福建省闽侯县2024届中考二模数学试题含解析

福建省闽侯县2024届中考二模数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列四个命题，正确的有（）个.

①有理数与无理数之和是有理数

②有理数与无理数之和是无理数

③无理数与无理数之和是无理数

④无理数与无理数之积是无理数.

A.1B.2C.3D.4

2.自2013年10月总书记提出“精准扶贫”的重要思想以来.各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度.全国脱贫人口数

不断增加.仅2017年我国减少的贫困人口就接近1100万人.将1100万人用科学记数法表示为（）

A.1.1x103人B.1.1x107人C.1.1x108人D.11x106人

3.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的

直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为“，较短直角边长为心若

（0+6）2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为（）

A.3B.4C.5D.6

4.如图是我国南海地区图，图中的点分别代表三亚市，永兴岛，黄岩岛，渚碧礁，弹丸礁和曾母暗沙，该地区图上两

个点之间距离最短的是（）

.k-

>••木■・

1笳

A.三亚--永兴岛B.永兴岛--黄岩岛

C.黄岩岛--弹丸礁D.渚碧礁--曾母暗山

5.如图所示的几何体的主视图是（)

B.D.

6.完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）

A.6(m-n)B.3(m+n)C.4nD.4m

7.如图是用八块相同的小正方体搭建的几何体，它的左视图是（）

A0=0

8.如图，由两个相同的正方体和一个圆锥体组成一个立体图形，其俯视图是

D.0

1

D.

18

10.能说明命题“对于任何实数%|。|＞一心是假命题的一个反例可以是（）

1

A.a=-2C.a=lD.a—yf2

11.如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE,BF,DF,DG,CG分别交于点PQK,M,N,

设VBPQ,ADKM,△QVH的面积依次为3，邑，S3,若5]+邑=20,则邑的值为（）

A.6B.8C.10D.12

12.如图，四边形ABCD内接于。O,AD/7BC,BD平分NABC,ZA=130°,则NBDC的度数为（）

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，以锐角△A3C的边A3为直径作。O,分别交AC,BC于E、O两点，若AC=14,CD=4,7sinC=3tanB,

则BD=.

14.求1+2+22+23+…+22007的值，可令s=l+2+22+23+…+220°7,则2s=2+22+23+24+...+22°18,因此2s-s=22018-1,即s=22018

-1,仿照以上推理，计算出1+3+32+33+…+32。18的值为.

15.如图，长方形纸片ABCD中，AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F,则

16.如图是一个立体图形的三种视图，则这个立体图形的体积(结果保留7t)为.

CDY-A

图

?*10

17.若关于x的方程xZ0x+sina=0有两个相等的实数根，则锐角a的度数为

18.如图，已知点C为反比例函数y=-g上的一点，过点C向坐标轴引垂线，垂足分别为A、B,那么四边形A03C

的面积为___________

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)已知RtAOAB,ZOAB=9Q°,ZABO=30°,斜边。8=4,将RtAOAB绕点。顺时针旋转60。，如

图1,连接

(1)填空：ZOBC=°；

(2)如图1,连接AC,作OPLAC,垂足为P,求O尸的长度；

(3)如图2,点N同时从点。出发，在AOCB边上运动，〃沿OfC-5路径匀速运动，N沿OTBTC

路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运

动时间为x秒，AQMN的面积为V,求当％为何值时V取得最大值？最大值为多少？

7

oAOO

图1图2备用图

20.（6分）如图，在AABO中，AB>AC,点D在边AC上.

（1）作NADE,使NADE=NACB,DE交AB于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若BC=5,点D是AC的中点，求DE的长.

21.（6分）如图，直线y=-x+2与反比例函数y（导0）的图象交于A（a,3）,B（3,b）两点，过点A作

AC，x轴于点C,过点B作BD，x轴于点D.

〉、求a,b的值及反比例函数的解析式;若点P在直线y=-x+2上，且SAACP=SABDP,

请求出此时点P的坐标；在x轴正半轴上是否存在点M,使得AMAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐

标；若不存在，说明理由.

22.（8分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线Gi：y=sN+2G（山邦）向右平移出个单位长度后得到抛物线

G2,点A是抛物线G2的顶点.

（1）直接写出点A的坐标；

（2）过点（0,73）且平行于x轴的直线/与抛物线G2交于3,C两点.

