新高考数学一轮复习精讲精练7.2 空间几何中的垂直（基础版）（原卷版）

7.2空间几何中的垂直（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一线线垂直【例1】（2022·河南）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD为平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面ABCD．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，E为AD的中点，求三棱锥SKIPIF1<0的体积．【一隅三反】1．（2022·北京）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，指出点SKIPIF1<0的位置；若不存在，请说明理由.2．（2022·吉林·东北师大附中）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，平面SKIPIF1<0平面ABCD.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求三棱锥SKIPIF1<0的体积.3．（2022·四川成都）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0内的射影分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求证：SKIPIF1<0考点二线面垂直【例2】（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为梯形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等边三角形SKIPIF1<0所在的平面垂直于底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【一隅三反】1（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；2．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0过SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0的垂线交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，如图1，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0的位置.如图2.证明：直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0考点三面面垂直【例】（2022·全国·高三专题练习）在如图1所示的等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，将它沿着两条高SKIPIF1<0折叠成如图2所示的四棱锥SKIPIF1<0（SKIPIF1<0重合），点SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0的中点.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面ABC所成角的正切值为SKIPIF1<0．(1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证：SKIPIF1<0平面ABC；(2)求证：平面BCD⊥平面ACD．2．（2022·四川成都）如图，三棱锥SKIPIF1<0中，等边三角形SKIPIF1<0的重心为O，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点.(1)求证：SKIPIF1<0平面DEF；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面PBC.3．（2022·河南·信阳高中）如图所示，直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若三棱柱SKIPIF1<0上下底面为正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．4．（2022·北京大兴）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的大小.7.2空间几何中的垂直（精练）（基础版）题组一题组一线线垂直1．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图，SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，E，F分别是SKIPIF1<0的中点，G是SKIPIF1<0的重心，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使点A到达点P的位置，点P在平面SKIPIF1<0的射影为点G．证明：SKIPIF1<02．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为等边三角形，且平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<03．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0．证明：SKIPIF1<04．（2022·上海松江·二模）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上．(1)求四棱锥SKIPIF1<0的全面积；(2)求证：SKIPIF1<0．5．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在斜三棱柱SKIPIF1<0中，底面是等腰三角形，SKIPIF1<0，侧面SKIPIF1<0底面ABC．(1)若D是BC的中点，求证：SKIPIF1<0；(2)过侧面SKIPIF1<0的对角线SKIPIF1<0的平面交侧棱于M，若SKIPIF1<0，求证：截面SKIPIF1<0侧面SKIPIF1<0．6．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为矩形，点E在AD上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．7．（2022·河南安阳）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，底面ABC是直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D为AB的中点．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求点A到平面PDC的距离．8．（2022·四川成都）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0内的射影分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．题组二题组二线面垂直1．（2022·广东珠海）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若侧面SKIPIF1<0为菱形，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.2．（2022·山东省莱西市第一中学）如图，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都垂直于平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．3．（2022·山东菏泽）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD是梯形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若F为PA的中点，求证SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面PCD(2)求证SKIPIF1<0平面PCD.4．（2022·北京平谷）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点.设平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0交于直线SKIPIF1<0(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0.5．（2022·北京通州）如图，在三棱维SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.6．（2022·广西钦州）如图，在三棱锥V—ABC中，M，N分别为的棱VA，VB的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，△ABC和△ACV都是等腰直角三角形，平面VAC⊥平面ABC．(1)求证：AB//平面CMN；(2)求证：AB⊥平面VBC．7．（2022·广东江门）如图，四棱锥SKIPIF1<0的底面是矩形，E为侧棱SKIPIF1<0的中点，侧面SKIPIF1<0是正三角形，且侧面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0为何值时，使得SKIPIF1<0？8．（2022·湖北·鄂州市教学研究室）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，SKIPIF1<0.证明：(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面PDC；(2)PB⊥平面DEF.9．（2022·河南·新蔡县第一高级中学）如图，矩形SKIPIF1<0所在平面与半圆弧SKIPIF1<0所在平面垂直，M是SKIPIF1<0上异于C，D的点.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在线段SKIPIF1<0上是否存在点P，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？说明理由.10．（2022·北京丰台）如图，在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并将直角梯形SKIPIF1<0绕AB边旋转至ABEF．(1)求证：直线SKIPIF1<0平面ADF；(2)求证：直线SKIPIF1<0平面ADF；(3)当平面SKIPIF1<0平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．条件①：SKIPIF1<0；条件②：SKIPIF1<0；条件③：SKIPIF1<0．题组三题组三面面垂直1．（2022·四川省内江市第六中学）如图，底面SKIPIF1<0是边长为2的菱形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0.(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求几何体SKIPIF1<0的体积2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）在直三棱柱SKIPIF1<0中，已知侧面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，D，E，F分别为AC，BC，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，证明：平面SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0；3（2022·全国·高三专题练习（文））如图，四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E为AC的中点．(1)证明：平面SKIPIF1<0平面ACD；(2)设SKIPIF1<0，点F在BD上，当SKIPIF1<0的面积最小时，求三