江苏专用2023版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2

精选江苏专用2023版高考数学

大一轮复习第二章函数概念与

根本初等函数12.3函数的奇偶

性与周期性教师用书文

2.3函数的奇偶性与周期性

基础知识自主学习

If知识梳理

1.函数的奇偶性

奇偶图象特

定义

性点

一般如果对于任意的

偶函地，设都有f(—x)关于Z

数函数y=4),那么称函数轴对称

尸Hx)是偶函数

f(x)如果对于任意的

奇函的定x^A,都有f(一x)关于原

数义域=—f{x),那么称函点对称

为4数y=f(x)是奇函数

2.周期性

(1)周期函数：对于函数尸f(x),如果存在一个

2

非零常数北使得当X取定义域内的任何值时，

都有f(x+7)=f(x),那么就称函数尸f(x)为

周期函数，称7为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周

期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就

叫做F(x)的最小正周期.

【知识拓展】

1.函数奇偶性常用结论

⑴如果函数f5)是偶函数,那么f(x)=Ak|).

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调

性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调

性.

⑶在公共定义域内有：奇土奇=奇，偶土偶=

偶,奇义奇=偶，偶义偶=偶，奇义偶=奇.

2.函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值X：

(1)假设f(x+a)=—F(x),那么7=2a(a>0).

3

(2)假设f(x+a)=/一,那么7=2a(a>0).

IX

(3)假设广(x+司)=—彳」一，那么7=2a(a>0).

工X

【思考辨析】

判断以下结论是否正确(请在括号中打“。〃或

“x〃)

⑴偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一

定过原点.(X)

(2)假设函数尸f(x+a)是偶函数，那么函数y

=f(x)关于直线x=a对称.(V)

(3)函数f(x)在定义域上满足f^x+a)=-f{x),

那么f(x)是周期为2a(金0)的周期函

数.(J)

(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一

个必要条件.(V)

⑸假设7是函数的一个周期，那么nT(代Z,刀20)

也是函数的周期.(V)

4

2考点自测

L(教材改编)对于定义域是R的任意奇函数

AT),以下结论正确的有.(填序号)

①f(x)—f(—x)>0；②f(x)——

x)WO;

③f(x)•F(—x)W0;④f(x)•f(-x)>0.

答案③

解析①②显然不正确.对任意奇函数f5),有

f(一力=—f{x},f(^x)•—X)=—

"(x)『W0,故③正确，④不正确.

2.(教材改编)函数y=f(由为(-8,+8)上的

偶函数，且A|a|)=3,那么f{-a)=.

答案3

解析假设@20,那么F(—a)=f(a)=F(|a|)

=3；假设水0,那么f(—a)=/*(|T)=3.故对

总有广(一a)=3.

3.(教材改编)假设函数Hx)=(x+l)(x—a)为

5

偶函数，那么a=.

答案1

解析,:f(力=(x+1)(x—a)=x+(1—a)x—a

为偶函数，・•・/•(—x)=f(x)对任意x£R恒成立,

，(1一》)x=(a—l)x恒成立，

••1a=0,••1.

4.(教材改编)设函数y=f(x)是偶函数，它在

[0,1]上的图象如下图，那么它在上的解

析式为.

答案F(x)=x+2

解析由题意知f(x)在上为一条线段，

且过(一1,1)、(0,2),设f(x)=Ax+8,

代入解得k=l,b=2.所以f(x)=x+2.

5.(2023•四川)假设函数f(x)是定义在R上的周

期为2的奇函数，当0＜水1时，f(x)=4',那么

6

《_|)+憔)=--------.

答案一2

解析・・・f(x)为定义在R上的奇函数，Jf(0)=

0,

又0<Xl时,f{x)=4",/(1)=♦=2,

.•［一|/*2)

=_f'+A2)

w

=一仃+AO)

W

=-2+0=-2.

题型分类深度剖析

题型一判断函数的奇偶性

例1(1)以下函数中，既不是奇函数，也不是偶

函数的是.

7

①尸11+3；②y=x+±

X

@y=2x+-；®y=x+e.

答案④

解析①中的函数是偶函数；②中的函数是奇函

数；③中的函数是偶函数；只有④中的函数既不

是奇函数也不是偶函数.

-I—xQ

⑵判断函数f(x)=2；t的奇偶性.

—X-\-x,x〉0

解当x>0时，一水0,f^x)=­x+x,

f{—x)={—x)2—x=x—x

=—(―/+㈤=—f{x)；

当JKO时，-x>0,f(力=x+x,

/.f{—x)=-{—X)2—X=­X~X

=—{x+x)=-f{x).