①当NBAC=90。时.求抛物线&的表达式；

②若60°<ZBAC<120°,直接写出m的取值范围.

23.（8分）在口ABCD,过点D作DE_LAB于点E,点F在边CD上，DF=BE,连接AF,BF.

求证：四边形BFDE是矩形；若CF=3,BF=4,DF=5,求证：AF平分NDAB.

24.(10分)已知：如图，AB=AE,Z1=Z2,ZB=ZE.求证：BC=ED.

25.(10分)在平面直角坐标系中，已知点A(2,0),点B(0,273)，点O(0，0).△AOB绕着O顺时针旋转,

得AA9B，，点A、B旋转后的对应点为A，、B',记旋转角为a.

(I)如图1,若a=30。，求点B，的坐标；

(II)如图2,若0。＜0(＜90。，设直线AA，和直线BB，交于点P,求证：AA,±BB,；

(III)若0。＜。＜36()。，求(II)中的点P纵坐标的最小值(直接写出结果即可).

26.(12分)如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30。，看这栋高楼底部C的俯

角为60°,热气球A与高楼的水平距离为120m,求这栋高楼BC的高度.

27.(12分)先化简，再求值：a(a-3b)+(a+b)2-a(a-b),其中a=l,b=-—

2

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、A

【解题分析】

解：①有理数与无理数的和一定是有理数，故本小题错误；

②有理数与无理数的和一定是无理数，故本小题正确；

③例如-行+&=0,0是有理数，故本小题错误；

④例如（-0）=-2,-2是有理数，故本小题错误.

故选A.

点睛：本题考查的是实数的运算及无理数、有理数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键.

2、B

【解题分析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lw|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负

数.

【题目详解】

解：1100万=11000000=1.1X107.

故选B.

【题目点拨】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中公忸|＜10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

3、C

【解题分析】

如图所示，（a+b）2=21

a2+2ab+b2=21,

•.•大正方形的面积为13,2ab=21-13=8,

小正方形的面积为13-8=1.

故选c.

考点：勾股定理的证明.

4、A

【解题分析】

根据两点直线距离最短可在图中看出三亚-永兴岛之间距离最短.

【题目详解】

由图可得，两个点之间距离最短的是三亚-永兴岛.

故答案选A.

【题目点拨】

本题考查的知识点是两点之间直线距离最短，解题的关键是熟练的掌握两点之间直线距离最短.

5、A

【解题分析】

找到从正面看所得到的图形即可.

【题目详解】

解：从正面可看到从左往右2列一个长方形和一个小正方形，

故选A.

【题目点拨】

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

6、D

【解题分析】

解：设小长方形的宽为a,长为b,则有b=n-3>a,

阴影部分的周长：

2(m-b)+2(m-3a)+2n=2m-2b+2m-6a+2n=4m-2(n-3d)-6a+2n=4m-2n+6a-6a+2n=4m.

故选D.

7、B

【解题分析】

根据几何体的左视图是从物体的左面看得到的视图，对各个选项中的图形进行分析，即可得出答案.

【题目详解】

左视图是从左往右看，左侧一列有2层，右侧一列有1层1,选项B中的图形符合题意，

故选B.

【题目点拨】

本题考查了简单组合体的三视图，理解掌握三视图的概念是解答本题的关键.主视图是从物体的正面看得到的视图，左

视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

8,D

【解题分析】

由圆锥的俯视图可快速得出答案.

【题目详解】

找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中，从几何体的上面看：可以得到两个正方

形，右边的正方形里面有一个内接圆.故选D.

【题目点拨】

本题考查立体图形的三视图，熟记基本立体图的三视图是解题的关键.

9、C

【解题分析】

根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数.

【题目详解】

、

•-18x(/---1-)=1,

18

/.-18的倒数是-工,

18

故选C.

【题目点拨】

本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键.

10、A

【解题分析】

将各选项中所给a的值代入命题“对于任意实数a,\a\>-a”中验证即可作出判断.

