补考经历与性别有关.（2）由题意，这20名学员补考次数的平均数为x=这20名学员补考次数的方差s23．某校随机抽出30名女教师和20名男教师参加学校组织的“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利75周年”知识竞赛（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，50~80分之间的为非优秀，统计并得到如下列联表：女教师男教师总计优秀20626非优秀101424总计302050(1)男､女教师中成绩为优秀的频率分别是多少？(2)判断是否有99%的把握认为这次竞赛成绩是否优秀与性别有关？附：K2=nP0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)男教师中成绩为优秀的频率是310，女教师中成绩为优秀的频率是(2)没有99%的把握认为这次竞赛成绩是否优秀与性别有关【分析】（1）根据题中数据求相应的频率；（2）根据题中数据和公式计算K2【详解】（1）由题意可得：男教师中成绩为优秀的频率是620=3（2）K2故没有99%的把握认为这次竞赛成绩是否优秀与性别有关．4．人工智能教育是将人工智能与传统教育相融合，借助人工智能和大数据技术打造一个智能化教育生态，通过线上和线下结合的学习方式，让学生享受到个性化教育．为了解某公司人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到该公司2017年一2021年人工智能教育市场规模统计表，如表所示，用x表示年份代码(2017年用1表示，2018年用2表示，依次类推），用y表示市场规模（单位：百万元）．x12345y4556646872(1)已知y与x具有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；(2)该公司为了了解社会人员对人工智能教育的满意程度，调研了200名参加过人工智能教育的人员，得到数据如表：满意不满意总计男90110女30总计150完成2×2列联表，并判断是否有97.5%附1：线性回归方程：y=bx+a，其中附2：K2=nP(0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)y=6.6x+41.2(2)列联表见详解，有97.5%的把握认为社会人员的满意程度与性别有关【分析】（1）利用公式求出b，a，即可得出结论；（2）求得K2【详解】（1）由题意得，x=1+2+3+4+55i=15i=15b=a=所以y关于x的线性回归方程为y=6.6x+41.2．（2）由题意得如下2×2列联表：满意不满意总计男9020110女603090总计15050200由K所以有97.5%的把握认为社会人员的满意程度与性别有关．5．新修订的《中华人民共和国体育法》于2023年1月1日起施行，对于引领我国体育事业高质量发展，推进体育强国和健康中国建设具有十分重要的意义．某高校为调查学生性别与是否喜欢排球运动的关系，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图：

(1)根据等高堆积条形图，填写下列2×2列联表，并依据α=0.001的独立性检验，是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢排球运动有关联；性别是否喜欢排球运动是否男生女生(2)将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取50名学生，设其中喜欢排球运动的学生的人数为X，求使得PX=k取得最大值时的k附：χ2=nad−bc2【答案】(1)列联表见解析，有关联(2)22【分析】（1）结合条形等高图写出列联表，计算χ2（2）由题意知随机变量X~B50,【详解】（1）由等高堆积条形图知,2×2列联表为：性别是否喜欢排球运动是否男生3070女生6040零假设为H0χ2依据α=0.001的独立性检验,可以推断H0（2）由(1)知,喜欢排球运动的频率为90200所以,随机变量X~B50,则PX=k令C50k9因为k∈N,所以当k=22时,PX=k6．某视频上传者为确定下一段时间的视频制作方向，在动态中发布投票，投票主题为“你希望我接下来更新哪个方向的视频”，共计8000人参与此投票，投票结果如下图所示（每位关注者仅选一项）．其中，投票游戏、动漫、生活的关注者之比为1:1:3．(1)求参与投票的关注者的性别比；(2)以游戏与生活两个方向为例，依据小概率值α=0.001的χ2注：K2=nad−bc2【答案】(1)21:29；(2)可以认为性别与关注者喜欢视频上传者上传视频的类型有关.【分析】（1）计算出男性关注者和女性关注者的比例，即可得解；（2）计算出选择游戏、生活的男性和女性关注着的人数，可得出2×2列联表，计算出k的观测值，结合临界值可得出结论.(1)解：根据统计图，男性关注者占比为15女性关注者占比为1−42%=58%，男女性别比为42%:58%=21:29．