新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题16 等差数列及其前n项和(原卷版)

专题16等差数列及其前n项和【考纲要求】1、理解等差数列的定义，会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.2、掌握等差中项的概念，深化认识并能运用，掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.3、经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.4、熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．【思维导图】一、等差数列的概念【考点总结】1、数列前n项和的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．等差数列{an}的概念可用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*)．[化解疑难]1．“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．2．“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．3．定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.2、等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝eq\f(a＋b,2).[化解疑难]1．A是a与b的等差中项，则A＝eq\f(a＋b,2)或2A＝a＋b，即两个数的等差中项有且只有一个．2．当2A＝a＋b时，A是a与b的等差中项.3、等差数列的通项公式已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d递推公式通项公式an－an－1＝d(n≥2)an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)[化解疑难]由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．二、等差数列的前n项和【考点总结】1、数列前n项和的概念把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做Sn．则a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1(n≥2)．思考由Sn与Sn－1的表达式可以得出an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Sn－Sn－1（n≥2），,S1（n＝1）.))2、等差数列前n项和公式1．公式1：若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)．2．公式2：若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d．3．推导方法：倒序相加法过程：Sn＝a1＋a2＋…＋an，Sn＝an＋an－1＋…＋a1，∵a1＋an＝a2＋an－1＝…＝an＋a1，∴2Sn＝n(a1＋an)，∴Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2).4．从函数角度认识等差数列的前n项和公式(1)公式的变形Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n.(2)从函数角度认识公式①当d≠0时，Sn是项数n的二次函数，且不含常数项；②当d＝0时，Sn＝na1，不是项数n的二次函数．3、等差数列前n项和的性质1．若数列{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq\f(d,2).2．若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d．3．设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).4．若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an).5．若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(n,n＋1).【题型汇编】题型一：等差数列及其通项公式题型二：等差数列的性质题型三：等差数列的前n项和题型四：等差数列的前n项和的函数特性【题型讲解】题型一：等差数列及其通项公式一、单选题1．（2022·江西九江·三模（文））等差数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．16 B．18 C．20 D．222．（2022·四川成都·三模（文））在等差数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的公差为（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．1 D．23．（2022·山西大附中三模（理））已知等差数列SKIPIF1<0的各项均为正数，其前n项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．28 B．30 C．32 D．354．（2022·陕西汉中·二模（理））已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则等差数列SKIPIF1<0的公差是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·广西柳州·三模（文））记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0取最小值时，SKIPIF1<0的值为（

）A．8 B．7 C．6 D．97．（2022·山西太原·一模（文））设SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．26 B．27 C．28 D．298．（2022·四川雅安·二模）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取最小值时，SKIPIF1<0的值为（

）A．19 B．20 C．21 D．20或219．（2022·四川成都·二模（理））已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2022·江苏·金陵中学二模）设SKIPIF1<0是公差SKIPIF1<0的等差数列，如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型二：等差数列的性质一、单选题1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．-110 B．-115 C．110 D．1152．（2022·北京东城·三模）在公差不为零的等差数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·安徽淮南·二模（理））已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．8 B．12 C．14 D．204．（2022·安徽滁州·二模（文））已知SKIPIF1<0是公差不为零的等差数列，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．7 B．8 C．9 D．105．（2022·四川·成都七中二模（文））已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．6 B．7 C．8 D．96．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2020 B．1021 C．1010 D．10027．（2022·江西·二模（文））己知等差数列SKIPIF1<0的前n项和是SKIPIF1<0，若公差SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·河南许昌·三模（文））设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2022·山西太原·二模（理））等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0则公差SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．－1 D．－210．（2022·安徽省含山中学三模（文））已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．60 B．50 C．30 D．20二、多选题1．（2022·重庆·二模）设等差数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列结论中正确的有（

）A．SKIPIF1<0 B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值C．SKIPIF1<0 D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为292．（2022·江苏南京·二模）已知SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0中的最大项为SKIPIF1<0 B．数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0题型三：等差数列的前n项和一、单选题1．（2022·辽宁沈阳·一模）已知等差数列SKIPIF1<0的公差为2，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，则SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·河南·一模（文））已知数列SKIPIF1<0为等差数列，首项SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，前n项和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．8 B．9 C．10 D．113．（2022·宁夏中卫·三模（理））已知数列SKIPIF1<0满足点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·湖南省临澧县第一中学二模）设SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．-6 B．-4 C．-2 D．25．（2022·江西师大附中三模（理））等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，满足：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．72 B．75 C．60 D．1006．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））已知在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．30 B．39 C．42 D．787．（2022·安徽合肥·二模（文））设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．10 B．12 C．13 D．148．（2022·重庆·二模）等差数列SKIPIF1<0的公差为2，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．3 B．6 C．9 D．129．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前n项和．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的公差为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2022·浙江杭州·二模）设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．12 B．15 C．18 D．21二、多选题1．（2022·河北沧州·二模）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·广东惠州·二模）已知SKIPIF1<0为等差数列，其前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．公差SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．当且仅当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0题型四：等差数列的前n项和的函数特性一、单选题1．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0取最小值时，SKIPIF1<0的值为（

）A．8 B．7 C．6 D．92．（2022·四川雅安·二模）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取最小值时，SKIPIF1<0的值为（

）A．19 B．20 C．21 D．20或213．（2022·重庆·二模）等差数列SKIPIF1<0的公差为2，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．3 B．6 C．9 D．124．（2022·河南许昌·三模（文））已知SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前n项和，若对任意的SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0．成立，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<05．（2022·北京·潞河中学三模）已知SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0项和.则“SKIPIF1<0”是“对于任意SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”