【题目详解】

(1)当a=—2时，同=卜2|=27。=—(―2)=2,此时同,

・,•当Q=—2时，能说明命题“对于任意实数〃，同>一〃”是假命题，故可以选A；

(2)当〃时，回=§，—〃=—§，此时时>一。，

...当a=g时，不能说明命题“对于任意实数同>-。”是假命题，故不能B；

(3)当a=1时，时==-9此时时>—。，

...当。=1时，不能说明命题“对于任意实数a,时〉-。”是假命题，故不能C；

(4)当a=0时，时=夜？。=—,此时时>—a,

•••当a=&时，不能说明命题”对于任意实数。，时>-。”是假命题，故不能D；

故选A.

【题目点拨】

熟知“通过举反例说明一个命题是假命题的方法和求一个数的绝对值及相反数的方法”是解答本题的关键.

11、B

【解题分析】

由条件可以得出ABPQsaDKMs/XCNH,可以求出ABPQ与4DKM的相似比为;，△BPQ与4CNH相似比为:，

由相似三角形的性质，就可以求出，，从而可以求出§2.

【题目详解】

•.•矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，

/.AB=BD=CD,AE〃BF〃DG〃CH,

:.ZBQP=ZDMK=ZCHN,

/.△ABQ^AADM,△ABQ^AACH,

.ABBQ_1ABBQ_1

"AD~DM~1'AC~CH~3)

VEF=FG=BD=CD,AC〃EH,

二四边形BEFD、四边形DFGC是平行四边形，

；.BE〃DF〃CG,

ZBPQ=ZDKM=ZCNH,

又；NBQP=/DMK=NCHN,

/.ABPQ^ADKM,△BPQ^ACNH,

丛丝2/12=j_

.BQ_2JVV=I

S2DAf⑸4*S3CH⑴“

即$2=45],S3=,

H+S3=20,

S]+9sl=20,BP10^=20,

解得：S]=2,

：.S2=4S]=4x2=8,

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，得出S2=4SI,S3=9SI

是解题关键.

12、B

【解题分析】

根据圆内接四边形的性质得出NC的度数，进而利用平行线的性质得出NABC的度数，利用角平分线的定义和三角形

内角和解答即可.

【题目详解】

:四边形ABCD内接于。O,ZA=130°,

.,.ZC=180°-130o=50°,

VAD//BC,

:.ZABC=180°-ZA=50°,

VBD平分NABC,

.,.ZDBC=25°,

ZBDC=180o-25°-50o=105°,

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据圆内接四边形的性质得出NC的度数.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、1

【解题分析】

AT)AT)

如图，连接AD,根据圆周角定理可得A。3c.在RtAAOC中，sinC=n；；在RtAABD中，tan5=诟.已知7sinC=3tan3,

所以7x，=3x部又因AC=14,即可求得30=1.

C

£

点睛：此题主要考查的是圆周角定理和锐角三角函数的定义，以公共边AD为桥梁，利用锐角三角函数的定义得到tanB

和sinC的式子是解决问题的关键.

14、*

2

【解题分析】

仿照已知方法求出所求即可.

【题目详解】

R2019

令S=l+3+32+33+...+32018,贝!J3S=3+32+33+...+32019,因此3S-5=32019-1,即S=-——

2

32019-]

故答案为：-——

2

【题目点拨】

本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

26

15、—

3

【解题分析】

由矩形的性质可得AB=CD=4,BC=AD=6,AD//BC,由平行线的性质和折叠的性质可得NDAC=NACE,可得AF=CF,

由勾股定理可求AF的长，即可求△AFC的面积.

【题目详解】

解：四边形ABCD是矩形

,-.AB=CD=4,BC=AD=6,AD//BC

.•.㈤AC=/ACB,

折叠

.•./ACB=/ACE,

...4AC=/ACE

.-.AF=CF

在Rt_CDF中，CF2=CD2+DF\

AF2=16+（6-AFR

AL13

二.AF=——

3

.-.sAFr=-xAFxCD=-x—x4=—.

•AFC2233

故答案为：.

【题目点拨】

本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理求AF的长是本题的关键.

16、250万

【解题分析】

从三视图可以看正视图以及左视图为矩形，而俯视图为圆形，故可以得出该立体图形为圆柱.由三视图可得圆柱的半

径和高，易求体积.

【题目详解】

该立体图形为圆柱，

,圆柱的底面半径r=5,高h=10,

二圆柱的体积丫=兀产11=取52'10=250兀（立方单位）.

答：立体图形的体积为250兀立方单位.

故答案为250k.

【题目点拨】

考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查；圆柱体积公式=底面积x高.

