2024-2025学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式一课一练含解析新人教A版必修第一册

PAGE1-其次章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式考点1基本不等式的理解1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()。A.a2+b2>2ab B.a+b≥2abC.1a+1b>2ab D.ba答案：D解析：当a=b时,A不成立;当a<0,b<0时,B,C都不成立,故选D。2.(2024·广东佛山第一中学高一下学期期中)设正实数a,b满意a+b=1,则()。A.1a+1b有最大值4 B.abC.a+b有最大值2 D.a2+b2有最小值2答案：C解析：对于A,1a+1b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4,当且仅当ba=ab且a+b=1,即对于B,由不等式得ab≤a+b2=12,当且仅当a=b=12时等号成立,∴ab的最大值为对于C,由不等式可得a+b≤2(a)2+(b)22=2a+b2=2,当且仅当a=b=1对于D,由不等式可得a2+b2≥2a+b22=12,当且仅当a=b=12时等号成立,∴a2+b2有最小值13.已知正数a,b满意ab=10,则a+b的最小值是()。A.10 B.25 C.5 D.210答案：D解析：a+b≥2ab=210,当且仅当a=b=10时等号成立,故选D。4.(2024·四川成都高一下学期期中)已知正数a,b满意a2+b2=1,则ab的最大值为()。A.1 B.22 C.12 答案：C解析：已知正数a,b满意a2+b2=1,则ab≤a2+b22=12,当且仅当a=5.假如正数a,b,c,d满意a+b=cd=4,那么()。A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一答案：A解析：∵a+b≥2ab,∴ab≤a+b22=4,当且仅当a=b=2时取等号。∵c+d≥2cd,∴c+d≥2cd=4,当且仅当c故c+d≥ab,当且仅当a=b=c=d=2时取等号。考点2利用基本不等式比较大小6.若0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2ab,2ab,a2+b2中最大的一个是()。A.a2+b2 B.2abC.2ab D.a+b答案：D解析：方法一:∵0<a<1,0<b<1且a≠b,∴a2+b2>2ab,a+b>2ab,a>a2,b>b2,∴a+b>a2+b2,故选D。方法二:取a=12,b=13,则a2+b2=1336,2ab=63,2ab=13,a+b=7.设0<a<b,且a+b=1,在下列四个数中最大的是()。A.12 B.b C.2ab D.a2+b答案：B解析：∵0<a<b,∴ab<a+b22,∴ab<14,∴∵a2+b22>a+b2>0,∴a2+b2∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b最大。8.已知a>b>c,则(a-b)(b答案：(a-b解析：∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴a-c2=(a-b)+(b-c)2≥(a-b)(考点3利用基本不等式求最值之无条件求最值9.已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为()。A.13 B.12 C.34答案：B解析：由x(3-3x)=13×3x(3-3x)≤13×94=34,当且仅当3x=3-3x,即10.函数y=3x2+6x2+1的最小值是(A.32-3 C.62 D.62-3答案：D解析：y=3(x2+1)+6x2+1-3≥23(x2+1)·6x2+1-3=218-3=6211.若xy是正数,则x+12y2+yA.3 B.72 C.4 D.答案：C解析：x+12y2+y+12x2=x2+y2+141x当且仅当x=y=22或x=y=-212.(2024·上海青浦一中高一上学期期中)设x>0,则x2+x答案：23-1 解析：由x>0,可得x+1>1。可令t=x+1(t>1),即x=t-1,则x2+x+3x+1=(t-1)2+t-1+3t=t+3t-1≥2考点4利用基本不等式求最值之有条件求最值13.(2024·湖北天门、仙桃、潜江高一下学期期末联考)设a,b∈R,a2+b2=k(k为常数),且1a2+1+4b2+1的最小值为1,则A.1 B.4 C.7 D.9答案：C解析：由题得a2+1+b2+1=k+2,∴1a2+1+4b2+1=1a2+1+4b2+1k14.(2024·安徽淮北二模)已知正数x,y满意x+2y-2xy=0,那么2x+y的最小值是。

答案：9解析：依据题意,若x+2y-2xy=0,则12y+1故2x+y=(2x+y)12y+1x=52+xy+yx≥52+2yx·xy=92,当且仅当x=y15.(上海高考)若实数x,y满意xy=1,则x2+2y2的最小值为。