(2)解：根据统计图计算可得，选择游戏的关注者中，男性关注者的人数为8000×15×0.9=1440选择生活的关注者中，男性关注者的人数为8000×35×0.2=960零假设H0由计算的数据可以得到下面的列联表：男性关注者人数女性关注者人数游戏1440160生活9603840k的观测值K2因此可以认为性别与关注者喜欢视频上传者上传视频的类型有关．7．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：（Ⅰ）将频率视为概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率；（Ⅱ）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”.P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K【答案】（Ⅰ）29；（Ⅱ）没有99%【解析】（Ⅰ）根据等高条形图求出学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的人数为25（Ⅱ）根据题意列出列联表，计算出观测值，根据独立性检验的基本思想即可求解.【详解】（Ⅰ）从等高条形图中看出，学习时长不超过1小时，但考试成绩超过120分的人数为25×25=10人，∴其概率为（Ⅱ）依题意，得2×2列联表：数学成绩在线学习时长≤120分>120分合计≤1小时151025>1小时51520合计202545∵K2∴没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”.【点睛】本题主要考查了独立性检验的基本思想、古典概型的概率计算公式、列联表，属于基础题.8．某省即将实行新高考，不再实行文理分科.某校为了研究数学成绩优秀是否对选择物理有影响，对该校2018级的1000名学生进行调查，收集到相关数据如下：（1）根据以上提供的信息，完成2×2列联表，并完善等高条形图；选物理不选物理总计数学成绩优秀数学成绩不优秀260总计6001000（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关？附：K临界值表：P0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）填表见解析，作图见解析（2）能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关【分析】（1）由题意计算出各组人数后即可完成列联表，进而可补全等高条形图；（2）代入公式计算出K2【详解】（1）根据题意填写列联表如下，选物理不选物理总计数学成绩优秀420320740数学成绩不优秀18080260总计6004001000完善等高条形图，如图所示；（2）计算K≈12.474>3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关.【点睛】本题考查了独立性检验的应用，考查了计算能力，属于中档题.9．大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程.（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（Ⅱ）某班有5名优等生，其中有2名参加了大学生先修课程的学习，在这5名优等生中任选3人进行测试，求这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率.参考数据：P(0.150.100．050.0250.0100.005k2.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式：K2=【答案】（1）列联表见解析有关系（2）9【分析】（1）根据优等生的人数、学习大学先修课程的人数，结合等高条形图计算数值，填写好表格，计算出K2的值，比较题目所给参考数据，得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系”这个结论.（2）利用列举法，求得基本事件的众数为10种，其中“没有学生参加大学先修课程学习”的情况有1种，利用对立事件的概率计算方法，求得至少有1【详解】（1）列联表如下：优等生非优等生总计学习大学先修课程50200250没有学习大学先修课程1009001000总列联表可得k=1250×因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（2）在这5名优等生中，记参加了大学先修课程的学习的2名学生为A1，A2，记没有参加大学先修课程学习的3名学生为B1，B则所有的抽样情况如下：共10种，{A1,A2,B1}{A1,B2,B3}其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有1种，为{B记事件A为至少有1名学生参加了大学先修课程的学习，则P(A)=1−1【点睛】本小题主要考查等高条形图的识别，考查2×2列联表及独立性检验，考查古典概型等知识，属于中档题.10．