权值线段树在数据结构中的推广

1/1权值线段树在数据结构中的推广第一部分权值线段树简介 2第二部分权值线段树的区间修改 4第三部分权值线段树的区间查询 7第四部分权值线段树的单点查询 10第五部分权值线段树在动态维护序列最大值中的应用 12第六部分权值线段树在动态维护序列中位数中的应用 15第七部分权值线段树在静态离线处理询问中的应用 17第八部分权值线段树在动态维护子序列和中的应用 19

第一部分权值线段树简介关键词关键要点【权值线段树简介】

1.定义：权值线段树是一种二叉树形数据结构，它将一个区间划分为较小的子区间，每个子区间都有一个与之关联的权值。

2.操作：权值线段树支持多种操作，包括：

-区间查询：查找指定区间内的权值之和或其他统计信息。

-区间更新：修改指定区间内所有权值。

-单点查询：查找指定点的权值。

-单点更新：修改指定点的权值。

3.优势：权值线段树具有时间复杂度为O(logn)的高效性能，使其非常适合处理大规模区间查询和更新。

【权值线段树的推广】

权值线段树简介

权值线段树是一种用于解决区间查询和区间修改问题的动态数据结构。它可以高效地维护一个数组中每个元素的权值，并支持以下操作：

1.区间查询（Query）：查询给定区间中所有元素权值的和或其他聚合函数。

2.区间更新（Update）：将给定区间中所有元素的权值更新为指定值。

3.单点更新（PointUpdate）：将指定位置的元素权值更新为指定值。

基本原理

权值线段树是一种二叉搜索树，其每个节点存储一个区间和该区间中所有元素的权值之和。树的叶子节点代表数组的单个元素，而内部节点代表其子节点区间合并后的区间。

建立权值线段树

从给定的数组中建立权值线段树的过程如下：

1.创建一个根节点，表示整个数组的区间。

2.对于数组中的每个元素：

-找到它在树中相应的叶子节点。

-将该节点的权值设置为元素的权值。

3.自底向上计算每个内部节点的权值，即其左右子节点权值之和。

区间查询

给定一个区间[l,r]，区间查询的步骤如下：

1.从根节点递归遍历树，直到找到包含[l,r]区间的节点。

2.返回该节点的权值。

区间更新

给定一个区间[l,r]和一个新的权值v，区间更新的步骤如下：

1.从根节点递归遍历树，直到找到包含[l,r]区间的节点。

2.将该节点的权值更新为v。

3.自底向上更新该节点祖先节点的权值，反映修改。

单点更新

给定一个索引i和一个新的权值v，单点更新的步骤如下：

1.找到包含索引i的叶子节点。

2.将该节点的权值更新为v。

3.自底向上更新该节点祖先节点的权值，反映修改。

复杂度分析

权值线段树的时间复杂度取决于树的高度h：

*建立树：O(nlogn)

*区间查询：O(logn)

*区间更新：O(logn)

*单点更新：O(logn)

其中n是数组的长度。

权值线段树通过利用区间合并的性质，高效地维护和处理区间查询和更新，使其成为处理大规模数据区间操作的强大工具。第二部分权值线段树的区间修改关键词关键要点区间更新

1.更新操作涉及到区间[l,r]内所有元素的值修改。

2.通过递归方式更新线段树中的区间，时间复杂度为O(logn)。

3.对于区间外元素，保持其原值不变。

区间求和

权值线段树的区间修改

一、区间修改操作

权值线段树的区间修改操作是指对线段树中指定区间的所有元素进行更新或修改。具体来说，区间修改操作接收三个参数：

*修改区间`[l,r]`

*修改值`val`

*线段树根节点`root`

二、区间修改算法

权值线段树的区间修改算法基于以下思想：

1.递归地将修改区间分解为左子树和右子树的区间。

2.更新左子树和右子树中受修改区间影响的部分。

3.合并左子树和右子树的修改结果，更新根节点。

三、算法步骤

区间修改算法的具体步骤如下：

1.递归终止条件：若`[l,r]`与当前线段树节点的区间`[L,R]`不相交，则返回。

2.左右子树递归：若`[l,r]`完全に包含于当前节点区间`[L,R]`，则直接更新当前节点值。否则：

-若`[l,r]`与左子树区间`[L,M]`相交，则递归修改左子树。

-若`[l,r]`与右子树区间`[M+1,R]`相交，则递归修改右子树。

3.更新节点值：根据修改类型更新当前节点值。

4.合并左右子树：将合并的左右子树节点值作为当前节点值。

四、代码示例

以下为Python中权值线段树区间修改算法的代码示例：

```python

defupdate_range(root,L,R,l,r,val):

#终止条件

ifL>rorR<l:

return

#完全包含

ifl<=LandR<=r:

#更新节点值

root.val=val

return

#左右子树递归

M=(L+R)//2

ifl<=M:

update_range(root.left,L,M,l,r,val)

ifr>M:

update_range(root.right,M+1,R,l,r,val)

#合并左右子树

root.val=root.left.val+root.right.val

