新高考数学一轮复习精讲精练7.4 几何法求空间角（基础版）（原卷版）

7.4几何法求空间角（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一线线角【例1】（2022·全国·模拟预测）已知正方体中SKIPIF1<0，E，G分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0，CE所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全国·模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径为SKIPIF1<0，母线长为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PB的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·黑龙江）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考点二线面角【例2-1】（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知正四棱锥SKIPIF1<0底面边长为2，侧棱长为4，SKIPIF1<0为侧棱SKIPIF1<0中点，则直线SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成角的正弦值为（

）A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<0【例2-2】（2022·全国·模拟预测（理））如图，在三棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（文））如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BCD＝90°，PA＝PD＝DC＝CB＝SKIPIF1<0AB，E是BP的中点．(1)求证：EC∥平面APD；(2)求BP与平面ABCD所成角的正切值；2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，M为PC的中点.(1)求证：SKIPIF1<0平面PAD；(2)设点N在平面PAD内，且SKIPIF1<0平面PBD，求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值.3．（2022·浙江省江山中学模拟预测）如图，已知三棱台SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内的射影D在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点．(1)证明：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的大小．考点三二面角【例3-1】（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例3-2】．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图，SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，E，F分别是SKIPIF1<0的中点，G是SKIPIF1<0的重心，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使点A到达点P的位置，点P在平面SKIPIF1<0的射影为点G．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值．【一隅三反】1．（2022·广东广州·三模）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的大小.2．（2022·湖南）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的平面角的正弦值．3．（2022·江苏·如皋市第一中学）已知矩形SKIPIF1<0，E，F分别是线段SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0．(1)若棱SKIPIF1<0上一点G满足SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正切值．7.4几何法求空间角（精练）（基础版）题组一题组一线线角1．（2022·全国·模拟预测）如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的大小为（

）A．30° B．90° C．45° D．60°2．（2023·全国·高三专题练习）在长方体SKIPIF1<0中，点E为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023·全国·高三专题练习（文））如图，在四面体ABCD中，SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0，P为AC的中点，则直线BP与AD所成的角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·河南省）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·青海西宁·二模（理））如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为（

）SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题组二题组二线面角1．（2022·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M是SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值．2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））如图，菱形ABCD中SKIPIF1<0，把△BDC沿BD折起，使得点C至P处.(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；(2)若SKIPIF1<0与平面ABD所成角的余弦值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求三棱锥P—ABD的体积.3．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期末）四棱锥SKIPIF1<0，底面ABCD是平行四边形，SKIPIF1<0，且平面SCDSKIPIF1<0平面ABCD，点E在棱SC上，直线SKIPIF1<0平面BDE.(1)求证：E为棱SC的中点；(2)设二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值.4．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，三角形SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若二面角SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．5．（2022·河北保定）如图，已知正方体SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正切值.6．（2022·浙江）如图，在三棱锥A­BCD中，且AD⊥DC，AC⊥CB，面ABD⊥面BCD，AD＝CD＝BC，E为AC的中点，H为BD的中点.(1)求证：AD⊥BC；(2)在直线CH上确定一点F，使得AF∥面BDE，求AF与面BCD所成角的度数.7．（2022·浙江）如图在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长SKIPIF1<0的正方形，侧面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的大小.8．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心）如图，三棱柱SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.题组三题组三二面角1．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求：二面角C­-PB­-A的正切值．2（2022·北京·景山学校模拟预测）如图，正三棱柱SKIPIF1<0中，E，F分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，M是AB的中点．(1)证明：SKIPIF1<0平面BEF；(2)若SKIPIF1<0，求平面BEF与平面ABC夹角的大小．3．（2022·河北邯郸）已知四棱锥SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为45°，求二面角SKIPIF1<0的正切值.4．（2022·湖南）如图，在