某工厂甲、乙两套设备生产相同的电子元件，现分别从这两套设备生产的电子元件中随机抽取100个电子元件进行质量检测，检测结果如下表：测试指标[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)90,100数量/个8122011050已知测试指标大于或等于80为合格品，小于80为不合格品，其中乙设备生产的这100个电子元件中，有10个是不合格品．(1)请完成以下2×2列联表：甲设备乙设备合计合格品不合格品合计(2)根据以上2×2列联表，判断是否有99.9%参考公式及数据：K2=nP0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析(2)有99.9%的把握认为该工厂生产的这种电子元件是否合格与甲、乙两套设备的选择有关．【分析】（1）根据列联表结合已知信息填写对应数值即可；（2）利用K2【详解】（1）如下表所示：甲设备乙设备合计合格品7090160不合格品301040合计100100200（2）因为K2所以有99.9%的把握认为该工厂生产的这种电子元件是否合格与甲、乙两套设备的选择有关．11．北京2022年冬奥会于2月20日胜利闭幕，广受参会运动员和世界人民好评，为了解居民对北京冬奥会了解程度，某社区居委会随机抽取600名社区居民参与问卷调查，并将问卷得分绘制频率分布表如下：得分[30[[50[60[70[80[90男性人数15555575654020女性人数10303590702515(1)参与问卷调查的男性、女性居民中，得分不低于80分的频率分别是多少？(2)将居民对北京冬奥会的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“北京冬奥会的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较了解总计男性女性总计附：K2=n临界值表：P(0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)1(2)列联表见解析，有【分析】（1）根据已知数据即可求得答案；（2）由已知数据可得列联表，计算K2【详解】（1）由已知表中数据可得参与问卷调查的男性、女性居民中，男性得分不低于80分的频率分别是40+20600女性得分不低于80分的频率分别是25+15600（2）由题意可得列联表如下：不太了解比较了解总计男性125200325女性75200275总计200400600故K2故有99%的把握认为“北京冬奥会的了解程度”与“性别”有关.12．离高考还有最后一周，我校进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三13个班级每个班随机抽10名同学进行问卷，统计数据如下图，课余学习时间超过两小时课余学习时间不超过两小时200名以前35x200名以后2545附：参考公式：K2=na0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828(1)求x；(2)依据上表，判断是否有99%的把握认为，高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关.【答案】(1)x=25(2)有99%的把握认为高三学生可与学习时间超过两小时跟学生成绩有关.【分析】（1）由题意可得抽取的学生为130名，列等式即可；（2）利用K2=n【详解】（1）由题意可得高三13个班级共抽取13×10=130名，所以35+25+x+45=130，解得x=25（2）利用列联表可得K2所以有99%的把握认为高三学生可与学习时间超过两小时跟学生成绩有关.13．长距离跑简称长跑，英文是long-distancerunning.最初项目为4英里、6英里跑，从19世纪中叶开始，逐渐被5000m跑和10000m跑替代.长跑对于培养人们克服困难，磨炼刻苦耐劳的顽强意志具有良好的作用，特别是对那些冬季怕冷爱睡懒觉不想锻炼的人起到促进作用，从而使他们尝到健身长跑锻炼的好处，某校开展阳光体育“冬季长跑活动”，为了解学生对“冬季长跑活动”是否感兴趣与性别是否有关，某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查，所得数据制成下表；感兴趣不感兴趣合计男生8女生32合计80100(1)完成上面的2×2列联表，并依据小概率值(2)若不感兴趣的男生中恰有3名是高三学生，现从不感兴趣的男生中随机选出3名进行二次调查，记选出高三学生的人数为X，求X的分布列与数学期望.参考公式χ2=n附：α0.150.100.050.0250.0100.0050.001x2.7022.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)不能认为学生对“冬季长跑活动”是否感兴趣与性别有关联(2)分布列见解析；数学期望E【分析】（1）根据已知数据即可补全列联表，根据列联表计算得到χ2（2）根据超几何分布概率公式可计算得到X每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值.【详解】（1）根据已知数据可补全2×2列联表如下：感兴趣不感兴趣合计男生48856女生321244合计8020100零假设H0χ2∴依据小概率值α=0.1的独立性检验，H0（2）由题意知：X所有可能的取值为0,1,2,3，∵PX=0=C53C8∴X的分布列为：X0123P515151数学期望EX14．