，对于x£(—8,o)U(0,+°°),均有f(一x)

=­f(x).

8

・,・函数/*(x)为奇函数.

思维升华(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤

⑵分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内X

取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据X的

范围取相应的解析式化简，判断Xx)与f(—X)

的关系，得出结论，也可以利用图象作判断.

跟踪训练I(1)(2023•北京海淀区模拟)以下函数

中为偶函数的是.

①尸1；②y=lg|x|；

X

③尸(X—1)2；④尸2；

(2)f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且宣一1)+

g⑴=2,f⑴+g(—1)=4,那么g(l)=

答案(1)②(2)3

9

解析(1)②中，函数y=lg|x|的定义域为

{x|#0}且lg|-x\=lg|T|,

**.函数y=1gIx|是偶函数.

⑵・・・f(x)是奇函数,g(x)是偶函数，A-l)+

g⑴=2,f(l)+g(—1)=4,・•・一=l)+g(l)=

2,f⑴+g⑴=4,得g⑴=3.

题型二函数的周期性

例2(1)(2023•淮安模拟)f(x)是定义在R上的

偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)

=f(x—1),那么/(2017)+/(2019)=

(2)f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x+2)

=一万^—，当2W后3时，f{x)=x,那么

fx

A105.5)=.

答案(1)0(2)2.5

解析(D由题意，得g(—x)=f(—x—1),

又・・・Hx)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在

10

R上的奇函数，

：.g{—x)=—g{x),f(—x)=f{x),

f(x—1)=-f(x+1),

f{x)=—f(x+2),f^x)=f(x+4),

・・・f(x)的周期为4,

・・・f(2017)=Al)，f(2019)=F(3)=f(-l),

又,.•『(1)=/(—1)=g(0)=0,

・・・f(2017)+/(2019)=0.

(2)由，可得f(x+4)=>(x+2)+2]

1

fx+2==f(x).

fx

故函数的周期为4.

AA105.5)=A4X27-2.5)=f(-2.5)=

F(2.5).

・・・2W2.5W3,由题意，得A2.5)=

2.5..\/(105.5)=2.5.

引申探究

11

例2(2)中，假设将f(x+2)=改为f(x

+2)=—f(x),其他条件不变，那么A105.5)

的值为.

答案2.5

解析f{x+4)=/[(x+2)+2]=-f(x+2)=

F(x),

・・・函数的周期为4(下同例题).

思维升华函数的周期性反映了函数在整个定

义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及

函数周期性的判断，利用函数周期性求值.

跟踪训练2定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=

f(x),当一34水一1时，f(x)=—(x+2)\当

一1二水3时，f(x)=工那么f(l)+F(2)+f(3)

H-----1-/(2018)=.

答案339

解析.."(x+6)=f(x),T=6.

・・•当-34水一1时，fC0=—(x+2)2；

12

当一水3时，f{x)=x,

・・・f(l)=Lf(2)=2,A3)=/(-3)=-l,

f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(—l)=­l,

A6)=A0)=0,

・・・f(1)+f(2)+…+f(6)=1,

・・・f(l)+f(2)+f(3)+…+4(2015)+/(2016)

2016

=1X=336.

6

又f(2017)=01)=1,A2018)=。2)=2,

/./(I)+A2)+F(3)+…+f(2018)=339.

题型三函数性质的综合应用

命题点1解不等式问题

例3(1)(2023•南通模拟)偶函数『5)在区间

[0,+8)上单调递增，那么满足f(2x—1)＜担《)

O

的X的取值范围是.

⑵Hx)是定义在R上的以3为周期的偶函数，

假设F(1)〈LF(5)=g/,那么实数a的取值

a十1

13

范围为.

19

答案(1)(示$⑵(一1,4)

OO

解析(1)因为“X)是偶函数，所以其图象关于

y轴对称，又f(x)在［0,+8)上单调递增，f(2x

O

119

所以|2x-1|<§,所以§<啊.

(2)・・・武力是定义在R上的周期为3的偶函数，

・•・/*⑸=f(5—6)=/(-1)=/(1)，

/、/、2a—32a—3八a—4

VAlXb/*(5)=rv~,J1<1,n即riFT

a-v\z十r1a-v\。，

解得一IX水4.

命题点2求参数问题

9

例4(1)函数f(x)=lg(a+H)为奇函数，那

XIX

么实数a=.

