新高考数学一轮复习精讲精练6.7 均值与方差在生活中的运用（基础版）（解析版）

6.7均值与方差在生活中的运用（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一均值与方差的性质【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下：236PSKIPIF1<0SKIPIF1<0a则SKIPIF1<0的值为（

）A．2 B．6 C．8 D．18【例1-2】（2022·广西桂林）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是X0a1PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则当a在（0，1）内增大时，（

）E（X）不变 B．E（X）减小C．V（X）先增大后减小 D．V（X）先减小后增大【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量SKIPIF1<0的分布列为下表所示，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<02．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下所示，则SKIPIF1<0（

）．X012PSKIPIF1<0aSKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023·全国·高三专题练习（理））设SKIPIF1<0，随机变量SKIPIF1<0的分布列是SKIPIF1<00p1PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则当p在区间SKIPIF1<0内增大时，（

）A．SKIPIF1<0减小 B．SKIPIF1<0增大C．SKIPIF1<0先减小后增大 D．SKIPIF1<0先增大后减小考点二利用均值最决策【例2】（2022·江西九江）电子竞技（Electronic

Sports）是电子游戏比赛达到“竞技”层面的体育项目，其利用电子设备作为运动器械进行的、人与人之间的智力和体力结合的比拼.电子竞技可以锻炼和提高参与者的思维能力、反应能力、四肢协调能力和意志力，培养团队精神.第19届亚运会将于2022年9月10日至25日在浙江杭州举行，本届亚运会增设电子竞技竞赛项目，比赛采取“双败淘汰制”.以一个4支战队参加的“双败淘汰制”为例，规则如下：首轮比赛：抽签决定4支战队两两对阵，共两场比赛.根据比赛结果（每场比赛只有胜、败两种结果），两支获胜战队进入胜者组，另外两支战队进入败者组；第二轮比赛：败者组两支战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得殿军）；胜者组两支战队进行比赛，获胜战队进入总决赛，失败战队进入败者组；第三轮比赛：上一轮比赛中败者组的获胜战队与胜者组的失败战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得季军）；第四轮比赛：剩下的两支战队进行总决赛，获胜战队获得冠军，失败战队获得亚军.现有包括SKIPIF1<0战队在内的4支战队参加比赛，采用“双败淘汰制”.已知SKIPIF1<0战队每场比赛获胜的概率为SKIPIF1<0，且各场比赛互不影响.(1)估计SKIPIF1<0战队获得冠军的概率；(2)某公司是SKIPIF1<0战队的赞助商之一，赛前提出了两种奖励方案：方案1：获得冠军则奖励24万元，获得亚军或季军则奖励15万元，获得殿军则不奖励；方案2：获得冠军则奖励（其中以全胜的战绩获得冠军奖励40万元，否则奖励30万元），其他情况不奖励.请以获奖金额的期望为依据，选择奖励方案，并说明理由.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习（理））产品开发是企业改进老产品､开发新产品，使其具有新的特征或用途，以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对5个样品进行性能测试，现有甲､乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为SKIPIF1<0，选择乙方案测试合格的概率为SKIPIF1<0，且每次测试的结果互不影响.(1)若3个样品选择甲方案，2个样品选择乙方案.（i）求5个样品全部测试合格的概率；（ii）求4个样品测试合格的概率.(2)若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数.2．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼主题等．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在5分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．(1)求该团队能进入下一关的概率；(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目SKIPIF1<0的数学期望达到最小？并说明理由．考点三均值与其他知识的结合【例3】（2022·内蒙古）某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两部分，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果一次考试不合格有1次补考机会.学校为了掌握该校学生对该学科学习情况，进行了一次调查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分（百分制），制成如下表格：分段[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人数510a30a+510(1)①求表中a的值，并估算该门学科这次考试的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）；②在[40，50)，[50，60)，[60，70)这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自[60，70)的概率；(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为SKIPIF1<0，每次考实践操作合格的概率均为SKIPIF1<0，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低于2.5次，求SKIPIF1<0的取值范围.【一隅三反】1．（2022·湖北·模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，某冰雪运动品商店对消费达一定金额的顾客开展了“冬奥”知识有奖竞答活动，试题由若干选择题和填空题两种题型构成，共需要回答三个问题，对于每一个问题，答错得0分；答对填空题得30分答对选择题得20分现设置了两种活动方案供选择，方案一：只回答填空题；方案二：第一题是填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次是填空题，若上题回答错误，则下一次是选择题．某顾客获得了答题资格，已知其答对填空题的概率均为SKIPIF1<0，答对选择题的概率均为P，且能正确回答问题的概率与回答次序无关(1)若该顾客采用方案一答题，求其得分不低于60分的概率；(2)以得分的数学期望作为判断依据，该顾客选择何种方案更加有利？并说明理由．2．（2022·云南师大附中）某校组织“生物多样性”知识竞赛，甲、乙两名同学参加比赛，每一轮比赛，甲、乙各回答一道题，已知每道题得分为1~100的任意整数，60分及以上判定为合格.规定：在一轮比赛中，若两名参赛选手，一名合格一名不合格，记合格者为SKIPIF1<0，不合格者为SKIPIF1<0；若两名参赛选手，同时合格或同时不合格，记两名选手都是SKIPIF1<0.在比赛前，甲、乙分别进行模拟练习.已知某次练习中，甲、乙分别回答了15道题，答题分数的茎叶图如图所示，甲、乙回答每道题得分不相互影响，并以该次练习甲、乙每道题的合格概率估计比赛时每道题的合格概率.(1)分别求甲、乙两名同学比赛时每道题合格的概率；(2)设2轮比赛中甲获得SKIPIF1<0的个数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和数学期望；(3)若甲、乙两名同学共进行了10轮比赛，甲同学获得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）个SKIPIF1<0的概率为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0最大时，求SKIPIF1<0.3．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）某工厂对一批零件进行质量检测，具体检测方案是：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到2件不合格零件时，停止检测，此批零件未通过，否则检测通过.设每件零件为合格零件的概率为p，且每件零件是否合格是相互独立的.(1)已知SKIPIF1<0，若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为每件150元.现对不合格零件进行修复，修复后按正常零件进行销售，修复后不合格零件以每件10元按废品处理.若每件零件修复的费用为每件20元，每件不合格的零件修复为合格零件的概率为SKIPIF1<0工厂希望每件零件可获利至少60元.求每件零件为合格零件的概率p的最小值？6.7均值与方差在生活中的运用（精练）（基础版）题组一题组一均值与方差的性质1．（2020·浙江·磐安县第二中学）已知随机变量SKIPIF1<0的分布列如下表所示：SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0>SKIPIF1<0，SKIPIF1<0>SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0<SKIPIF1<0，SKIPIF1<0>SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0>SKIPIF1<0，SKIPIF1<0<SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0<SKIPIF1<0，SKIPIF1<0<SKIPIF1<02．（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0，随机变量SKIPIF1<0的分布列为X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0b则当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内增大时（