某学校开展消防安全教育活动，邀请消防队进校园给师生进行培训，培训结束后抽取了部分学生进行消防安全知识测试（满分100分），所得分数统计如表①所示，并按照学生性别进行分类，所得数据如表②所示.得分5060708090人数50100200400250表①男生女生得分不低于80分4ab得分低于80分ab表②(1)估计这次测试学生得分的平均值；（每组数据以所在区间的中点值为代表）(2)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否判断男生和女生对消防安全知识的掌握情况有差异？参考公式：χ2参考数据：α0.010.0050.001x6.6357.87910.828【答案】(1)82(2)能判断男生和女生对消防安全知识的掌握情况有差异.【分析】（1）根据每一组的频率，以及每组的中间值，代入公式求平均数；（2）根据数据，结合列联表，计算求得a,b的值，再根据参考公式求χ2【详解】（1）依题意，估计平均值为55×50（2）依题意，4a+b=650a+b=350，解得a=100可得2×2列联表：男生女生总计得分不低于80分400250650得分低于80分100250350总计5005001000则χ2故依据α=0.001的独立性检验，能判断男生和女生对消防安全知识的掌握情况有差异.15．某校为了深入学习宣传贯彻党的二十大精神，引导广大师生深入学习党的二十大报告，认真领悟党的二十大提出的新思想、新论断，作出的新部署、新要求，把思想统一到党的二十大精神上来，把力量凝聚到落实党的二十大作出的各项重大部署上来．经研究，学校决定组织开展“学习二十大奋进新征程”的二十大知识竞答活动．本次党的二十大知识竞答活动，组织方设计了两套活动方案：方案一：参赛选手先选择一道多选题作答，之后都选择单选题作答；方案二：参赛选手全部选择单选题作答．其中每道单选题答对得2分，答错不得分；多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项不得分．为了提高广大师生的参与度，受时间和场地的限制，组织方要求参与竞答的师生最多答3道题．在答题过程中如果参赛选手得到4分或4分以上则立即停止答题，举办方给该参赛选手发放奖品．据统计参与竞答活动的师生有500人，统计如表所示：男生女生总计选择方案一10080选择方案二200120总计(1)完善上面列联表，据此资料判断，是否有90%的把握认为方案的选择与性别有关？(2)某同学回答单选题的正确率为0.8，各题答对与否相互独立，多选题完全选对的概率为0.3，选对且不全的概率为0.3；如果你是这位同学，为了获取更好的得分你会选择哪个方案？请通过计算说明理由．附：K2=nP0.150.100.050.0250.0100.0050.001K2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格见解析，没有(2)方案一，理由见解析【分析】（1）首先补全列联表，再根据参考公式和数据，进行比较后，即可作出判断；（2）分别计算两个方案下的得分的分布列，再求数学期望，比较大小后，即可判断.【详解】（1）由题意完善列联表如图男生女生总计选择方案一10080180选择方案二200120320总计300200500故K故没有90%的把握认为方案的选择与性别有关.（2）设选择方案一的得分为X，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，则P(X=0)=0.4×0.2×0.2=0.016，P(X=1)=0.3×0.2×0.2=0.012，P(X=2)=0.4×2×0.8×0.2=0.128，P(X=3)=0.3×0.2×0.2+0.3×2×0.8×0.2=0.108，P(X=4)=0.4×0.8×0.8=0.256，P(X=5)=0.3×0.8+0.3×0.2×0.8+0.3×0.8×0.8=0.480，故X的数学期望E(X)=1×0.012+2×0.128+3×0.108+4×0.256+5×0.480=4.016.设选择方案二的得分为Y，则Y的可能取值为0,2,4，则P(Y=0)=0.2×0.2×0.2=0.008，P(Y=2)=3×0.8×0.2×0.2=0.096，P(Y=4)=0.8×0.8+2×0.8故E(Y)=2×0.096+4×0.896=3.776，因为E(X)>E(Y)，故为了获取更好的得分，我会选择方案一16．2022年9月23日，延期后的杭州亚运会迎来倒计时一周年，杭州亚组委发布宣传片《亚运+1》和主办城市推广曲《最美的风景》．杭州某大学从全校学生中随机抽取了1200名学生，对是否收看宣传片的情况进行了问卷调查，统计数据如下，收看未收看男生600200女生200200(1)根据以上数据说明，依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为学生是否收看宣传片与性别有关？(2)现从参与问卷调查且收看了宣传片的学生中，按性别采用分层抽样的方法选取8人，参加杭州2023年第19届亚运会志愿者宣传活动．若从这8人中随机选取2人到校广播站开展亚运会比赛项目宣传介绍．