17、30°

【解题分析】

试题解析：・・・关于X的方程%2—缶+sin。=0有两个相等的实数根，

/.=（一行）-4x1xsin。=0,

解得：sintz=—,

2

二锐角a的度数为30°；

故答案为30°.

18、1

【解题分析】

解：由于点C为反比例函数丁=-9上的一点,

x

则四边形AOBC的面积S=|k|=L

故答案为：1.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)1；(2)3包；(3)时，y有最大值，最大值=迪.

733

【解题分析】

(1)只要证明△OBC是等边三角形即可；

(2)求出AAOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；

Q

(3)分三种情形讨论求解即可解决问题：①当—时，M在0C上运动，N在OB上运动，此时过点N作NELOC

3

Q

且交OC于点E.②当—〈烂4时，M在8C上运动，N在08上运动.③当4〈烂4.8时，M.N都在上运动，作

3

OGLBC^G.

【题目详解】

(1)由旋转性质可知：05=0C,ZBOC=1°,

：./\OBC是等边三角形，

：.ZOBC=1°.

故答案为1.

(2)如图1中.

•：0B=4,NABO=30。，

：.OA=^OB=2,AB=j3OA=2y/3,

SAAOC=5*OA*AB=-x2x2^/3=2^3.

,:ABOC是等边三角形，

:.NOBC=1°,NABC=NA30+N。3c=90°,

Uy/AB2+BC2=2A/7,

.°p_2SAOC_4._2后

•Cz2-----------------------------•

AC2币7

Q

(3)①当OVx<—时，M在0C上运动，N在08上运动，此时过点N作NEL0C且交0C于点E.

3

11乓

SAOMN——•OM,NE=—x1.5xx---------49

222

:7=正总,

8

时，y有最大值，最大值=迪

33

则BM=8-1.5x,®(8-1.5x),

2

]3n

.y=-xONxMH=—二H两2百x.

28,

当x=g时，y取最大值，y〈巫

33

③当4c烂4.8时，M、N都在5c上运动,

BNGMc

图4

作OG_L5C于G.MN=12-2.5x,OG=AB=2y/3,

[5/s

；.y=-•MN-OG=12y[3-^-x,

当x=4时，y有最大值，最大值

综上所述：y有最大值，最大值为迪.

3

【题目点拨】

本题考查几何变换综合题、30度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键

是学会用分类讨论的思想思考问题.

20、（1）作图见解析；（2）-

2

【解题分析】

（1）根据作一个角等于已知角的步骤解答即可；

（2）由作法可得DE〃BC,又因为D是AC的中点，可证DE为△ABC的中位线，从而运用三角形中位线的性质求

解.

【题目详解】

解：（1）如图，NADE为所作；

(2)VZADE=ZACB,

，DE〃BC,

•••点D是AC的中点，

ADE为4ABC的中位线,

15

.\DE=-BC=-.

22

3

21、(1)y=-一；(2)P(0,2)或(一3,5)；(3)M(-1+^23>0)或(3+用，0).

x

【解题分析】

(1)利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a,b,最后用待定系数法求出反比例函数解析式;

(2)设出点P坐标，用三角形的面积公式求出SAACP=；X3X|II+1|,SABDP=|xlx|3-n|,进而建立方程求解即可得

出结论；

(3)设出点M坐标，表示出MA2=(m+1)2+9,MB2=(m-3)2+1,AB2=32,再三种情况建立方程求解即可得

出结论.

【题目详解】

k

(1),••直线y=-x+2与反比例函数y=—(后0)的图象交于A(a,3),B(3,b)两点，...-2+2=3,—3+2

X

=b,

/.a=—1,b=-1,

/•A(—1,3),B(3,—1),

k

・・•点A(-1,3)在反比例函数y=—上，

x

/.k=—1x3=—3,

3

...反比例函数解析式为y=—―；

x

(2)设点P(n,—n+2),

VA(-1,3),

C(—1,0),

VB(3,-1),

AD(3,0),

1111

••SAACP=—ACx|xp—XA|——x3x|n+l|,SABDP=-BDX|XB-xp|=-xlx|3—n|,

2222

VSAACP=SABDP,

11

—x3x|n+l|=—xlx|3-n|,

•*.n=0或n=-3,

：.P(0,2)或(-3,5)；

(3)设M(m,0)(m>0),

VA(-1,3),B(3,-1),

，MA2=(m+1)2+9,MB2=(m-3)2+l,AB2=(3+1)2+(-1-3)2=32,

VAMAB是等腰三角形，

①当MA=MB时，

(m+1)2+9=(m-3)2+1,

.,.m=0,(舍)