）A．SKIPIF1<0增大 B．SKIPIF1<0减小 C．SKIPIF1<0先减小后增大 D．SKIPIF1<0先增大后减小3．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）设SKIPIF1<0，随机变量X的分布列是（

）XSKIPIF1<001PSKIPIF1<0bSKIPIF1<0则当a在SKIPIF1<0内增大时，（

）A．SKIPIF1<0增大 B．SKIPIF1<0减小 C．SKIPIF1<0先增大再减小 D．SKIPIF1<0先减小再增大4．（2022·全国·高三专题练习）从装有SKIPIF1<0个白球和SKIPIF1<0个黑球的袋中无放回任取SKIPIF1<0个球，每个球取到的概率相同，规定：（1）取出白球得SKIPIF1<0分，取出黑球得SKIPIF1<0分，取出SKIPIF1<0个球所得分数和记为随机变量SKIPIF1<0（2）取出白球得SKIPIF1<0分，取出黑球得SKIPIF1<0分，取出SKIPIF1<0个球所得分数和记为随机变量SKIPIF1<0则（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<05．（2022·浙江·三模）随机变量SKIPIF1<0的分布列如下所示，其中SKIPIF1<0，则下列说法中正确的是（

）SKIPIF1<0SKIPIF1<001PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·浙江绍兴·模拟预测）设SKIPIF1<0，随机变量SKIPIF1<0的分布列分别如下，则(