```

五、时间复杂度

权值线段树的区间修改操作的时间复杂度为`O(logn)`，其中`n`为线段树中元素的数量。这是因为区间修改算法采用了递归分治的方法，每个节点最多被递归一次。

六、应用场景

权值线段树的区间修改操作广泛应用于各种数据结构和算法中，例如：

*维护区间和：区间修改操作可以用来高效更新某区间内的所有元素，从而实现维护区间和的数据结构。

*维护区间最大值/最小值：类似地，区间修改操作可以用来维护区间内元素的最大值或最小值。

*维护区间异或和：区间修改操作还可以用来维护区间内元素的异或和。

*维护区间乘积：区间修改操作可以用来维护区间内元素的乘积。第三部分权值线段树的区间查询关键词关键要点【权值线段树的区间查询】：

1.区间查询是指找出线段树中指定区间的权值和或权值最大值、最小值等统计信息。

2.权值线段树通过将权值离散化，并利用线段树维护每个离散权值的计数或其他相关信息，从而实现高效的区间查询。

3.区间查询的时间复杂度通常为O(logn)，其中n是权值线段树中元素的个数。

【权值线段树的区间修改】：

权值线段树的区间查询

权值线段树是一种数据结构，用于维护一维数组中每个元素的权重。它基于线段树，并允许对区间内元素的权重进行高效查询。

查询算法

给定一个权值线段树和一个区间查询范围[l,r]，区间查询算法的工作原理如下：

1.从线段树的根节点开始。

2.检查当前节点是否完全包含查询范围[l,r]：

-如果包含，则返回当前节点的权重和。

-如果不包含，请转到下一步。

3.将查询范围与当前节点的左右子节点进行比较：

-如果查询范围与左子节点相交，则递归查询左子节点。

-如果查询范围与右子节点相交，则递归查询右子节点。

4.将两个子节点的权重和相加，并返回结果。

实现细节

权值线段树的区间查询算法通常通过递归实现。递归函数接受以下参数：

-`root`:当前考虑的线段树节点。

-`l`:查询范围的左端点。

-`r`:查询范围的右端点。

复杂度分析

权值线段树的区间查询算法通常具有以下复杂度：

-空间复杂度：O(n)，其中n是数组中元素的数量。

-时间复杂度：O(logn)，其中n是数组中元素的数量。

应用

权值线段树的区间查询在许多问题中都有应用，包括：

-求和：查询区间内所有元素的权重和。

-最大值：查询区间内元素的最大权重。

-最小值：查询区间内元素的最小权重。

-区间不交集联集：查询两个区间中不交集的元素的权重和。

-区间交集联集：查询两个区间中交集的元素的权重和。

示例

考虑一个权值线段树，用于维护数组[1,2,3,4,5,6]中每个元素的权重。构建权值线段树后，如下所示：

```

(0,21)

/\

(0,3)(4,21)

/\/\

(0,1)(2,3)(4,6)(7,21)

\/\/

(0,0)(2,3)(4,5)(7,21)

\/

(2,3)(5,21)

/\

(5,5)(7,21)