答案：22解析：x2+2y2≥2x2·2y2=22·(xy)2=22,当且仅当x2考点5利用基本不等式求解实际应用题16.某工厂第一年产量为A,其次年产量的增长率为a,第三年产量的增长率为b,这两年产量的平均增长率为x,则()。A.x=a+b2 B.C.x>a+b2 D.答案：B解析：∵这两年产量的平均增长率为x,∴A(1+x)2=A(1+a)·(1+b),∴(1+x)2=(1+a)(1+b),a>0,b>0。∴1+x=(1+a)(1+b∴x≤a+b2,等号在1+a=1+b,即a=b17.某金店用一台不精确的天平(两边臂长不相等)称黄金,某顾客要购买10g黄金,售货员先将5g的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客,然后又将5g的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金()。A.大于10g B.小于10gC.大于等于10g D.小于等于10g答案：A解析：设左、右两臂长分别为b,a,两次放入的黄金的克数分别为x,y,依题意有ax=5b,by=5a,∴xy=25。∵x+y2≥xy,∴x+y≥10,当且仅当x=又a≠b,∴x≠y。∴x+y>10,即两次所得黄金大于10g,故选A。18.(2024·四川眉山一中高二月考)一艘轮船在航行中的燃油费和它的速度的立方成正比,已知在速度为10km/h时的燃油费是每小时6元,其他与速度无关的费用是每小时96元,则行驶每千米的费用总和最小时,该轮船的航行速度为km/h。

答案：20解析：设速度为vkm/h,则每千米费用总和y=kv3+96v,又k×103=6,∴∴y=3500v2+96v=3500v2+48v+48v≥当且仅当3500v2=48v,即v=20时取等号。故答案为19.某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运,依据市场分析每辆客车的运营总利润y(单位:十万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系,其图像如图2-2-1所示。若使营运的年平均利润最大,则每辆客车应营运年。

图2-2-1答案：5解析：由题意得二次函数图像的顶点坐标为(6,11),设二次函数的解析式为y=a(x-6)2+11,由题意得点(4,7)在函数图像上,∴7=a(4-6)2+11,解得a=-1。∴y=-(x-6)2+11=-x2+12x-25。∴年平均利润为yx=-x-25x+12=12-x+25x≤12-2x·25x=2,当且仅当∴当x=5时,yx有最大值2即要使营运的年平均利润最大,则每辆客车应营运5年。20.(2024·安徽蚌埠高一下学期期末)某农业科研单位准备开发一个生态渔业养殖项目,准备购置一块1800m2的矩形地块,中间挖三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(如图2-2-2中阴影部分所示)种植桑树,鱼塘四周的基围宽均为2m,如图2-2-2所示,池塘所占面积为Sm2,其中a∶b=1∶2。图2-2-2(1)试用x,y表示S;答案：由题意得xy=1800,b=2a,则y=a+b+6=3a+6,S=a(x-4)+b(x-6)=a(x-4)+2a(x-6)=(3x-16)a=(3x-16)×y-63=xy-6x-163y+32=1832-6x其中x∈(6,300),y∈(6,300)。(2)若要使S最大,则x,y的值分别为多少?答案：由(1)可知,x∈(6,300),y∈(6,300),xy=1800,6x+163y≥26x·当且仅当6x=163y时等号成立∴S=1832-6x-163y≤1832-480=1此时9x=8y,xy=1800,解得x=40,y=45。故要使S最大,x,y的值分别为40,45。考点6利用基本不等式求解恒成立问题21.已知x>0,y>0,x+2y=1。若2x+1y>m2+3m+4恒成立,则实数m的取值范围是(A.(-∞,-4]∪[-1,+∞)B.(-∞,-1]∪[4,+∞)C.(-4,1)D.(-1,4)答案：C解析：2x+1y×1=2x+1y(x即m2+3m+4<8恒成立,m2+3m-4<0的解集为(-4,1)。故选C。22.当x>0时,不等式x2+mx+4>0恒成立,则实数m的取值范围是。

答案：(-4,+∞)解析：∵x>0,不等式x2+mx+4>0可化为-m<x+4x,而当x>0时,x+4x≥2x·4x=4,当且仅当x=4x,即x=2时等号成立,∴x+4x的最小值为4。∴-m<4,即23.已知不等式(x+y)1x+ay≥9对随意正实数x,y恒成立,则正实数答案：4解析：∵a>0,∴(x+y)1x+ay=1+a+yx+xay≥1+a+2a,由条件知a+2a+124.(2024·安徽亳州蒙城一中高三月考)设a>0,若对于随意的正数m,n,都有m+n=8,则满意1a≤1m+4n+1的答案：[1,+∞)解析：由m+n=8可得m+n+1=9,故1m+4n+1=19(m+n+1)·1m+4n+1=191+4+n+1m+4mn+1≥19×(5+24)=99=1,当且仅当n+1=2m,m+25.设正数x,y满意x+y≤a·x+y恒成立,则a的最小值是答案：2解析：由已知知a≥x+yx+ymax∴x+y≤2·x+y,∴x+yx+y26.(2024·山东济宁微山一中、邹城一中高二下学期期中)已知a>0,b>0。(1)求证:a2b+b2a≥答案：证明:∵a>0,b>0,∴a2b+b2a+a+b=a2b+b当且仅当a=b时等号成立,∴a2b+b2a≥a+b(当且仅当a=(2)利用(1)的结论,试求函数y=(1-x)2x答案：解:由于0<x<1,可将1-x看作(1)中的a,x看作(1)中的b。依据(1)的结论,则有y=(1-x)2x+x当且仅当1-x=x,即x=12时,等号成立∴所求函数y=(1-x)227.(2024·陕西西安