)SKIPIF1<0012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<07．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为SKIPIF1<0，a，2，根据以往销售经验可得SKIPIF1<0，随机变量X的分布列为X0a2PSKIPIF1<0bSKIPIF1<0其中结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0最小时，SKIPIF1<0题组二题组二利用均值做决策1．（2023·全国·高三专题练习）某学校组织“纪念共青团成立100周年”知识竞赛，有A，B，C三类问题，每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽取一个问题回答，只有答对当前的问题才有资格从下一类问题中再随机抽取一个问题回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分，C类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小康同学能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，能正确回答C类问题的概率为0.4，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小康按照SKIPIF1<0的顺序答题，记X为小康的累计得分，求X的分布列；(2)相比较小康自选的SKIPIF1<0的答题顺序，小康的朋友小乐认为按照SKIPIF1<0的顺序答题累计得分期望更大，小乐的判断正确吗？并说明理由．2．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是SKIPIF1<0，且每题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列；(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？3．（2022·全国·模拟预测（理））污水处理厂同时对两套污水处理系统进行改造升级，现进入到系统调试阶段，受各种因素影响，经测算，污水处理量变化情况的分布如下．系统甲：日污水处理量增加SKIPIF1<0保持不变降低SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0系统乙：日污水处理量增加SKIPIF1<0保持不变降低SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)若至少有一套系统的日污水处理量增加的概率大于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．(2)已知改造前甲、乙两套系统的日污水处理量分别为SKIPIF1<0万吨和SKIPIF1<0万吨．若SKIPIF1<0，你认为改造后哪套系统的日污水处理量的期望更大？请说明理由．4．（2023·全国·高三专题练习）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到SKIPIF1<0以上（含SKIPIF1<0）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）5．（2022·内蒙古·海拉尔）甲，乙两队进行篮球比赛，已知甲队每局赢的概率为SKIPIF1<0，乙队每局赢的概率为SKIPIF1<0．每局比赛结果相互独立．有以下两种方案供甲队选择：方案一：共比赛三局，甲队至少赢两局算甲队最终获胜；方案二：共比赛两局，甲队至少赢一局算甲队最终获胜．(1)当SKIPIF1<0时，若甲队选择方案一，求甲队最终获胜的概率；(2)设方案一、方案二甲队最终获胜的概率分别为SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0的大小关系；(3)根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．题组三题组三均值与其他知识综合1．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）2022年冬奥会刚刚结束，比赛涉及到的各项运动让人们津津乐道．高山滑雪（Alpine

Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具，从山上向山下，沿着旗门设定的赛道滑下的雪上竞速运动项目，冬季奥运会高山滑雪设男子项目、女子项目、混合项目．其中，男子项目设滑降、回转、大回转、超级大回转、全能5个小项，其中回转和大回转属技术项目，现有90名运动员参加该项目的比赛，组委会根据报名人数制定如下比赛规则：根据第一轮比赛的成绩，排名在前30位的运动员进入胜者组，直接进入第二轮比赛，排名在后60位的运动员进入败者组进行一场加赛，加赛排名在前10位的运动员从败者组复活，进入第二轮比赛，现已知每位参赛运动员水平相当．(1)从所有参赛的运动员中随机抽取5人，设这5人中进入胜者组的人数为X，求X的分布列和数学期望；(2)从败者组中选取10人，其中最有可能有多少人能复活？试用你所学过的数学和统计学理论进行分析．2．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）已知SKIPIF1<0两个投资项目的利润率分别为随机变量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，根据市场分析，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的分布列如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)在SKIPIF1<0两个项目上各投资200万元，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0（单位：万元）表示投资项目SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所获得的利润，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(2)将SKIPIF1<0万元投资SKIPIF1<0项目，SKIPIF1<0万元投资SKIPIF1<0项目，SKIPIF1<0表示投资SKIPIF1<0项目所得利润的方差与投资SKIPIF1<0项目所得利润的方差之和.则当SKIPIF1<0为何值时，SKIPIF1<0取得最小值？3．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试．经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如下表：甲校乙校使用AI作业不使用AI作业使用AI作业不使用AI作业基本掌握32285030没有掌握8141226用样本频率估计概率，并假设每位学生是否掌据“向量数量积”知识点相互独立．(1)从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率；(2)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，以SKIPIF1<0表示这2人中使用AI作业的人数，求SKIPIF1<0的分布列和数学期望；(3)从甲校高一学生中抽取一名使用“Al作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“SKIPIF1<0”表示该使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“SKIPIF1<0”表示该使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“SKIPIF1<0”表示该不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“SKIPIF1<0”表示该不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”．直接写出方差DX和DY的大小关系．（结论不要求证明）4．