```

要查询区间[2,4]中元素的权重和，可以使用以下算法：

1.从根节点开始，它包含整个数组。

2.[2,4]与左子节点[0,3]相交。

3.递归查询左子节点。

4.左子节点包含区间[2,3]，因此返回权重和5。

5.[2,4]与右子节点[4,21]相交。

6.递归查询右子节点。

7.右子节点包含区间[4]，因此返回权重4。

8.将左子节点和右子节点的权重和相加，得到结果9。

因此，区间[2,4]中元素的权重和为9。第四部分权值线段树的单点查询关键词关键要点【权值线段树的单点查询】

1.权值线段树是一种数据结构，它允许高效地维护一个数组中的元素并进行查询操作。

2.单点查询是一种查询操作，它返回数组中特定位置处的元素值。

3.权值线段树中的单点查询可以通过递归算法实现，该算法从根节点开始，根据要查询的位置值对子树进行划分，直到找到包含所需元素的叶子节点。

【权值线段树的查询时间复杂度】

权值线段树的单点查询

权值线段树是一种数据结构，它将数组元素的权值存储在线段树的节点中，从而支持高效的区间查询和更新操作。单点查询操作是指查找某个特定位置元素的权值。

算法描述

对于一个权值线段树，单点查询操作通过递归遍历线段树来完成，具体算法描述如下：

1.递归终止条件：如果当前线段树节点的覆盖区间与查询点重合，则直接返回该节点的权值。

2.递归遍历：如果查询点不在当前节点的覆盖区间内，则继续递归遍历其子节点。

-如果查询点在左子节点的覆盖区间内，则递归遍历左子节点。

-如果查询点在右子节点的覆盖区间内，则递归遍历右子节点。

3.返回权值：在子节点的递归遍历结束后，将查询点的权值返回给父节点。

复杂度分析

权值线段树的单点查询操作的时间复杂度为O(logn)，其中n是线段树存储的元素个数。这是因为递归遍历线段树最多需要经过logn层节点。

实现细节

在具体实现中，权值线段树通常使用一维数组来存储节点信息。每个节点存储以下信息：

-覆盖区间：[left,right]

-权值：val

为了方便递归遍历，可以使用以下辅助函数：

-getMid(left,right)：计算覆盖区间[left,right]的中点。

-setLeftChild(node)：设置节点的左子节点。

-setRightChild(node)：设置节点的右子节点。

单点查询代码示例

```

ifleft==right:

returnnode.val

mid=getMid(left,right)

ifq<=mid:

returnquery(node.left,left,mid,q)

else:

returnquery(node.right,mid+1,right,q)

}

```

应用场景

权值线段树的单点查询操作在以下场景中具有广泛的应用：

-查找数组元素值：可以通过单点查询快速找到给定位置数组元素的权值。

-判定元素存在性：通过单点查询判断给定位置数组元素是否存在，权值为0表示不存在，非0表示存在。

-统计子区间的元素个数：通过将权值初始化为1，并使用单点查询对目标子区间进行求和，可以统计子区间的元素个数。第五部分权值线段树在动态维护序列最大值中的应用关键词关键要点主题名称：权值线段树的建立

1.采用分治的思想，将一个区间划分为左右两个子区间。

2.每个区间维护一个最大值，并将其存储在区间内的一个节点上。

3.对于每个区间，建立一个权值线段树，该线段树存储区间中元素的值。

主题名称：动态维护序列最大值

权值线段树在动态维护序列最大值中的应用

简介

权值线段树是一种数据结构，它扩展了传统线段树，为每个线段节点附加上一个权值。这种附加的权值使线段树能够高效地处理与序列中元素值相关的查询和更新操作。

动态维护序列最大值

权值线段树在动态维护序列最大值方面有着广泛的应用。通过将序列元素的值作为线段树节点的权值，我们可以高效地回答以下查询：

*给定一个区间，找出区间内元素的最大值。

*给定一个位置，找出该位置元素的值。

*给定一个位置，将元素值更新为新值。

构造权值线段树

权值线段树的构造过程如下：

1.将输入序列元素的值赋给线段树叶节点的权值。

2.对于每个内部节点，其权值等于其两个子节点权值的最大值。

查询最大值

为了查找给定区间[l,r]内的最大值，我们执行以下步骤：

1.找到包含区间[l,r]的最小子线段`seg`。

2.返回`seg`的权值，即区间[l,r]内元素的最大值。

更新元素值

为了更新位置`idx`处的元素值，我们执行以下步骤：

1.找到包含位置`idx`的最小子线段`seg`。

2.将`seg`的权值更新为新值。

3.沿线段树向上回溯，更新所有受影响节点的权值（即更新`seg`的祖先节点）。

复杂度分析

*构造：O(nlogn)，其中n为序列长度。

*查询最大值：O(logn)。

*更新元素值：O(logn)。

优势

权值线段树在动态维护序列最大值方面的优势包括：

*高效的查询和更新操作：O(logn)的时间复杂度使权值线段树成为解决动态问题的高效工具。

*存储节省：权值线段树只存储元素值一次，而不需要额外存储最大值信息，从而节省空间。

*易于实现：权值线段树的实现相对简单，便于理解和使用。

应用示例

权值线段树在动态维护序列最大值的应用包括：

*滑动窗口最大值：维护一个固定大小的窗口，并高效地查找窗口中元素的最大值。

*动态规划：解决需要动态跟踪最大值的动态规划问题。

*在线算法：处理数据流时，需要高效地维护当前最大值。

总结

权值线段树是一种强大的数据结构，它通过附加权值扩展了传统线段树，使其能够高效地动态维护序列最大值。其O(logn)的查询和更新操作使其成为解决动态问题和在线算法的理想选择。第六部分权值线段树在动态维护序列中位数中的应用关键词关键要点权值线段树在动态维护序列中位数中的应用

