人教A版高中数学第四章《指数函数与对数函数》易错题训练 (二)(含答案解析)

第四章《指数函数与对数函数》易错题专题训练（2）

一、单选题(本大题共20小题，共100.0分)

1.设％=(}：,y-z=log/3,贝女)

A.x<y<zB.y<z<xC.z<x<yD.z<y<x

2.设集合M={y|y=ER},N={x|y=log。。+1),Q>0,aW1},则M与N的关系是()

A.MuNB.MnNC.M=ND.McN=(p

3,已知a是函数/(%)=2"-1。。¥的零点，若O<%O〈Q,则/(%)的值满足()

A./(%0)=0B./(x0)>0

C./(x0)<0D./(&)的符号不确定

4.已知集合4={久|%2v4},B={%|]og2%V1},则()

A.BQAB.AQBC,A=BD.4nB=0

5.设全集U=R,A={x\y=Ig(%2-%-6)},B={y\y=2x,x<0},则4U(QB)=()

A.[x\x<-2或%>1}B.[x\x<0或%>1}

C.{x\x<-2或x>3}D.{x|-3<%<3}

6.已知loga?<1则a的取值范围是()

oo

A.0<a<-或a>1B.-<a<1

44

C.a<74D.a>74

7.已知集合4={x|lgx<g,B={y|y=4-10x},则()

A.ACiB(-x,\/T(j)B.AUB=(—00,4]

C.4是B的真子集D.8是4的真子集

8.下列函数既是偶函数，又是(0,1)上的减函数的是()

A.y=(%—I)2B.y=COSTTXC.y=ln|x|D.y=ex-e~x

9.设a=2。2,6=cos5,c=log20.2,则a,9c的大小关系正确的是()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

10.已知集合庆=值|1083(4-*)<1},B={X|4XT>8},若全集为实数集R,则A[(CRB)=()

CD

A'(-8图B.(2,4)-仔4）-(W]

11.设a=log*l,b=logi|,c=C)°\则

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

12.已知a=6/b=log22VLc=1.22,则a,b,c的大小关系是()

A.b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c

13.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组

成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义：能够将圆。的周

长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.

给出下列命题：

①正弦函数y=sinx可以是无数个圆的“优美函数”；

②函数/0)=需三+》2。19可以是无数个圆的“优美函数”；

③函数f(x)=ln(x2+eF)可以是某个圆的“优美函数”；

④函数y=/(x)是“优美函数”的充要条件为函数y==f(x)的图象是中心对

称图形.其中正确命题的序号是()

A.①③④B.①②C.②③D.①②④

14.已知a=2总b=l°g37»c=1081?则()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

15.已知a=log202b=20,2,c=O.203,则

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

16.已知集合4={a|loga3>1},B=[a\3a>9},则4n(CR8)=

A.(0,3)B.(1,3)C.(0,2]D.(1,2]

17.己知Q=25,b=log2c=logi则()

J3“

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.c<b<a

18.若a>b>l,0Vc〈l,则下列结论正确的是()

cc

A.a<bB.a\ogbc<b\ogac

cc

C.ab<baD.logac<loghc

19.定义在R上的函数/(x)同时满足:①对任意的xeR都有/(%+1)=/(%)；②当x6(1,2］时，

f(x)=2-x.若函数g(x)=f(x)-logaMa>1)恰有3个零点，则a的最大值是()

A.5B.2C.3D.4

20.下列命题正确的个数为()

①“a=1”是“/(x)=2以为指数函数”的充要条件；

②“a=1”是“f(x)=Iog2(ax)为对数函数”的充要条件；

③“a=1”是“函数f(x)=空三+/条的最小值为2”的必要不充分条件；

④“a=l”是“直线x+ay+2=0与直线ax—y+l=0垂直”的充要条件.

A.1B.2C.3D.4

二、多选题(本大题共1小题，共5.0分)

21.下列函数中在区间(0,1)上单调递减的函数有()

A.y=«B.y=logi(x+l)C.y=|x-l|D.y=2X+1

三、单空题(本大题共3小题，共15.0分)

losix%>0

w，'则/(/(16))=________.

(5Z+3,X<0,

23.已知一元二次不等式/(x)>0的解集为(—8,1)U(2,+8),则/(Igx)<0的解集为

24.已知2m=5相=10,则三+三=.

mn

四、多空题(本大题共3小题，共15.0分)

25.总+lne3=——；0.0625《+展—(一①)。一料=——.

26.计算：喀曰=,2】喻3+1叫3=.