记X为人选的2人中女生的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．参考公式和数据：χ2=nα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)认为学生是否收看宣传片与性别有关(2)分布列见解析，1【分析】（1）根据独立性检验的思想，计算χ2（2）由题知选取的8人中，男生有6人，女生有2人，进而根据超几何分布求解即可.【详解】（1）解：（1）零假设H0由题中数据可知，χ2依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0所以，可以认为学生是否收看宣传片与性别有关．（2）解：根据分层抽样方法，选取的8人中，男生有34×8=6人，女生有根据题意，X所有可能取值为0，1，2．PX=0=C62所以X的分布列为X012P1531所以E(X)=0×1517．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．卡塔尔世界杯后，某校为了激发学生对足球的兴趣，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，统计得出的数据如下表：喜欢足球不喜欢足球合计男生50女生25合计(1)根据所给数据完成上表，试根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析该校学生喜欢足球与性别是否有关．(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球，已知男生进球的概率为34，女生进球的概率为1附：χ2=nα0.0500.0100.001x3.8416.63510.828【答案】(1)表格见解析，该校学生喜欢篮球与性别有关；(2)分布列见解析，数学期望为116【分析】（1）根据题意中的数据分析，补充列联表，利用卡方公式计算，结合独立性检验的思想即可下结论；（2）3人进球总次数ξ的所有可能取值为0，1，2，3．利用独立事件的乘法公式求出对应的概率，得出分布列，结合求数学期望公式计算即可求解.【详解】（1）因为随机抽取了男、女同学各100名进行调查，男生不喜欢篮球的有50人，女生喜欢篮球的有25人，所以男生喜欢篮球的有50人，女生不喜欢篮球的有75人.2×2列联表如下：喜欢篮球不喜欢篮球合计男生5050100女生2575100合计75125200零假设为H0根据列联表中的数据，经计算得到χ2∴根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0即认为该校学生喜欢篮球与性别有关．（2）3人进球总次数ξ的所有可能取值为0，1，2，3．Pξ=0=1Pξ=2=C∴ξ的分布列如下：ξ0123P11313∴ξ的数学期望：Eξ18．为了解学生中午的用穊方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表（不完整）：学生与最近食堂间的距离d0,200200,400400,600600,800800,+合计在食堂就餐0.150.100.000.50点外卖0.200.000.50合计0.200.150.001.00并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为370m(1)补全频率分布表，并判断是否有99.9%的把握认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过400m(2)已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.（i）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.此时，记他选择去甲食堂就餐为事件A，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件D，且D、A均为随机事件，证明：PD（ii）为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得a元优惠；②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐的若干天（不必连续）中午，第一天中午不优惠（即“饥饿”一天），第二天中午获得2b元优惠，以后每天中午均获得b元优惠（其中a，b为已知数且b>a>0）.校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为p（0<p<1），且是否去甲食堂就餐相互独立.又知李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向于选择能获得优惠期望更大的方案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出选择，并说明理由.