主题名称：数据结构及权值线段树

1.数据结构：一种用于组织和存储数据，并提供高效访问和修改操作的数据存储和组织结构。

2.权值线段树：一种基于区间树构建的一种数据结构，它为每个区间关联一个权值，可以支持区间查询、更新和求和等操作。

主题名称：序列中位数

权值线段树在动态维护序列中位数中的应用

引言

中位数是序列中位于最中间的元素，在统计学和数据科学中具有重要意义。动态维护序列中位数涉及对序列进行一系列插入和删除操作，并实时计算中位数。权值线段树是一种用于有效解决此类问题的强大数据结构。

权值线段树基本原理

权值线段树是一种线段树变体，能够存储元素和与其关联的权重。每个线段树节点代表序列中一个区间。节点的权重等于区间内元素权重的和。通过合并子节点的权重，可以高效计算区间的总权重。

动态维护序列中位数

为了动态维护序列中位数，我们需要构建一棵权值线段树。将序列元素作为权重插入到线段树中。中位数可以表示为权重和为序列元素总数一半的区间的中位数。

插入元素

插入元素时，更新相应区间权重并沿路径向上更新父节点权重。如果插入后区间权重为奇数，则中位数保持不变。如果为偶数，则中位数右移一位。

删除元素

删除元素时，类似地更新区间权重并向上更新父节点权重。如果删除后区间权重为奇数，则中位数保持不变。如果为偶数，则中位数左移一位。

计算中位数

计算中位数时，从根节点开始沿路径向下递归。在每个节点，根据总权重和所需权重（序列元素总数的一半）确定中位数在哪一边。沿着该路径继续递归，直到到达叶节点。叶节点的值即为中位数。

复杂度分析

权值线段树动态维护序列中位数的复杂度分析如下：

*插入和删除元素：O(logn)，其中n是序列长度。

*计算中位数：O(logn)。

应用示例

权值线段树在动态维护序列中位数中的应用十分广泛，例如：

*实时计算在线流媒体中的视频中位缓冲区大小。

*维护互联网流量中的数据包中位延迟。

*分析社交媒体平台上用户评论的中位情绪。

优点

权值线段树用于动态维护序列中位数的优点包括：

*高效性：O(logn)的复杂度，即使在进行多次插入和删除操作时也能保持高效。

*适应性：可以处理序列中的重复元素。

*通用性：可以扩展到解决其他问题，例如动态维护最大值、最小值和求和。

总结

权值线段树是一种强大而高效的数据结构，非常适合动态维护序列中位数。其O(logn)的复杂度和适应性使其成为各种应用的理想选择，包括流媒体、网络分析和文本挖掘等领域。第七部分权值线段树在静态离线处理询问中的应用权值线段树在静态离线处理询问中的应用

简介

权值线段树是一种数据结构，它通过在区间中添加权值来扩展经典线段树。它用于高效处理静态离线数据，即数据在查询之前是已知的并且不会再发生变化。

构建权值线段树

对于给定的区间[L,R]和权值数组W，权值线段树可以递归地构建如下：

*如果L=R，则创建一个叶节点并将其权值设置为W[L]。

*否则，

*构建左子树[L,(L+R)/2]

*构建右子树[(L+R)/2+1,R]

