2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换章末检测课时作业含解析北师大版必修4

PAGE第三章三角恒等变换章末检测(三)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知cosθ＝eq\f(1,3)，θ∈(0，π)则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋2θ))＝()A．－eq\f(4\r(2),9) B．－eq\f(7,9)C.eq\f(4\r(2),9) D.eq\f(7,9)解析：原式＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2×eq\f(2\r(2),3)×eq\f(1,3)＝eq\f(4\r(2),9).答案：C2．已知sinα－cosα＝eq\r(2)，α∈(0，π)，则tanα＝()A．－1 B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2) D．1解析：∵sinα－cosα＝eq\r(2)，∴(sinα－cosα)2＝2.∴sin2α＝－1，又α∈(0，π)，∴2α＝eq\f(3,2)π，α＝eq\f(3,4)π.则tanα＝taneq\f(3,4)π＝－1.答案：A3．已知sin(45°＋α)＝eq\f(\r(5),5)，则sin2α等于()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：sin(α＋45°)＝(sinα＋cosα)·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(5),5)，∴sinα＋cosα＝eq\f(\r(10),5).两边平方，∴1＋sin2α＝eq\f(2,5)，∴sin2α＝－eq\f(3,5).答案：B4．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，则eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．2 D．－2解析：∵α是第三象限角，cosα＝－eq\f(4,5)，∴sinα＝－eq\f(3,5).∴eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝eq\f(1＋\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)),1－\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)－sin\f(α,2))＝eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)－sin\f(α,2))·eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)＋sin\f(α,2))＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝eq\f(1－\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq\f(1,2).答案：A5．已知sin2α＝eq\f(3,5)(eq\f(π,2)＜2α＜π)，tan(α－β)＝eq\f(1,2)，则tan(α＋β)＝()A．－2 B．－1C．－eq\f(2,11) D.eq\f(2,11)解析：由sin2α＝eq\f(3,5)⇒tan2α＝－eq\f(3,4)，∴tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝eq\f(－\f(3,4)－\f(1,2),1＋\f(1,2)×－\f(3,4))＝－2.答案：A6．已知cosθ＝－eq\f(7,25)，θ∈(π，2π)，则sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)＝()A．－eq\f(7,5) B.eq\f(7,5)C．－eq\f(1,5) D.eq\f(1,5)解析：∵θ∈(π，2π)，∴eq\f(θ,2)∈(eq\f(π,2)，π)，∴sineq\f(θ,2)＝eq\r(\f(1－cosθ,2))＝eq\f(4,5)，coseq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1＋cosθ,2))＝－eq\f(3,5)，∴sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)＝eq\f(1,5)，故选D.答案：D7．已知tanα＝2，则eq\f(cos2α,sinα－cosα2)＝()A．2 B．－2C．3 D．－3解析：原式＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α－2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,tan2α－2tanα＋1)＝eq\f(1－4,4－4＋1)＝－3.答案：D8．已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，tan(β－eq\f(π,4))＝eq\f(1,4)，则tan(α＋eq\f(π,4))等于()A.eq\f(1,6) B.eq\f(13,22)C.eq\f(3,22) D.eq\f(13,18)解析：tan(α＋eq\f(π,4))＝tan[(α＋β)－(β－eq\f(π,4))]＝eq\f(tanα＋β－tanβ－\f(π,4),1＋tanα＋β·tanβ－\f(π,4))＝eq\f(\f(2,5)－\f(1,4),1＋\f(2,5)×\f(1,4))＝eq\f(\f(3,20),\f(22,20))＝eq\f(3,22).答案：C9．函数f(x)＝cos2x－2cos2eq\f(x,2)(x∈[0，π])的最小值为()A．－1 B．－1C.eq\f(5,4) D．