(2)设Hx)是定义在R上且周期为2的函数，在

14

区间［191］上，F(x)

%x+l,—1Wx<0,

<bx+2其中a"£R.假设/'J

OWE,w

=/9,那么a+3Z?的值为.

w

答案（1）一1（2）-10

解析（1）根据题意得，使得函数有意义的条件

9

为->0且1+a0，由奇函数的性质可得

-LIX

Ao)=0.

所以lg（a+2）=0,即a=—l9经检验a=-l

满足函数的定义域.

（2）因为Ax）是定义在R上且周期为2的函数，

（口

所以/'5/一，且f（—i）=f（i）,

w

（n

»__

wI2）

15

1

2

1

从

而2A+1

1一2-±

2一

即3a+28=-2.①

由f(—l)=f(l),得一a+l=中，

即b=-2a.②

由①②得a=2,b=—4,从而a+3b=-10.

思维升华(1)关于奇偶性、单调性、周期性的

综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知

区间上的问题转化为区间上的问题.

(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：

①f(x)为偶函数of5)=AIx|).②假设奇函数

在x=0处有意义，那么f(0)=0.

跟踪训练3(1)假设f(x)=ln(b+l)+"是偶函

数，那么a=.

(2)奇函数f(x)的定义域为R.假设f(x+2)为偶

函数，且A1)=1,那么A8)+/(9)=.

16

答案(1)—£(2)1

解析(1)函数f(x)=ln(/+l)+ax是偶函数,

故f{-x)=_f(x),即ln(e-"+1)—ax=ln(e"+

1+小

2ax

1)+ax,化简得In6x=2ax=lne,

e十e

_l_+__皆__乙ax2ax

即3xI6x—e，

e+e

3x2a3

整理得e+l=e^(e"+l),所以2ax+3x=0,

解得a=一年

(2)由f(x+2)是偶函数可得F(—x+2)=F(x+

2),

又由f(x)是奇函数得/l(—x+2)=-f(x—2),

所以f(x+2)=-f(x—2),f(x+4)=-f{x),

f(x+8)=f(x),

故f(x)是以8为周期的周期函数，

所以/*⑼=/(8+i)=r(i)=1,

又因为f(X)是定义在R上的奇函数，

17

所以f(0)=0,所以F(8)=f(0)=0,故/*(8)+

A9)=l.

高频小考点

2.抽象函数问题

考点分析抽象函数问题在高考中也时常遇到，

常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函

数值或判断函数的奇偶性等.一般以填空题来呈

现，有时在解答题中也有所表达.此类题目较为

抽象，易失分，应引起足够重视.

一、抽象函数的定义域

典例1函数y=f(x)的定义域是。8],那么函

fx—\

数,⑸=2—1唯的定义域为——.

解析要使函数有意义，

18

’0W1W8,

需使<x+l>0,即

、2—log2x+1WO,

'K9,

VX>一1,

、杼3,

解得1W水3,所以函数g(x)的定义域为[1,3).

答案[1,3)

二、抽象函数的函数值

典例2假设定义在实数集R上的偶函数f(x)满

足f(x)>0,/15+2)=/一,对任意x£R恒成

工X

立，那么/(2019)=.

解析因为F(x)>0,F(x+2)="^,

IX

所以Hx+4)=/[(x+2)+2]=7—g—=

J.XI乙

-7—=Hx),

fx

19

即函数/*(x)的周期是4,

所以f(2019)=A505X4-l)=A-l).

因为函数f(x)为偶函数，

所以“2019)=/(-1)=/(1).

当x=-l时，广(一］+2)=,\，得A1)

I—1

1

=f1,

即/1⑴=1,所以f(2O19)=A1)=1.

答案1

三、抽象函数的单调性与不等式

典例3设函数F(x)是定义在(0,+8)上的增

函数,且满足f{xy)=f(x)+f(力假设A3)=1,

且f(a)>f(H—l)+2,求实数a的取值范围.

标准解答

解因为f^xy)=f{x)+f(式且/(3)=1,

所以2=2*3)=f(3)+A3)=/(9).

又Aa)>f(a-1)+2,所以>f(a-1)+f(9).

20

再由f{xy)=f{x)+f{y),可知F(a)>/[9(a—

1)],

因为Ax)是定义在(0,+8)上的增函数，

a>0,

9

从而有<9a—1>0,解得1<水石.

O

、a>9a—1,

9

故所求实数a的取值范围是(L«).