*将当前节点的权值设置为左子树和右子树权值的和。

处理离线询问

一旦构建了权值线段树，就可以离线处理询问。每个询问由一个区间[ql,qr]组成。

*对于每个询问[ql,qr]：

*递归查询包含该区间的线段树节点，并获取[ql,qr]中的权值和。

*将结果存储在询问的相应输出数组中。

线段树节点的查询操作

*区间查询（sum）：返回指定区间[ql,qr]中的权值和。

*区间更新（update）：将指定区间[ql,qr]的权值更新为给定的值。

查询时间复杂度

在权值线段树中处理离线询问的时间复杂度为O(N+QlogN)，其中：

*N是数组中的元素数。

*Q是询问的数目。

应用

权值线段树在处理静态离线询问方面有广泛的应用，包括：

*区间求和：计算指定区间的元素和。

*区间最大值/最小值：查找指定区间中的最大值或最小值。

*区间众数：找到指定区间中出现的次数最多的元素。

*区间逆序对数：计算指定区间中元素逆序对的数目。

示例：区间求和

给定一个长度为N的数组A，权值线段树可以用来高效地计算任意指定区间的元素和。

构建权值线段树：

*对于每个元素A[i]，创建一个叶节点，其权值设置为A[i]。

*通过递归合并子树，构建权值线段树。

处理区间求和询问：

*对于每个区间询问[ql,qr]：

*递归查询包含[ql,qr]区间的线段树节点，返回权值和。

*将结果存储在询问的输出数组中。

时间复杂度：

*构建权值线段树：O(N)

*处理区间求和询问：O(QlogN)第八部分权值线段树在动态维护子序列和中的应用关键词关键要点动态和

1.介绍动态和的概念，即在序列中进行插入、删除和查询操作。

2.权值线段树可以有效维护序列中的和，通过将序列划分为区间，并分别计算每个区间的和。

3.利用延迟更新技术，可以高效地处理区间和的动态更新操作，避免不必要的重复计算。

子序列最大和

1.定义子序列最大和问题，即在序列中找到和最大的非空子序列。

2.利用权值线段树可以高效地维护子序列最大和，通过计算每个区间的最大和和以该区间为起点的最长前缀最大和。

3.结合区间合并操作，可以快速计算子序列最大和，避免遍历整个序列。

子序列最长上升子序列

1.定义子序列最长上升子序列问题，即在序列中找到最长的严格单调递增的子序列。

2.利用权值线段树可以维护每个区间的最长上升子序列长度和最长上升子序列的第一个元素。

3.结合区间合并操作，可以快速计算子序列最长上升子序列长度，避免遍历整个序列。

区间DP

1.介绍区间DP的技术，即通过将问题划分为重叠子问题并利用DP进行求解的一种方法。

2.权值线段树可以高效地维护区间DP的中间状态，通过计算每个区间的DP值和区间合并操作。

3.利用权值线段树，可以避免重复计算，大幅提高区间DP的求解效率。

数论问题

1.阐述权值线段树在解决数论问题中的应用，例如莫比乌斯反演和容斥原理。

2.通过维护区间相关的数论函数，可以高效地计算特定区间的答案。

3.利用权值线段树的区间合并操作，可以快速处理数论问题的动态更新。

图论问题

1.介绍权值线段树在图论问题中的应用，例如最短路和最大匹配。

2.通过维护图中边或点的权值，可以高效地查询和更新图的性质。

3.利用权值线段树的区间合并操作，可以快速处理图的动态更新，避免重新计算整个图。权值线段树在动态维护子序列和中的应用

权值线段树是一种数据结构，它以线段树为基础，支持对每个区间维护一个权重。在动态维护子序列和的问题中，权值线段树可以用来高效地求解。

思路

求解动态维护子序列和问题，通常需要维护每个子序列的和。权值线段树将区间划分为更小的子区间，并维护每个子区间的权重。通过递归地将操作应用于各个子区间，可以高效地更新和查询子序列和。

具体步骤

1.初始化权值线段树：将给定序列的每个元素作为叶节点，从底向上构建权值线段树。每个节点储存的权重为其子区间的元素和。

2.更新操作：当需要更新序列中的某个元素时，只需更新包含该元素的叶节点。然后，沿该节点向上递归，更新其所有祖先节点的权重。

3.查询操作：要查询一个子序列和，只需找到包含该子序列的区间，然后查询该区间的权重即可。

时间复杂度分析

权值线段树中更新和查询操作的时间复杂度为O(logn)，其中n为序列的长度。这是因为每个操作只涉及到常数个节点的更新或查询。

优势

权值线段树在动态维护子序列和问题中具有以下优势：

*高效：更新和查询操作的时间复杂度仅为O(logn)，这对于大规模数据集来说非常高效。

*动态：权值线段树可以在O(logn)的时间内动态地处理插入、删除和更新操作。

*空间优化：权值线段树仅需要O(n)的额外空间来存储权重。

扩展应用

除了动态维护子序列和外，权值线段树还可用于解决其他类似问题，例如：

*求区间最大值