－eq\f(5,4)解析：由题意，得f(x)＝cos2x－2cos2eq\f(x,2)＝cos2x－(1＋cosx)＝cos2x－cosx－1，设t＝cosx(x∈[0，π])，y＝f(x)，则t∈[－1,1]，y＝t2－t－1＝(t－eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)，所以当t＝eq\f(1,2)，即x＝eq\f(π,3)时，y取得最小值为－eq\f(5,4)，所以函数f(x)的最小值为－eq\f(5,4)，故选D.答案：D10．已知α、β∈(0，eq\f(π,4))，eq\f(tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq\f(1,4)，且3sinβ＝sin(2α＋β)，则α＋β的值为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(5π,12)解析：由条件得tanα＝eq\f(1,2)，又3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)⇒3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα⇒sin(α＋β)．cosα＝2cos(α＋β)sinα⇒tan(α＋β)＝2tanα＝1，∴α＋β＝eq\f(π,4).答案：B11．已知函数f(x)＝cos2(eq\f(π,4)＋x)－cos2(eq\f(π,4)－x)，则f(eq\f(π,12))等于()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)Bf(x)＝cos2(eq\f(π,4)＋x)－cos2(eq\f(π,4)－x)＝cos2(eq\f(π,4)＋x)－sin2(eq\f(π,4)＋x)＝cos2(eq\f(π,4)＋x)＝cos(eq\f(π,2)＋2x)＝－sin2x，则f(eq\f(π,12))＝－sineq\f(π,6)＝－eq\f(1,2)，故选B.12．已知tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,2)，且－eq\f(π,2)＜α＜0，则eq\f(2sin2α＋sin2α,cosα－\f(π,4))＝()A．－eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(3\r(5),10)C．－eq\f(3\r(10),10) D.eq\f(2\r(5),5)解析：由tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(1,2)，得tanα＝－eq\f(1,3).又－eq\f(π,2)＜α＜0，所以sinα＝－eq\f(\r(10),10)，故eq\f(2sin2α＋sin2α,cosα－\f(π,4))＝eq\f(2sinαsinα＋cosα,\f(\r(2),2)sinα＋cosα)＝2eq\r(2)sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．化简cos20°－cos40°－cos80°等于________．解析：原式＝cos20°－cos(60°－20°)－cos(60°＋20°)＝cos20°－2cos60°cos20°＝0.答案：014．已知向量a＝(4,3)，b＝(sinα，cosα)，且a⊥b，则tan2α＝________.解析：∵a⊥b，∴4sinα＋3cosα＝0，∴tanα＝－eq\f(3,4)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×－\f(3,4),1－－\f(3,4)2)＝－eq\f(24,7).答案：－eq\f(24,7)15．已知sin(α－eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)，α∈(0，eq\f(π,2))，则sinα＝________.解析：由α∈(0，eq\f(π,2))得α－eq\f(π,4)∈(－eq\f(π,4)，eq\f(π,4))，所以cos(α－eq\f(π,4))＝eq\f(4,5)，则sinα＝sin[(α－eq\f(π,4))＋eq\f(π,4)]＝sin(α－eq\f(π,4))coseq\f(π,4)＋cos(α－eq\f(π,4))sineq\f(π,4)＝eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7\r(2),10).答案：eq\f(7\r(2),10)16．设α是其次象限角，tanα＝－eq\f(4,3)，且sineq\f(α,2)＜coseq\f(α,2)，则coseq\f(α,2)＝________.解析：∵α是其次象限角，∴eq\f(α,2)可能是第一象限角或第三象限角．又sineq\f(α,2)＜coseq\f(α,2)，∴eq\f(α,2)为第三角限角，∴coseq\f(α,2)＜0.∵tanα＝－eq\f(4,3)，∴cosα＝－eq\f(3,5)，∴coseq\f(α,2)＝－eq\r(\f(1＋cosα,2))＝－eq\f(\r(5),5).答案：－eq\f(\r(5),5)三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)化简：sin50°(1＋eq\r(3)tan10°)．解析：原式＝sin50°(1＋eq\f(\r(3)sin10°,cos10°))＝sin50°·eq\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°)＝sin50°·eq\f(2\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°,cos10°)＝sin50°·eq\f(2sin30°·cos10°＋cos30°·sin10°,cos10°)＝cos40°·eq\f(2sin40°,cos10°)＝eq\f(sin80°,cos10°)＝eq\f(cos10°,cos10°)＝1.18．(12分)已知tan(eq\f(π,4)＋α)＝2，tanβ＝eq\f(1,2).