附：χ2=na0.100.0100.001x2.7066.63510.828【答案】(1)频率分布表见解析，有99.9%的把握(2)（i）证明见解析；（ii）当0<p<p0时，选择传统型优惠方案；当【分析】（1）根据题意补全频率分布表，然后计算χ2（2）（i）证法一：根据题意得到PAD>PAD证法二：根据题意得到PAD>PAD，P（ii）根据题意得到两种方案的优惠期望，然后分EX>EY、E【详解】（1）设d∈200,400组的频率为t，则d∈400,600组的频率为估计学生与最近食堂间的平均距离d=100×0.20+300t+5000.65−t+700×0.15=450−200t=370学生与最近食堂间的距离d0,200200,400400,600600,800800,+∞合计在食堂就餐0.150.200.100.050.000.50点外卖0.050.200.150.100.000.50合计0.200.400.250.150.001.00据此结合样本容量为2000可列出2×2列联表如下：学生距最近食堂较近学生距最近食较堂远合计在食堂就餐7003001000点外卖5005001000合计12008002000零假设H0注意到χ2据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0（2）（i）证法一：由题意得PAD>PAD，P结合条件概率公式知PADPDP=P即PD证法二：由题意得PAD>PAD，P于是PAD故P==PADP（ⅱ）设李明在校庆期间去食堂甲就餐的次数为ξ，若选择传统型优惠方案获得的优惠为X元，若选择“饥饿型”优惠方案获得的优惠为Y元，则ξ∼B7,p，X=aξ，对0≤k≤7PY=kb=PE=b令EX=EY结合a<b得p=1−若p0<p<1，则EY−EX=7pb1−1−p若p=p0，则1−p6=1−aD===b因此D=7p6p即DY综上所述，当0<p<p当p019．第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为23，女生进球的概率为1附：K2P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)表格见解析，有(2)分布列见解析，116【分析】（1）根据题意，得到2×2列联表，求得K2（2）根据题意，得到随机变量的可能的取值，求得相应的概率得到分布列，利用期望公式，即可求解.【详解】（1）解：根据题意，得到2×2列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200可得K2所以有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.（2）解：由题意，3人进球总次数ξ的所有可能取值为0,1,2,3，可得Pξ=0=1Pξ=2所以随机变量ξ的分布列为：ξ0123P1542所以ξ的数学期望为Eξ20．某手机商家为了更好地制定手机销售策略，随机对顾客进行了一次更换手机时间间隔的调查．从更换手机的时间间隔不少于3个月且不超过24个月的顾客中选取350名作为调查对象，其中男性顾客和女性顾客的比值为32时间间隔（月）3,66,99,1212,1515,1818,2121,24男性x89191284女性y25121172(1)计算表格中x,y的值；(2)请根据频率分布表填写2×2列联表，并判断是否有99%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”？频繁更换手机未频繁更换手机合计男性顾客女性顾客合计附表及公式：P0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828K2=n【答案】(1)x=3,y=3(2)表格见解析，没有【分析】（1）根据男性顾客和女性顾客的比值、分层抽样的知识求得x,y.（2）根据已知条件填写2×2列联表，计算K2【详解】（1）由题知男性顾客共有350×35=210按分层抽样抽取105人，则应该抽取男性顾客105×210350=63所以x=63−(8+9+19+12+8+4)=3,y=42−(2+5+12+11+7+2)=3．（2）由频率分布表可知，在抽取的105人中，男性顾客中频繁更换手机的有20人，女性顾客中频繁更换手机的有10人，据此可得2×2列联表：频繁更换手机未频繁更换手机合计男性顾客204363女性顾客103242合计3075105所以K2因为0.778<6.635，所以没有99%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”.21．某中学初三年级有学生1500人，其中男生占总人数的70%，为调查该校学生中考前一周每天睡眠时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生的睡眠时间样本数据（单位：小时）．