②当MA=AB时，

(m+1)2+9=32,

•,.m=-l+7^或m=T-V^(舍)，

AM(-1+V23,0)

③当MB=AB时，(m-3)2+1=32,

，m=3+或m=3-7^"(舍)，

AM(3+731，0)

即：满足条件的M(-1+V23-0)或(3+用，0).

【题目点拨】

此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问

题是解本题的关键.

22、(1)(四，273);(2)①尸(X-73)2+2布;②—百＜根＜—等

【解题分析】

⑴先求出平移后是抛物线G2的函数解析式，即可求得点A的坐标；

⑵①由(1)可知G2的表达式，首先求出AD的值，利用等腰直角的性质得出BD=AD=6,从而求出点B的坐标，代

入即可得解；

②分别求出当NBAC=60。时，当NBAC=120。时m的值，即可得出m的取值范围.

【题目详解】

(1)•••将抛物线Gi：y=mx2+2^3(川邦)向右平移g个单位长度后得到抛物线G2,

抛物线G2：y=m(x—y/3)2+2^/3»

点A是抛物线Gi的顶点.

.••点A的坐标为(6，273).

（2）①设抛物线对称轴与直线/交于点O,如图1所示.

•.•点A是抛物线顶点，

：.AB^AC.

\'ZBAC=90°,

...△A5C为等腰直角三角形，

:.CD=AD=6,

点C的坐标为（26，G）.

•••点C在抛物线G2上，

:.6=m（2^/3—^/3）2+2^/3，

解得：m=—旦

3

②依照题意画出图形，如图2所示.

同理：当NBAC=60。时，点C的坐标为（石+1,也）;

当NR4c=120。时，点C的坐标为（6+3,6）.

V60°<ZBAC<120°,

.•.点（逐+1,73）在抛物线G2下方，点（B+3,73）在抛物线G2上方,

"用1—可+26〉6

"6+3—可+26<6

【题目点拨】

此题考查平移中的坐标变换，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，等

边三角形的判定和性质，熟练掌握坐标系中交点坐标的计算方法是解本题的关键，利用参数顶点坐标和交点坐标是解

本题的难点.

23、（1）见解析（2）见解析

【解题分析】

试题分析：（1）根据平行四边形的性质，可得43与的关系，根据平行四边形的判定，可得3世汨是平行四边形,

再根据矩形的判定，可得答案；

（2）根据平行线的性质，可得根据等腰三角形的判定与性质，可得根据角平分线的

判定，可得答案.

试题分析：（1）证明：I•四边形ABC。是平行四边形，

：.AB//CD.

'：BE//DF,BE=DF,

二四边形BFDE是平行四边形.

'：DE±AB,

NZ>E5=90。，

二四边形BFDE是矩形；

（2）•.•四边形ABC。是平行四边形，

J.AB//DC,

ZDFA=ZFAB.

在RtABC/中，由勾股定理，得

BC=^FC~+FB-=732+42=5,

：.AD=BC=DF=5,

：.ZDAF=ZDFA,

:.ZDAF=ZFAB,

即AF平分NO4B.

【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利

用等腰三角形的判定与性质得出网是解题关键.

24、证明见解析.

【解题分析】

由N1=N2可得NCAB=NDAE,再根据ASA证明△ABC也AAED,即可得出答案.

【题目详解】

VZ1=Z2,AZ1+ZBAD=Z2+ZBAD,

/.ZCAB=ZDAE,

在B=NE,AB^AE,ZCAB=ZDAE,

/.△ABC^AAED,

/.BC=ED.

25、(1)B，的坐标为(G,3)；(1)见解析；(3)73-1.

【解题分析】

(1)设A，B，与x轴交于点H,由OA=LOB=1遂，NAOB=90。推出NABO=NB，=30。，

由/BOB，=a=30。推出BO〃AR,由OB，=OB=1造推出OH=4-OB，=&,B，H=3即可得出；

(1)证明NBPA，=90。即可；

(3)作AB的中点M(1,加)，连接M