2.2基本不等式课件高一上学期数学人教A版2

基本不等式一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：a,b∈R复习提问重要不等式替换后得到：即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？学习新知证明：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法证明不等式：学习新知基本不等式1.如何理解“基本”呢？对象少；关系简；应用广.2.基本不等式的几何解释

如图,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD.

易证Rt△ACD∽Rt△DCB,则ABCDEab而这个圆的半径为,显然会大于或等于CD,即其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时,等号成立.特别地，若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a>0,b>0学习新知适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式学习新知基本不等式的应用例１．已知x>0，求的最小值和此时x的取值．典型例题基本不等式的应用例１．已知x>0，求的最小值和此时x的取值．典型例题变式1：把改为成立吗？变式2：把改为成立吗？不成立不成立练习课本P46T3,4，5基本不等式的运用典型例题例2.已知

x,y

都是正数，求证：(1)如果积

xy等于定值P

，那么当

x=y时，和x+y有最小值2P.(2)如果和x+y等于定值S

，那么当x=y时，积xy有最大值

S2.14积定和最小,和定积最大.一正、二定、三相等练习课本P46T1,2，5①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意归纳总结已知

x,y

都是正数，求证：(1)如果积

xy等于定值P

，那么当

x=y时，和x+y有最小值2P.(2)如果和x+y等于定值S

，那么当x=y时，积xy有最大值

S2.14辨别真伪深化新知×一正满足.二定不满足.三相等就无从谈起.错误原因是把相等时的x值代入求y的值了.课本P48T1去伪存真强化三识一正满足.二定也满足.三相等也能成立.课本P48T1求最值时注意把握“一正，二定，三相等”3.利用基本不等式求最值1.重要不等式即时小结2.基本不等式已知

x,y

都是正数，求证：(1)如果积

xy等于定值P

，那么当

x=y时，和x+y有最小值2P.(2)如果和x+y等于定值S

，那么当x=y时，积xy有最大值

S2.141.已知x>0，

y>0，

xy=24,求4x+6y的最小值，并说明此时x，y的值．当x=6,y=4时,最小值为482.已知x<0，求的最大值.巩固练习3.求x＞

-1时，

的最小值.解:

∵

x＞-1,∴x+1>0.=(x

+1)+

-11x+1∴x

+

1x+1=1,≥2(x+1)∙-11x+1当且仅当取“=”号.∴当

x=0

时,取最小值是

1.x+1=

,即

x=0

时,1x+1强化重点突破难点提高练习2.已知x>0,y>0,且x+2y=1,求的最小值．3.已知x,y为正数,且2x+8y＝xy，则x+y

的最小值是___.184.已知x,y为正数,且x+y+3＝xy，则xy

的取值范围是___.课本P58T5xy≥9强化重点突破难点基本不等式2.两个不等式中“当且仅当a=b时，等号成立”这句话应从两方面来理解：(1)当a=b时，等号成立．其含义为：如果a=b，那么(2)仅当a=b时，等号成立．其含义为：如果，那么a=b．综合起来，“当且仅当a=b时，等号成立．”其含义是：a=b等价于对于重要不等式以及基本不等式，要注意1.两不等式成立的条件不一样深刻认识理解新知充要条件.问题解决应用新知证明：（1）因a,b均为正数，由基本不等式，可知也即当且仅当时，等号成立该不等式的几何解释如图1，设交⊙Ｏ上半圆于Ｄ，过Ｃ作交OD于E，在Rt△OCD中，由射影定理可知即由DC≥DE，得当且仅当时，等号成立问题解决应用新知（2）因为不等式两边同时加上由于两边都是正数，所以两边开方得：问题解决应用新知当且仅当时，等号成立该不等式的几何解释当且仅当时，等号成立如图2，设交⊙Ｏ上半圆于F，由FC≥OF，得问题解决应用新知其中当且仅当a＝b时取等号.重要结论问题解决应用新知算术平均数几何平均数平方平均数调和平均数两个正数的倒数的算术平均数的倒数.两个正数的平方的算术平均数的算术平方根.（1）（2）（3）练习：设a>0，b>0，给出下列不等式其中恒成立的

.课堂练习巩固新知多项选择题是新高考新增加的题型例2

已知a,b都是正实数,且ab=2,求证:(1+2a)(1+b)≥9.

求实际问题中最值的一般思路(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．(4)正确写出答案．方法技巧归纳总结概括新知基本不等式应用证明几何解释代数认识1.本节知识结构归纳总结概括新知2.用基本不等式能解决简单

的函数