(1)应收集多少位男生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生睡眠时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：(0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生中考前一周平均每天睡眠时间超过4小时的概率；(3)在样本数据中，有60位女生的平均睡眠时间超过4小时，请完成中考前一周日均睡眠时间与性别列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生的考前一周日均睡眠时间与性别有关”．附：K2P0.100.050.0100.005k2.7063.8416.6357.879【答案】(1)210(2)0.75(3)列表见解析；没有99%的把握认为“该校学生的考前一周睡眠时间与性别有关”【分析】（1）运用分层抽样的性质计算即可.（2）由频率分布直方图计算频率即可.（3）利用2×2列联表求得K2再与所给的K【详解】（1）由题得300×70%=210，所以应收集210位男生的样本数据．（2）由频率分布直方图得1−2×(0.100+0.025)=0.75，所以该校学生高考前平均每天睡眠时间超过4小时的概率估计值为0.75．（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人高考前日均睡眠时间超过4小时，75人的高考前日均睡眠时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以高考前一周每日平均睡眠时间与性别列联表如下：男生女生总计高考前日均睡眠时间不超过4小时453075高考前日均睡眠时间超过4小时16560225总计21090300零假设H0结合列联表可算K2所以，没有99%的把握认为“该校学生的考前一周睡眠时间与性别有关”．22．安庆某农场主拥有两个面积都是220亩的农场——加盟“生态农场”与“智慧农场”，种植的都是西瓜，西瓜根据品相和质量大小分为优级西瓜､一级西瓜､残次西瓜三个等级.农场主随机抽取了两个农场的西瓜各100千克，得到如下数据：“生态农场”优级西瓜和一级西瓜共95千克，两个农场的残次西瓜一共20千克，优级西瓜数目如下：“生态农场”20千克，“智慧农场”25千克.(1)根据所提供的数据，完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为残次西瓜率与农场有关？农场非残次西瓜残次西瓜总计生态农场智慧农场总计(2)种植西瓜的成本为0.5元/千克，且西瓜价格如下表：等级优级西瓜一级西瓜残次西瓜价格（元/千克）2.51.5−0.5（无害化处理费用）①以样本的频率作为概率，请分别计算两个农场每千克西瓜的平均利润；②由于农场主精力有限，决定售卖其中的一个农场，请你根据以上数据帮他做出决策.（假设两个农场的产量相同）参考公式：K2=nP0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据题目中提供数据即可完成表格，代入计算可得K2（2）①分别计算出两农场三种等级的西瓜不同利润盈利的频率，再由期望值公式即可求得结果；②根据两农场每千克西瓜的平均利润的大小可知，售卖利润较低的即可.【详解】（1）根据题意完成2×2列联表如下：农场非残次西瓜残次西瓜总计生态农场955100智慧农场8515100总计18020200所以可得K2参考附表可知有95%的把握认为残次西瓜率与农场有关.（2）①对于“生态农场”，抽到优级西瓜即盈利2元的频率为0.2，抽到一级西瓜即盈利1元的频率为0.75，盈利−1元的频率为0.05；所以“生态农场”农场每千克西瓜的平均利润为2×0.2+1×0.75−1×0.05=1.1（元）；对于“智慧农场”，抽到优级西瓜即盈利2元的频率为0.25，抽到一级西瓜即盈利1元的频率为0.6，盈利−1元的频率为0.15；所以“智慧农场”农场每千克西瓜的平均利润为2×0.25+1×0.6−1×0.15=0.95（元）；②由于两个农场的产量相同，所以“生态农场”的利润更大，应该售卖“智慧农场”.23．为了有针对性地提高学生对音乐课程的积极性，某校需要了解学生爱好音乐是否与性别有关，随机抽取100名该校学生进行问卷调查，得到如下列联表.爱好音乐不爱好音乐总计男16女26总计100已知从这100名学生中任选1人，爱好音乐的学生被选中的概率为25(1)完成上面的列联表；(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生爱好音乐与性别有关.附：K2=nP(0.10.050.010.001k2.7063.8416.63510.828【答案】(1)表格见解析(2)没有90%的把握认为该校学生爱好音乐与性别有关.【分析】（1）设这100名学生中爱好音乐的学生有x人，由x100=2（2）求出K2【详解】（1）设这100名学生中爱好音乐的学生有x人，则x100解得x=40.列联表完成如下.爱好音乐不爱好音乐总计男163450女242650总计4060100（2）由（1）可知K2因为2.667<2.706，故没有90%的把握认为该校学生爱好音乐与性别有关.24．为了验证甲、乙两种药物对治疗某种疾病的效果，某科研单位用两种药物对患有该疾病的患者进行临床药物实验．随机抽取患有该疾病的患者200人，其中100人注射甲药物，另外100人注射乙药物，实验结果完成后，得到如下统计表：药物效果明显效果不明显合计甲药物7624100乙药物8416100合计16040200(1)分别估计注射甲、乙两种药物的患者效果明显的概率；