27.已知2a=3,则4a+4-a=_(D_,log“8=_(2)_(用a表示)

五、解答题(本大题共3小题，共36.0分)

28.求值：

(1)(Ig5)(lg8+IglOOO)+(lg2〃)2+ig+igo.06

6

11c313

(2)(2-)2-(-9.6)°-(3-)-2+(1.5)-2

4o

29.(1)已知幕函数f(x)=xa的图象经过点(2,日)，求/(16)的值；

*

(2)化简求值：(〒)05+-(2-Jr)0+5以0+log6-210ge

43s

30.函数/'(x)=也(7一2x—3)的定义域为集合4,函数9。)=2，一&。£2)的值域为集合8.

(1)求集合4,B；

(2)已知命题命题q:m€B,若「p是「q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：

本题考查借助指数函数性质与对数函数性质比较大小，属于基础题.

由指数函数和对数函数的单调性判断数值与-1、0的大小关系即可求解.

解：由题意可知，X=(1)3>0，

,1,1«

y=log-<log-=-l,

5o5b

z=10gi3>10gi4=-1,又可知z<o,

44

故y<z<x,

故选8.

2.答案：A

解析：

本题考查集合的包含关系的判断，涉及指数函数、对数函数的性质，属于基础题，注意M是指数函

数的值域，N是所给函数的定义域.

解：M={y\y>0,yGR],N={x\x>—l,xGR),MuN.

故选A.

3.答案:C

解析：

本题主要考查函数的零点的定义，函数的单调性的应用，属于基础题.

根据零点的定义求解.

解：•."(%)=2*Tog/在(0,+8)上是增函数，

a是函数f(x)=2'-的零点,

即/(a)=0,

二当0<x0<a时,/(x0)<0,

故选C.

4.答案：4

解析：

本题考查集合的包含关系，不等式的解法，对数函数的性质，属基础题.

求出集合4与集合B,在进行判断.

解：因为<={x，<4}={x|-2<x<2},

B=|x|log2x<1}={x[0<x<2},

所以

故选A.

5.答案：B

解析：

本题考查指数函数、对数函数的性质，集合的混合运算，属基础题.

分别求出集合4集合8,再求出答案.

解：因为4={x|y=lg(%2-%—6)},所以/一%-6>0,解得％<—2或x>3,

所以A={x\x<-2或%>3],

因为B=[y\y=2x,x<0},所以8={y|0<y<1},

所以4U(QB)={x\x<0或久>1),

故选艮

6.答案：4

解析：

本题主要考查了对数函数及其性质，考查分类讨论思想，属于简单题.

根据题意对0<a<1和a>1分情况讨论即可.

解：；<1，即1。以；<I%。，

当Q>1时，；VQ,

a>1成立；

当0vQV1时，->a,

4

八

0<a<-3,

4

・•.Q的取值范围为0VQV;或a>1,

4

故选人

7.答案：C

解析：

本题考查了集合的基本关系和基本运算，考查了对数函数和指数函数的性质，属于基础题.

求解出集合4、集合B的具体范围，然后利用集合的基本关系和基本运算逐个判断.

解：由1g%<［得4=(0.V10),

由1(F>0得B=(-00,4),

则ACB=(0,VTU)，Ai)B=(-oo,4),4是8的真子集.

故选C.

8.答案：B

解析：

本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性及单调区间，涉及到二次函数，指数函数，对数函数性质

的应用，属于基础题.

根据函数的图象和性质逐一判断即可.

解：A.y=(x-1)2,图象关于直线x=l对称，在(0,1)上递减，不是偶函数，此选项错误；

B.y-cosnx,是偶函数，且在(0,1)上递减，此选项正确；

C.y=ln|x|,是偶函数，在(0,1)上递增，此选项错误；

D.y=ex-e-x,是奇函数，而不是偶函数，此选项错误.

故选8.

9.答案：A

解析：

本题主要考查了指对•数函数的性质、各象限三角函数值的符号，属于基础题.

根据指数函数性质知a>1,由对数函数性质知c<0,由5弧度是第四象限角知0<b<1,

从而得解.

02

解：a=2>2°=l,c=log20.2<log2l=0,

•••525x57.3。=286.5。，.••5弧度是第四象限角，.••cos5C(0,1),

■■a>b>c.

故选A.

10.答案:D

解析：

本题考查了不等式的运算、集合的交集和补集运算，属于基础题.

根据条件先把集合4和B运算出来，然后再补集和交集即可.

解：由log3(4—x)<l,得解得l<x<4.

故4={x|l<x<4}.

由4，T>8,得22丫-2>23,解得%>|.

故B={%[>|j,

则CRB={%«w|},

所以AC(CRB)=(I,|],

故选。.

11.答案：C

解析：

本题主要考查指数函数的性质，对数函数的性质，以及比较大小.

依据对数的性质，指数的性质，分别确定a、b、c数值的大小，然后判定选项.

解：由题得a=•ogl11<log?=0,b=logi|>log,=1,o<c=(i)01<=1，

所以a<c<b

故选C.

12.答案：C

解析：

本题主要考查了对数函数和指数函数及其大小比较，考查计算能力和推理能力，属于基础题.

根据对数函数和指数函数的性质即可推出a,b,c的范围，从而得到它们之间的关系.

解：C=1.22-1.44>

T7■1-i/3\327

(3

乂a=651,.a=(6^)3_6，：c<(9)=凶<6，

■.a>b>c,

故选：C.

13.答案：B

解析：

本题考查命题真假的判断，涉及函数的奇偶性，单调性和函数的的图象，涉及三角函数，对数函数，

指数函数的性质，函数的性质的应用，属于中档题.

根据定义，函数的奇偶性，单调性，结合图象的性质逐项判断即可.

解：将圆的圆心放在正弦函数y=s讥久的对称中心上，则正弦函数y=sinx是该圆的“优美函数”；

故有无数个圆成立，故①正确；

函数f(为=黑白+/。19的定义域是R,/(-X)=翳m+(―x)2019=-/019=—g

・•./(乃=器房+/。19是奇函数，将圆心放在原点，故对于任意一个圆。，都是优美函数，故②正

确；

函数/•Q)=lnQ2+石E)是偶函数，在x>0时是单调递增的，大致图象如图1,故其不可能为圆

的“优美函数”；・•.③不正确；

函数y=/(x)的图象是中心对称图形，则y=/(x)是“优美函数”，但函数y=/(x)是“优美函数”

14.答案：C

解析：解：；1=2。<a=2与<25<1.5,

b=log3|<log3l=0,

c=log->log：嘉=1.5,

■.c>a>b.

故选：C.

利用对数函数、指数函数的单调性求解.

本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的单调性

的合理运用.

15.答案：B

解析：

本题主要考查对数函数，指数函数的性质，属于基础题.

利用中间值0,1和对•数函数和指数函数的单调性求解即可.

解：a=log20.3<log2l=0

b=20-3>2°=1

0<c=O.302<0.3°=1

故a<c<b.

故选B.

16.答案:D

解析：

本题考查集合的混合运算，属于基础题.求出集合4B,计算CRB,继而求得结果.

解:因为4={a|loga3>l}=(l,3),B={a|3a>9}=(2,+8),

所以CRB=(-oo,2],

所以4n(CRB)=(1,2].

故选。.

17.答案：A

解析：

本题主要考查实数大小的比较，指数函数与对数函数的性质，属于基础题.

根据指数函数和对数函数的性质比较大小即可.

解：因为a=23>1>

b=log2^<0,

0<c=logi1<1,

■.b<c<a,

故选A.

18.答案：B

解析：

本题主要考查指数函数及对数函数的性质，属于中档题.

根据指数函数及对数函数的性质对选项进行分析，从而得出正确选项.

解：A.-a>b>1,0<c<1,

ac>bc,故A错误；

B.a\ogbc=a

Iogcb\ogcb

b\ogac=b^^-=

logcaIogca

ab_a\ogca-b\ogcb_°gc豆，

logcdlogca\ogcb\ogcalogcalogcb

va>b>1,0<C<1,

：•aa>ba>bb即々>1,

fb0

•••logc0,logca<0,logch<0,

二急即alog*<blogaC,故B正确，

C.空=信产

bac\bj

va>6>1,0<c<1,

•,•工>1,1—c>0,

b

・・•(/>(9°=L

・,•竺；>1，即a/>ba与故C错误，

bac

D.：.a>b>l,0<c<l,

logac>logbc,故。错误.

故选B.

19.答案：C

解析：

本题主要考查函数与方程的应用，结合函数的周期性，利用数形结合转化为两个函数交点问题是解

决本题的关键.

根据条件得到/(X)是周期为1的周期函数，结合函数与方程的关系转化为/(X)与九(x)=loga%，有3个

交点，利用数形结合进行转化求解即可.