O

课时作业

1.(教材改编)Hx)是偶函数，g(x)是奇函数，且

f(x)+g(x)=/+x—2,那么f(x)=

答案1—2

解析f(—x)+g(—x)=x—x—2,

由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，

得f(x)—g(x)=x—x—2,

又F(x)+g(x)=X+X—29

两式联立得Ax)=x2—2.

21

2.(2023•苏州模拟)设f(x)是R上的任意函数，

那么以下表达正确的有.(填序号)

①F(x)f(—x)是奇函数；

②是奇函数；

③f(x)—x)是奇函数；

④f(x)+f(—x)是偶函数.

答案③④

解析对于①，设g(x)=f(x)f(—x),

g(—X)=F(—x)f(x)=g(x),/./(—x)f(x)是偶

函数；

对于②，设g(②=f(x)|F(—x)|,

g(-x)=f{-x)\f(»I,g(一心丰一

g(力，

・・・F(x)"(一x)|是非奇非偶函数；

对于③，设g(x)=F(x)—F(—x),

g(一力=f(一分—f{x)=—LAA)—f(一分］=

-gCO，

・・・Hx)—f(—x)是奇函数；

22

对于④，设g(x)=F(x)+F(—x),

g(一力=f(—X)+f(A)=g(x),

，f(x)+f(—x)是偶函数.

3.F(x)在R上是奇函数，且满足F(x+4)=f(x),

当xG(-2,0)时，f(x)=2/,那么f(2019)=

答案2

解析由f(x+4)=f(x)知，f(x)是周期为4的

周期函数,其(2019)=/(504X4+3)=/(3),

又f(x+4)=f{x),为f(3)=f(—1),

由一1£(一2,0)得*-1)=2,

・・・f(2019)=2.

2*—4■2r

4.(2023•南京模拟)假设函数Ax)=”.r

Z9IlxZ9

(A为常数)在定义域内为奇函数，那么A的值为

_____________•.

答案土1

23

万——k•2X

解析依题意，得X—x)=/不了70

V—k•2r

9口_心•9~整理得淤=Lk=±l,

乙I/i乙

5.f(x)是定义在R上的奇函数,且当加0时,f(x)

JI

cos0<jr^8,

6那么F(F(T6))

、log2Xx>8，

答案!

解析由题意f(—16)=-f(16)=-log216=一

4,

4JI

故f(F(—16))=f(—4)=-f(4)=—cos=-=

6

1

2,

6.(2023•盐城模拟)f(x)=a^+bx是定义在［a

—1,2司上的偶函数，那么a+力的值是.

24

答案I

o

解析依题意得f（-x）=Hx）,

:・b=0,又a—1=-2&

••a—门，••SL\b-

7.(2023•苏北四市联考)函数Ax)=

logzx,x>0,

假设f(x)为奇函数，那么

、gx,X0,

g（―5=--------.

答案2

解析g（一；）=f（_；）=—f（；）

=_log2^=_10g222=2.

8.（2023•常州模拟）Hx）是定义在R上的奇函

数，『5+1）是偶函数,那么r（i）+A2）+A3）

+f⑷=.

25

答案0

解析由f(x+l)是偶函数得f(—x+l)=f(x+

1),又Ax)是定义在R上的奇函数，所以f(一x

+1)=—Hx—1),即一f(x—1)=F(x+l),所

以f(x+2)=—f(x),即f(x)+F(x+2)=0,所

以AD+A3)=0,/(2)+/(4)=0,因此Al)

+f(2)+F(3)+f(4)=0.

9.函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)

=\[x+L那么当KO时，f(x)=.

答案一/J—1

解析・・・f{x)为奇函数，当x>0时，f(x)=y[x+

1,

・•・当/0时,-T>0,

F(—A)=-\I~X+1=­f^x),

即水0时,f{x)=—(弋一x+1)=—\j—x—1.

10.(2023•南京模拟)假设函数Hx)是定义在R

上的偶函数，且在区间[0,+8)上是单调递增

函数.如果实数方满足Aint)+Ain

26

7)<2/(1),那么方的取值范围是.

L/

答案［Ae］

e

解析由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，

所以F(ln方)=F(ln；),

L/

由f(ln力+f(ln；)W2f(l),

得f(ln力Wf(l).

又函数F(x)在区间［0,+8)上是单调递增函数,

所以|ln1|<L即一lWlnt<1,故

11.(2023•江苏苏北四市二调)定义在R上的奇

函数F(x)满足当x20时，f(x)=log2(x+2)+

(a—l)x+从&6为常数),假设"2)=—1,那

么A-6)的值为.

答案