中考复习之突破训练-初中数学 - 答案

中考复习之专题突破训练汇总-初中数学

参考答案与试题解析

一、选择题(共15小题)

1.(2021•齐齐哈尔)分式方程上7=——-——有增根，那么根的值为()

x-1(x-l)(x+2)

A.0和3B.1C.1和一2D.3

【考点】B5：分式方程的增根；86：解一元一次方程

【专题】11：计算题

【分析】根据分式方程有增根，得出x-1=0,x+2=0,再代入求出即可.

【解答】解：•.•分式方程上L-l=——-——有增根，

x-1(x-l)(x+2)

x—1=0,x+2=0,

%,=1.x2=-2.

两边同时乘以(x-l)(x+2),原方程可化为MX+2)-(X-1)(X+2)=〃7,

整理得，m=x+2，

当x=1时，代入得：〃?=1+2=3,

当x=—2时，代入得：〃z=—2+2=0,

当，〃=0时，方程为一^---1=0.

x-1

此时1=0»

即方程无解，

.•.帆=3时，分式方程有增根，

应选：D.

【点评】此题主要考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解分

式方程的增根的意义是解此题的关键.

2.(2021•钦州)如图，在6个边长为1的小正方形及其局部对角线构成的图形中，如图从A

点到3点只能沿图中的线段走，那么从A点到5点的最短距离的走法共有()

A.1种B.2种C.3种D.4种

【考点】KU：勾股定理的应用

【专题】11：计算题

【分析】如下图，找出从A点到3点的最短距离的走法即可.

【解答】解：根据题意得出最短路程如下图，

最短路程长为@+2?+1=272+1,

那么从A点到8点的最短距离的走法共有3种，

3.（2021♦荆州）如图，圆柱底面的周长为4a〃，圆柱高为2“"，在圆柱的侧面上，过点A

和点C嵌有一圈金属丝，那么这圈金属丝的周长最小为（）

A.4&dmB.2\[2dmC.2亚dmD.4辨dm

【考点】AV：平面展开-最短路径问题

【专题】121：几何图形问题

【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果,

在求线段长时，根据勾股定理计算即可.

【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，那么这圈金属丝的周长最小为2AC的

长度.

.•圆柱底面的周长为44",圆柱高为2“"，

，.AB=2dm,BC=BC'=2dm,

■.AC2=22+22=4+4=8,

AC=2\[2dm,

，这圈金属丝的周长最小为2AC=4夜加.

应选：A.

【点评】此题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长

等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，此题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平

面〃，用勾股定理解决.

4.（2021•黄州区校级模拟）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该

正整数为“和谐数”如（8=3?-F,16=52-32,即8,16均为“和谐数”）,在不超过2021

的正整数中，所有的“和谐数〃之和为（）

A.255054B.255064C.250554D.255024

【考点】4F：平方差公式；1E：有理数的乘方

【专题】23：新定义

【分析】由（2〃+1）2-（2〃-1）2=8%,2017,解得演2521，可得在不超过2021的正整数中,

8

“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解.

【解答】解：由（2〃+1）2-（2〃-1）2=阮,2017,解得〃,2522，

8

那么在不超过2021的正整数中，所有的“和谐数”之和为

32-12+52-32+...+5052-5032=5052-I2=255024.

应选：D.

【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数"的定义是解此题的关键.

5.〔2021•龙岩）定义符号加〃伍，b}的含义为：当a..b时加〃{a,b}=b；当av1时,

b]=a.如：min\\,-3}=-3,min[-4,-2}=-4.那么疝”{-f+l,-x}的最大值是（

）

A.B.C.1D.0

22

【答案】A

【考点】二次函数的最值；正比例函数的性质

【专题】新定义；数形结合

【分析】min{a,与的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性

质可得结论.

【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y=-Y+l与正比例函数y=-x的图象,

如下图.设它们交于点A、B.

令一f+i=_x,即f=解得：工=1±^1或

22

.J-石>/5—11+>/5—1--75

••A(——>——)，B(——,---).

2222

观察图象可知：

①当用,匕且时，min{-x2+\,-x}=-x2+\,函数值随x的增大而增大,其最大值为避二1；

22

②当匕正<8<口必时，，市〃{-/+],_x}=_x,函数值随x的增大而减小，其最大值为

22

小于垦1；

2

③当X…上叵时，加+_}=—丁+1,函数值随X的增大而减小，最大值为土垣.

22

综上所述，min{-x2+\,-x}的最大值是或二1.

【点评】此题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义加山伍，6}和掌握

函数的性质是解题的关键.

6.(2021秋•福田区校级期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形A8a>的顶点A的坐标

为(-1,1),点8在x轴正半轴上，点。在第三象限的双曲线^=色上，过点C作CE〃x轴交

双曲线于点E,那么CE的长为()

55

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；LE；正方形的性质

【专题】534：反比例函数及其应用；553：图形的全等

【分析】证明、A/VV8三ADGC(AAS)得到：AN=DG=i=AH,而

AH=-\-m=\,解得：%=一2,即可求解.

【解答】解:设点£>(〃?,目)，

m

如下图，过点。作％轴的垂线交CE于点G,过点A过x轴的平行线交0G于点"，过点A

作AN_Lx轴于点N,

•/Z.GDC+ZDCG=90°,NGDC+N"D4=90。，

:.ZHDA=ZGCD,

又AD=CD,ZZMM=NCGD=90。，

:.\DHA=\CGD(AAS),

:.HA=DG,DH=CG,

同理A/W8仝ADGC(A4S),

8

:.AN=DG=\=AH,那么点—CG=DH,

m

AH=-1-AH=1,解得：m=-2,

故点G(—2,—5),£>(-2,-4),”(—2,1),

那么点E(-|,-5),GE=|,

223

CE=CG-GE=DH-GE=5——=—,

55

应选：B.

【点评】此题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，需要两次证明三角形全等，综合性

较强，难度较大.

7.(2021秋•槐荫区期末)如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N,使

NMBN=30P.假设MN=x,CN=n,那么以x,m,“为边长的三角形的形

状为()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.随x,〃的值而定

【答案】C

【考点】等边三角形的性质

【专题】三角形；推理能力；几何直观

【分析】将AABM绕点3顺时针旋转60。得到ACBH.连接HN.想方法证明

ZHCN=120°HN=MN=x即可解决问题：

(解答］解：将MBM绕点3顺时针旋转60°得到ACBH.连接HN.

A

m

J

77c

・・・A4BC是等边三角形，

.-.ZABC=ZACB=ZA=60°,

•・・4MBN=3Y,

,\ZABM+ZCBN=30°,

:.ZNBH=NCBH+/CBN=33，

.・.ZNBM=ZNBH,

・.•BM=BH,BN=BN,

:2BM三,BH,

:.MN=NH=x,

vZBCH=ZA=60°,CH=AM=n.

ZNCH=\20°,

m,〃为边长的三角形&VCW是钝角三角形，

应选：C.

【点评】此题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的

关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

8.（2021•南平模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,

连接。P,将直线。尸绕点尸顺时针旋转使NDPG=NZMC,且过。作Z）GJ_PG,连接CG,

那么CG最小值为（）

【答案】D

【考点】LB：矩形的性质；R2：旋转的性质

【专题】556：矩形菱形正方形；558：平移、旋转与对称

【分析】如图，作。HJ_AC于”，连接HG延长HG交C。于尸，作“£J_C。于证明

AAOQAD//G,推出NO〃G=ND4P=定值，推出点G在射线板上运动，推出当CG_LH£

时，CG的值最小，想方法求出CG即可.

【解答】解：如图，作O"_LAC于H,连接”G延长“G交8于尸，作HELCD于H.

\DG.LPG,DHLAC,

:.ZDGP=ZDHA,

••NDPG=NDAH,

:./SADH^/SPDG，

ADDH

ZADH=/PDG，

DPDG

：.ZADP=ZHDG,

：.MDP^ADHGf

ZDHG=ZDAP=定值，

.•.点G在射线加上运动，

.•.当CG，”F时，CG的值最小，

・・,四边形ABC。是矩形，

/.ZADC=90°,

ZADH+ZHDF=90°,

•••NZW/+ZAE>"=90。，

:・ZHDF=ZDAH=ZDHF,

:.FD=FH,

•/AFCH+ZCDH=90°,NFHC+NFHD=90。,

:./FHC=/FCH,

FH=FC=DF=1.5,

在RtAADC中，・・・NAT>C=90。，AD=4,8=3,

后

/.A“C=yJ32~+4F2=5c,DH=-A--D--^-D--C-=—12,

AC5

CH=y]CD2-DH2=1,

r,DH、CH36

CD25

•・/CFG=ZHFE,/CGF=/HEF=90。,CF=HF,

:.^CGF=AHEF(AAS)f

2A

:.CG=HE=—,

25

.•・CG的最小值为迎，

25

应选：D.

【点评】此题考查旋转变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和

性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形核或全等

三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

9.(2021•定陶区三模)如图，函数y=o?+版+c的图象过点(-1,0)和(见0),请思考以下

判断：

①abc<0;②4a+c<2b；③-=1；④anv+(2a+b)m+a+b+c<0；⑤

cm

|a-+a|=1b。-4ac正确的选项是()

A.①③⑤B.①②③④⑤C.①③④D.①②③⑤

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点的坐标特征

【专题】535：二次函数图象及其性质

【分析】①利用图象信息即可判断：②根据x=-2时，y<0即可判断；③根据加是方程

or?+fer+c=0的根，结合两根之积-机=£,即可判断：④根据两根之和-1+"?=-2,

aa

可得ma=a—h可得

anr+(2a+b)m+a+b+c=ani2+bm+c+lam+a+/?=2a-2Z?+a+b=3a-b<0,⑤根

据抛物线与x轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断；

【解答】解：・・・抛物线开口向下，

「.avO，

・・•抛物线交y轴于正半轴，

/.c>0,

•.一>0,

2a

abc<0,故①正确，

•.•%=—2时，y<0,

：Aa—2b+c<Qy即4a+cv2/?,故②正确，

•/y=ax2+bx+c的图象过点(-1,0)和(m,0),

,C2I八

/.-lx/n=—,am+bm+c=0,

a

amb1八

二.——+—+—=0，

ccm

故③正确，

cm

,b

*：-\+m=——，

a

/.—a+am=­b,

:.am=a—b，

•/am2+(2a+h)m+a+h+c

=am2+btn+c+2am+a+b

=2a—2b+a+b

=3a-b<09故④正确，

1—b+b~—4tzc-b—b~-A-cic

H7+1=------------------------------------------,

2a2a

y/b1-4ac

.・.m+1=|-------------1,

a

：.\am+a\=\Jb2-4ac,故⑤正确,

应选：B.

【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数），=⑪2+法+以“x0）,二

次项系数。决定抛物线的开口方向：当4>0时，抛物线向上开口；当4<0时，抛物线向

下开口；一次项系数6和二次项系数。共同决定对称轴的位置：当“与6同号时（即

ab>0）,对称轴在y轴左；当°与人异号时（即必<0）,对称轴在y轴右；常数项c决

定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0,c）；△决定抛物线与x轴交点个数：△

=6-4牝>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=〃-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交

点；△=/-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

10.（2021•呼和浩特）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（

A.607B.707rC.90%D.160万

【考点】U3：由三视图判断几何体

【专题】121：几何图形问题；63：空间观念

【分析】易得此几何体为空心圆柱，圆柱的体积=底面积x高，把相关数值代入即可求解.

【解答】解：观察三视图发现该几何体为空心圆柱，其内圆半径为3,外圆半径为4,高为

10,

所以其体积为10X（42%-3%）=70万，

应选：B.

【点评】此题考查了由三视图判断几何体的知识，解决此题的关键是得到此几何体的形状，

易错点是得到计算此几何体所需要的相关数据.

11.（2021•山西）如图，点E在正方形A3CD的对角线AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG

的两直角边£F、EG分别交BC、DC于点M、N.假设正方形438的边长为a,那

么重叠局部四边形㈤WCV的面积为（）

3499

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质

【专题】121：几何图形问题；16：压轴题

【分析】过E作EP_LBC于点P,EQ_LC£＞于点Q,\EPM£\EQN,利用四边形£MCV

的面积等于正方形PCQE的面积求解.

【解答】解：过E作EP_L8C于点尸，EQ^LCD于点Q,

G

•.•四边形A8CD是正方形,

,-.ZBCD=90°,

又ZEPM=NEQN=90°,

:.ZPEQ=90°,

ZPEM+ZMEQ=90°,

•.•三角形FEG是直角三角形，

NNEF=NNEQ+ZMEQ=90°,

NPEM=NNEQ,

AC是NBCD的角平分线，NEPC=NEQC=90°,

:.EP=EQ,四边形PCQE是正方形，

在AFPM和AEQN中，

NPEM=ZNEQ

<EP=EQ,

NEPM=NEQN

:.AEPM=AEQN（ASA）

,**S&EQN=S.PM，

：.四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，

正方形ABCD的边长为a,

AC=,

•.EC=2AE,

“2V2

EC=--a,

3

.\EP=PC=-a,

3

正方形PCQE的面积=4x4=2",

339

A

：.四边形EMCN的面积=-a2,

9

应选：D.

【点评】此题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助

线，证出AEPM三AEQN.

12.（2021•牡丹江）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，那么

搭成该几何体的小正方体的个数最少是（）

A.3B.4C.5D.6

【考点】U3：由三视图判断几何体

【专题】1：常规题型；63：空间观念

【分析】根据三视图的知识，主视图是由4个小正方形组成，而左视图是由4个小正方形组

成，故这个几何体的底层最少有3个小正方体，第2层最少有1个小正方体.

【解答】解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有1+1+1=3个小正方体，

第二层最少有1个小正方体，

因此组成这个几何体的小正方体最少有3+1=4个.

应选：B.

【点评】此题考查了由几何体判断三视图，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,

同时也表达了对空间想象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖,

左视图拆违章”就容易得到答案.

13.(2021秋•南宫市校级期中〕a,b.c是正整数，a>h,且。？-a6-ac+bc=ll,那么

a-c等于()

A.-1B.-1或一11C.ID.1或11

【考点】59：因式分解的应用

【专题】2B：探究型；11：计算题；69：应用意识

【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解.

［解答］解：a1—ab-ac+be=\\

(a2-ab)-(ac-be)=11

a(a-b)-c(a-b)=\\

(«-b)(a-c)=11

•/a>b,

.'.a-b>0>a,b,c是正整数，

:.a-b=\11,a-c=ll或1.

应选：D.

【点评】此题考查了因式分解的应用，解决此题的关键是掌握分组分解法分解因式.

14.(2021•茨城区校级一模)如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,P是AB

边上一动点，尸£>，4。于点。，点£：在「的右侧，且PE=1,连接CE,P从点A出发，

沿43方向运动，当E到达点3时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影局部面积E+邑

的大小变化的情况是()

A.一直减小B.一直增大C.先增大后减小D.先减小后增大

【答案】D

【考点】相似三角形的判定与性质

【专题】推理能力；计算题；图形的相似；运算能力

【分析】设P£>=x,AB边上的高为/?,想方法求出A。、〃，构建二次函数，利用二次函

数的性质解决问题即可.

【解答】解：在Rt^ABC中，vZACB=90°,AC=4,BC=3,

/.AB=y]AC2+BC2=V32+42=5,设9:X,AB边上的高为

,AC.BC12

h=----------=—

AB5

•;PDIIBC,

.•.AADPSAACB

PDAD

BCAC

45

/.AD=—XfPA=—x

33

141//5、1222r242333

Sc,+cS-,=—•—X*XH—(4—x)»—=-x-2.xH-----=—(Zx—x)2H-----

'-23235353210

・•.当Ovxv］时，¥+§2的值随工的增大而减小,

当掇Ik4时，耳+S的值随x的增大而增大.

应选：D.

【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理

等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考

题型.

15.(2021秋•平阴县期中)如图，A，4,A?,…A,,,…是x轴上的点，且

0A=442=44-..=41%..=1,分别过点A，4,A?.........A,,,…作x轴的垂线

交反比例函数y=l(x>o)的图象于点4，B,,B、，…,纥，…，过点B,作B,q_LAg

X

于点6，过点名作员于点鸟…，记员的面积为5，△为鸟员的面积为

邑+邑+…+S”等于(

C，D

n+1n+12(/?+1)-葛

【考点】38：规律型：图形的变化类；G5：反比例函数系数％的几何意义；G6：反比例函

数图象上点的坐标特征

【专题】534：反比例函数及其应用

【分析】由3=A4=4A”.=AiA,=1可知4点的坐标为(1,乂)，与点的坐标为

(2,y2),B3点的坐标为(3,%)…纥点的坐标为(〃,")，把x=l，x=2,x=3代入反比例

函数的解析式即可求出必、丫2、丫3的值，再由三角形的面积公式可得出耳、.、S,...Sn

的值，故可得出结论.

【解答】解：,.•0A=A4=4A="，=AI-I4=I，

I

.,.设8(1，X),B2(2,y2),B3(3,y3),...Bn{n,yn),

•・•耳，B,,4…在反比例函数y=，x>0)的图象上,

X

23〃

1•Si=^xlx(y1-y2)=^xlx(l-i)=

S2=gxlx(%-%)=gx(g-g)；

S3=；x]x(%_%)=；x(g_；)；

+——+...+—-----)=------

S.4-S2+S?+...+S——(1-----1--------

123^222334nn+\2(〃+1)

应选：C.

【点评】此题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函

数的解析式是解答此题的关键.

二、填空题（共15小题）

16.（2021秋•成都期末）如图，a,b,c分别是RtAABC的三条边长，ZC=90°,我们把

关于x的形如y=@x+2的一次函数称为''勾股一次函数"，假设点尸（1,3叵）在"勾股一次

cc5

函数”的图象上，且RtAABC的面积是5,那么c的值是5.

【考点】一次函数图象上点的坐标特征

【专题】一次函数及其应用

【分析】依据题意得到三个关系式：a+b=^-c,ab=10,a2+b2=c2,运用完全平方公

5

式即可得到c的值.

【解答】解：•.•点P（l,2）在“勾股一次函数“y=2的图象上，

5cc

3rzabni..3V5

5cc5

又•・・〃，b,c分别是RtAABC的三条变长，ZC=9O°,RtAABC的面积是5,

—ab=5即"=10,

2

又・・・储+从=c2f

（a+h）2-2ah=c2,

即，（竽C）2—2X10=C2,

解得c=5,

故答案为：5.

【点评】此类考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的

材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键.

17.(2021•武汉模拟)对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当-探/1时，

-啜/1,那么称这个函数为“闭函数".例如：y=x,y=—x均是“闭函

数".y=ar2+bx+c(aH0)是“闭函数"，且抛物线经过点和点是(-1,1),那么。的

取值范围是_a<0或0</，g_.

【考点】二次函数图象上点的坐标特征

【专题】常规题型

【分析】把A、8的坐标代入函数解析式，即可求出a+c=0,匕=-1,代入得出抛物线表

达式为尸小-x-a(awO),得出对称轴为x=-L,再进行判断即可.

2a

【解答】解：•.•抛物线丫=加+公+。("0)经过点A(l,-1)和点

a+Z?+c=—1①。―1②

①+②得：a+c=O即a与c互为相反数，

①一②得：h=-\；

所以抛物线表达式为y=ax2-尤-。(〃工0),

对称轴为x=，

2a

当avO时，抛物线开口向下，且工='<0,

2a

.・•抛物线y=QY-x-a(a#O)经过点和点,

同理，当a>0时，抛物线开口向上，S.x=—>Q,

2a

综上所述：a的取值范围是a<0或0<q,』，

22

故答案为：a<0或0<q,'.

22

【点评】此题考查了二次函数的图象和性质和二次函数图象上点的坐标特征，能灵活运用性

质和函数的新定义求解是解此题的关键.

18.（2021•成都）如图，在边长为2的菱形A3CD中，ZA=60°,M是AQ边的中点，N是

45边上的一动点，将A/VWN沿MN所在直线翻折得到△AMN,连接次C,那么HC长度

的最小值是一近-1_.

【答案】77-1.

【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的性质

【分析】根据题意，在N的运动过程中A，在以〃为圆心、4）为直径的圆上的弧4）上运

动，当AC取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、H、C三点共线，得出4的位置,

进而利用锐角三角函数关系求出A，C的长即可.

【解答】解：如下图：:Mf是定值，4C长度取最小值时，即A在上时，

过点M作叱，£>C于点F,

・••在边长为2的菱形A3CD中，ZA=60°,M为AD中点,

:.2MD=AD=CD=2,乙FDM=析,

:,NFMD=30。,

：.FD=-MD=-,

22

FM=DMxcos30°=—,

2

MC=VFM2+CF2=S,

:.NC=MC-MN=^.

故答案为：A/7—1.

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出H点位置是解题

关键.

19.(2021•咸宁一模)假设关于x的分式方程二-+毋匚=-2-无解，那么加=

X—2x~—4x+2

-4或6或1.

【考点】B3：解分式方程

【专题】11：计算题

【分析】该分式方程二一+4"=二一无解的情况有两种：(1)原方程存在增

x-2x-4x+2

根；(2)原方程约去分母后，整式方程无解.

【解答】解：(1)》=-2为原方程的增根，

止匕时有2(x+2)+mx=3(x—2),即2x(-2+2)-2m=3x(-2-2),

解得m=6.

(2)x=2为原方程的增根，

止匕时有2(x+2)+mx=3(x-2),即2x(2+2)+2M=3x(2-2),

解得m=-4.

⑶方程两边都乘(x+2)(x-2),

得2(x+2)+/nx=3(x—2)，

化简得：（〃z-l）x=TO.

当加=1时，整式方程无解.

综上所述，当〃?=-4或/"=6或加=1时，原方程无解.

【点评】分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无

解的情形.

20.（2021•淳安县自主招生）如图，在矩形中，点E是4）的中点，连结将AABE

沿着5E翻折得到AABE,EF交BC于点、H,延长所、ZX7相交于点G,假设。G=16,

21

8c=24,那么/7/=_—

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）

【分析】连结GE,根据折叠的性质和矩形的性质可得A£FG与AEZX7是直角三角形，

DE=AE=FE,再根据“L即可证明A£FG=A£ZX7.根据全等三角形的性质可得

DG=FG=\6,nJiSl：AB=BF=DC=x,在RtABCG中，根据勾股定理可求班1的长，

再在RtABFH中，根据勾股定理可求"7=8"的长.

【解答】解：连结GE.

•.•E是边AD的中点，

;.DE=AE=FE,

又•.•四边形ABC。是矩形，

,ZD=ZA=ZBFE=90°,

ZD=ZEFG=90°.

在RtAEFG与RtAEDG中，

{EF=ED

]EG=EG'

RtAEFG三RtZkEDG(HL)；

:.DG=FG=16,

设。C=x,那么CG=16-x,8G=x+16

在RtABCG中，

BG2=BC-+CG1,

即(X+16)2=(16-X)2+242,

解得x=9,

.AD/IBC,

：.ZAEB=NCBE,

•;ZAEB=ZFEB,

:.NCBE=NFEB,

：.BH=EH,

设BH=EH=y,那么切=12-y,

在RtABFH中，

BH2=BF-+FH-,

即y2=9?+(12-y)2,

解得产炎，

sc7521

/.12—y=12-----=—・

88

故答案为：—.

8

【点评】考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：折叠的性质，矩形的性质，全等

三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性较强，有一定的难度，关键是作出辅助线构

造全等三角形.

21.（2021•芜湖三模）等边三角形A8C中，AB=3,点。在直线8c匕点E在直线AC上,

QQ

且NBAD=NCBE,当8£）=1时，那么/1E的长为2或4或乙或2.

---------------2~4~

【考点】AY：三角形综合题

【专题】16：压轴题

【分析】分四种情形分别画出图形，利用全等三角形或相似三角形的性质解决问题即可;

【解答】解：分四种情形：

①如图1中，当点。在边上，点£在边AC上时.

•.•A4BC是等边三角形，

:.AB=BC=AC=3,ZABD=ZBCE=60。,

•;ZBAD=NCBE,

:./SABD^/!^BCE(ASA),

:.BD=EC=\,

:.AE=AC-EC=2.

②如图2中，当点。在边8c上，点E在AC的延长线上时.作EF//A8交8c的延长线于F.

•.-ZCEF=ZC4B=60°,ZECF=ZACB=O)°,

.•.AECF是等边三角形，设EC=CF=EF=x,

-.•ZABD=ZBFE=f^°,ZBAD^ZFBE,

二■BD^MFE,

.BDAB

13

•.一=------»

xx+3

3

..X——,

2

9

...AE=AC+CE=-

2

③如图3中，当点。在C8的延长线上，点后在AC的延长线上时.

vZABD=ZBCE=120°,AB=BC,ZBAD=ZFBE,

:.AABD=ABCE(ASA)，

,\EC=BD=\,

:.AE=AC+EC=4.

④如图4中，当点。在C8的延长线上，点石在边AC上时.作EF//AB交8C于尸，那么

AEFC是等边三角形.

设EC=EF=CF=m,

由AABAASEE,可得处=些,

EFBF

,1_3

••——t

x3-x

3

..x=一,

4

9

AE=AC-EC=-,

4

综上所述，满足条件的AE的值为2或4或2或

24

故答案为2或4或2或2.

24

【点评】此题是三角形综合题、考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三

角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅

助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

22.（2003•成都）如图，过矩形ABCD的对角线上一点K分别作矩形两边的平行线MN

与PQ,那么图中矩形41办T的面积S,与矩形QCNK的面积邑的大小关系是3_=

邑；（填“>"或或"="）

【考点】K3：三角形的面积；LB-.矩形的性质

【专题】14：证明题；152：几何综合题；16：压轴题

【分析】根据矩形的性质，可知的面积等于AC/M的面积，的面积等于AQKB

的面积，APKD的面积等于的面积，再根据等量关系即可求解.

【解答】解：•.•四边形A88是矩形，四边形M8QK是矩形，四边形是矩形，

•.A4BZ）的面积的面积，AMBK的面积=AQKB的面积，APKO的面积=A/VDK的

面积，

•.AAB。的面积-AMBK的面积-APKZ）的面积=\CDB的面积一XQKB的面积=ANDK的面

积，

故答案为S]=S2.

【点评】此题的关键是得到^ABD的面积等于bCDB的面积，AMBK的面积等于kQKB的面

积，APK。的面积等于&VDK的面积，依此即可求解.

23.[2002•四川)个=3,那么亚+出的值是—±26

【考点】78：二次根式的加减法

【专题】16：压轴题

【分析】先化简，再分同正或同负两种情况作答.

【解答】解：因为孙=3,所以x、y同号，

于是原式=察+),杼/历+木向5

当x>0,y>0时，=y[xy+Jxy=2^3；

当x<0,y<0时，原式=-^/^+(-7^)=-2百.

故原式=±26.

【点评】此题比拟复杂，解答此题时要注意x,y同正或同负两种情况讨论.

24.(2021•郸都区模拟)在AA8C中，ZACB=9Q°,BC=8,AC=6,以点C为圆心，4

为半径的圆上有一动点。，连接4),BD,CD,那么1B£)+A。的最小值是2M.

2一一

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；SA：相似三角形的应用

【专题】559：圆的有关概念及性质；552：三角形

【分析】如图，在C8上取一点F,使得C尸=2,连接fD,AF.由AFC3ADCB,推

DFCF111

出一=—=一，推出。”=一3。，推出一BD+AO=O尸+AF,根据+AD.A/即可

BDCD222

解决问题；

【解答】解：如图，在CB上取一点尸，使得CF=2,连接㈤，AF.

.•.8=4,CF=2,CB=8,

:.CD?=CF・CB,

CDCB

..—,

CFCF

,;/FCD=/DCB,

DF_CF_l

而一而一5'

：.DF=-BD,

2

-BD+AD=DF+AF,

2

■.DF+AD..AF,AF=y/22+62=2710.

,BO+AO的最小值是2折，

2

故答案为2曲.

【点评】此题考查相似三角形的应用，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

25.（2021秋•青羊区期末）如图，平面直角坐标系中，直线y=x上一点尸（2,2）,C为y轴

上一点，连接PC,线段PC绕点P顺时针旋转90。至线段PD,过点£＞作直线ABJ_x轴,

垂足为8,直线45与直线y=x交于点A,连接CD,直线CD与直线y=x交于点Q,

当AOPCMAADP时，那么C点的坐标是_（0,4+2夜）。点的坐标是.

【考点】FF：两条直线相交或平行问题；KA：全等三角形的性质；R7：坐标与图形变化

-旋转

【专题】46：几何变换

【分析】过P点作x轴的平行线交y轴于V,交AB于N,如图，设C(O,r),OP=2y/2,

OM=BN=PM=2,CM=t-2,利用旋转性质得尸C=PZ),ZCP£>=90°,再证明

△PCM三ADPN得至ijPN=CM=f-2,DN=PM=2,于是得到。亿4),接着利用

△OPCnAADP得到AO=O尸=20,那么4亿4+2也)，于是利用y=x图象上点的坐标

特征得到f=4+2后，所以C(0,4+2后)，0(4+272,4),接下来利用待定系数求出直

线CZ)的解析式为y=(l-夜)x+4+20,那么通过解方程组厂广可

y=(l-V2)x+4+2V2

得。点坐标.

【解答】解：过尸点作工轴的平行线交y轴于交AB于N,如图，设C(Oj),

二.P(2,2),

.・.OP=2点，OM=BN=PM=2,CM=t-2,

•・•线段PC绕点、P顺时针旋转90°至线段PD,

:.PC=PD,ZCPD=90°,

:,ZCPM+ZDPN=90°,

而ZCPM+ZPCM=90°,

/.NPCM=ZDPN,

在APCM和AZ»W中

/PMC=NDNP

</PCM=ZDPN,

PC=DP

.\^PCM=ADPN,

:.PN=CM=t-2,DN=PM=2,

/.MN=/—2+2=/,DB=2+2=4>

/.O«,4),

vAOPC=A4Z)P,

AD=OP=2应,

4。,4+20),

把A(f,4+2近)代入y=x得t=4+2夜，

C(0,4+2&),0(4+272,4),

设直线CD的解析式为y=kx+b,

"=4+y,解得.k=\-42

把C(0,4+2及)，。(4+2夜,4)代入得.

(4+2&)&+6=4〃=4+2&’

直线CD的解析式为j=（l-&）x+4+2血,

y=xx=2夜+2

解方程组〈得

y=(l-应)x+4+20j=2垃+2

二。(2亚+2,2V2+2).

故答案为（0,4+2夜），（2夜+2,2夜+2）.

【点评】此题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的

特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60。，90°,

180°.会应用全等三角形证明线段相等，理解坐标与图形性质.

26.12021秋•芦溪县期中）假设|〃-2|+《一份2=0,那么。

【考点】16：非负数的性质：绝对值；1/：非负数的性质：偶次方

【分析】根据非负数的性质列出方程求出。、〃的值，代入所求代数式计算即可.

2=0

【解答】解：根据题意得：2，

——b=0

13

a=2

解得：2.

b=—

3

那么原式=