解：由/0+1)=/。)得函数的周期是1,

当xG(1,2］时，/,(%)=2-%.

•・•/⑴=/(2)=0,

令九(X)=logax,

当a>1时,h(x)=logaX为增函数,

要使-/(%)-logax(a>。且a+1)恰有3个零点，

即/(X)与九(X)=logaX的图象有3个交点，

2

则满足般广;:饕BP{®>gp2<a<3,

8(3)=loga3>I(-1<a<3

即实数a的最大值为3.

故选C.

20.答案：A

解析：

本题结合指数函数的概念、对数函数的概念、函数的最值及两直线垂直等知识考查充分条件、必要

条件的判断，考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.利用指数函数的定义判

断①，利用对数函数的定义判断②，利用换元法将函数化为g(t)=t+%根据对勾函数的性质，数

形结合判断③；根据两直线垂直的充要条件判断④.

解：当a=2时，/(x)=22X=小也是指数函数，必要性不成立，故①不正确.

根据对数函数的定义可知②正确.

设1=工户，贝设g(t)=t+*如图,

当a>l时，g(t)min=9(仿)=26=2,解得a=l,与前提矛盾；

当a<l时，g(t)min=5(1)=1+d=2,解得a=l,与前提矛盾；

当a=l时，5(f)min=5(Va)=2Va=2,解得a=l,符合前提.

所以应为充要条件，③不正确.

当a=l时，两直线为x+y+2=0,x-y+l=O,此时两直线的斜率之积为(-1)x1=-1,所

以两直线垂直；

当直线x+ay+2=0与ax-y+1=0垂直时，有(-/)-a=-1或a=0,所以④不正确.

综上所述，正确的只有②.

故选A.

21.答案:BC

解析：

本题考查的是函数的单调性.

根据对数函数、指数函数、基函数的单调性对选项逐一判断即可得出答案.

解：对于从函数y=返在［0,+8)上单调递增，故A错误；

对于B：函数丫=logjx+l)在(_i,+oo)上单调递减，故B正确；

对于C：函数"在(-8,1)上单调递减，在［1,+8)上单调递增，故C正确；

对于0：函数产2/一」在(-8,+8)上单调递增，故。错误；

故选BC.

22.答案：!

解析：

本题考查的知识点是函数求值，分段函数的应用，难度不大，属于基础题.

可先求出/(16),再将〃16)的值代入进行后面的计算即可得.

解：由题知f(/(16))=f(logil6)=/(-4)=5-4+3=1.

故答案为

23.答案：(10,100)

解析：

本题考查了对数的运算性质，考查了对数不等式的解法，属中档题.

由已知得一元二次不等式/(x)<0的解集(L2),根据l<，gx<2,即可得到答案.

解：由一元二次不等式/(X)>0的解集为(一8,1)U(2,4-00),

得/Q)<0的解集为(1,2),

=1<Igx<2—IglOO,

10<x<100,

故<0的解集为(10,100),

故答案为(10,100).

24.答案：1

解析：

本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力.

根据对数运算得到小，n,然后求解表达式的值.

2m=5"=10,

可得5=^2,：=lg5,

-m+-n=lg2+lg5=1.

故答案为：1.

25.答案：2

1

2

解析：

本题考查对数、指数的运算，解题的关键是掌握对数、指数的运算性质，是基础题.

(1)结合对数的运算性质计算即可；

（2）结合指数的运算性质计算即可.

解:高+^=-1+3=2.

0.06254+£-（一后）。-狩=0.5+2.5-1-1.5=

故答案为2；

26.答案：

3V3

解析：

本题考查对数函数和指数函数.

直接由对数的运算法则求解即可.

解：l°g2y-log2V2-log22=j-1=-1,

21og23+log43_210g23+log26=2,0。23旧=3次，

故答案为一卷，3A/3.

27.答案:?

1+2Q

-2-

解析：

本题考查了指数和对数的互化，指数幕与对数的运算，属基础题.

由2a=3,得（2。）2=9,再由4。=9得a=log49,结合对数运算公式将log49X2=log49+log42=

。+3=等，即可用含a的式子表示出来.

解：因为2a=3,则4a=（2。）2=9,

所以4a+4-a=9+2=£；

所以a=log49,

所以log418=log49x2=log49+log42=a+[=号^.

故答案为言等.

28.答案:解：(1)原式=Ig5(3lg2+3)4-(V3^2)2+lg(1x0.06)

=31g51g2+31g5+3lg22+lgl0~2

=3/g2ag5