(1)求tanα的值；(2)求eq\f(sinα＋β－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cosα＋β)的值．解析：(1)解法一∵tan(eq\f(π,4)＋α)＝2，∴eq\f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝2.∴eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2.解得tanα＝eq\f(1,3).解法二∵tan(eq\f(π,4)＋α)＝2，∴tanα＝tan[(eq\f(π,4)＋α)－eq\f(π,4)]＝eq\f(tan\f(π,4)＋α－tan\f(π,4),1＋tan\f(π,4)＋αtan\f(π,4))＝eq\f(2－1,1＋2×1)＝eq\f(1,3).(2)eq\f(sinα＋β－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cosα＋β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ)＝eq\f(cosαsinβ－sinαcosβ,cosαcosβ＋sinαsinβ)＝eq\f(sinβ－α,cosβ－α)＝tan(β－α)＝eq\f(tanβ－tanα,1＋tanβtanα)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq\f(1,7).19．(12分)已知函数f(x)＝cos2x＋2eq\r(3)sinxcosx－sin2x.(1)当x∈[0，eq\f(π,2)]时，求f(x)的值域；(2)若f(θ)＝eq\f(6,5)，且eq\f(π,6)＜θ＜eq\f(2π,3)，求cos2θ的值．解析：(1)f(x)＝cos2x＋eq\r(3)sin2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))，∵x∈[0，eq\f(π,2)]，∴eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6)，∴－eq\f(1,2)≤sin(2x＋eq\f(π,6))≤1，∴当x∈[0，eq\f(π,2)]时，f(x)的值域为[－1,2]．(2)∵f(θ)＝eq\f(6,5)，∴sin(2θ＋eq\f(π,6))＝eq\f(3,5).∵eq\f(π,6)＜θ＜eq\f(2π,3)，∴eq\f(π,2)＜2θ＋eq\f(π,6)＜eq\f(3π,2)，∴cos(2θ＋eq\f(π,6))＝－eq\f(4,5)，∴cos2θ＝cos[(2θ＋eq\f(π,6))－eq\f(π,6)]＝cos(2θ＋eq\f(π,6))coseq\f(π,6)＋sin(2θ＋eq\f(π,6))sineq\f(π,6)＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3－4\r(3),10).20．(12分)已知在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\f(1,5).(1)求sinAcosA的值；(2)推断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求sinA－cosA的值．解析：(1)∵sinA＋cosA＝eq\f(1,5)，两边平方得1＋2sinAcosA＝eq\f(1,25)，∴sinAcosA＝－eq\f(12,25).(2)由(1)sinAcosA＝－eq\f(12,25)＜0，且0＜A＜π，可知cosA＜0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．(3)(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝eq\f(49,25)，由(2)知sinA－cosA＞0，∴sinA－cosA＝eq\f(7,5).21．(13分)已知0＜α＜eq\f(π,4)，β为f(x)＝cos(2x＋eq\f(π,8))的最小正周期，a＝(tan(α＋eq\f(1,4)β)，－1)，b＝(cosα，2)，且a·b＝m.求eq\f(2cos2α＋sin2α＋β,cosα－sinα)的值．解析：∵β为f(x)＝cos(2x＋eq\f(π,8))的最小正周期，故β＝π，∵a·b＝m.又a·b＝cosα·tan(α＋eq\f(1,4)β)－2，∴cosαtan(α＋eq\f(π,4))＝m＋2，由于0＜α＜eq\f(π,4)，所以eq\f(2cos2α＋sin2α＋β,cosα－sinα)＝eq\f(2cos2α＋sin2α＋2π,cosα－sinα)＝eq\f(2cos2α＋sin2α,cosα－sinα)＝eq\f(2cosαcosα＋sinα,cosα－sinα)＝2cosα·eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2cosαtan(α＋eq\f(π,4))＝2(2＋m)．22．(13分)已知函数f(x)＝4eq\r(3)cos2ωx＋2sin2ωx－eq\r(3)(ω＞0)在半个周期内的图像如图所示，H为图像的最高点，E，F是图像与直线y＝eq\r(3)的交点，且eq\o(EH,\s\up12(→))·eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\o(EH,\s\up12(→))2.(1)求实数ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)＝eq\f(3\r(3),5)，且x0∈(－eq\f(10,3)，－eq\f(2,3))，求f(x0＋2)－eq\r(3)的值．解析：(1)由题意，得f(x)＝2eq\r(3)cos2ωx＋2sin2ωx＋eq\r(3)＝4sin(2ωx＋eq\f(π,3))＋eq\r(3).因为eq\o(EH,\s\up12(→))·eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq