专题02 直线与圆的方程（5考点串讲+7热考题型）（高教版2021·基础模块下册）（解析版）

专题02直线与圆的方程考点串讲考点串讲考点一、距离与中点坐标公式（1）数轴上两点间距离公式数轴上点A的坐标为，点B的坐标为，则A，B两点间的距离为：．（2）平面上两点间距离公式在平面直角坐标系中，两点，之间的距离公式为：.（3）线段中点坐标公式若点A，B的坐标分别为，，线段AB的中点M的坐标为：.考点二、直线的方程（1）直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为．直线的斜率：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即．当直线平行于x轴或者与x轴重合时k＝0；当直线的倾斜角为锐角时k>0；当直线的倾斜角为钝角时k<0；倾斜角为90°的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．经过两点，()的直线的斜率公式为：．（2）直线方程的几种形式名称方程适用范围点斜式存在斜截式存在截距式且一般式(A，B不同时为0)平面直角坐标系内的所有直线截距：直线l与x轴交点(a，0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距（注：截距不是距离）．考点三、两条直线的位置关系（1）两条直线的位置关系平行：对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有，特别地，当直线，的斜率都不存在时，与的关系为（注：两直线平行则倾斜角相等，可能没有斜率）.垂直：如果两条直线，的斜率都存在，且分别为，，则有，特别地，若直线：，直线：，则与的关系为．另有结论：设，则；；与重合；与相交.（2）两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组，若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行．（3）距离公式点到直线的距离公式：点到直线：的距离．两条平行直线间的距离公式：两条平行直线：（）和：（）间的距离.考点四、圆（1）圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．（2）圆的标准方程与一般方程圆的标准方程：方程叫做以点为圆心，为半径长的圆的标准方程．圆的一般方程：方程叫做圆的一般方程．注：将上述一般方程配方得，此为该一般方程对应的标准方程，表示的是以为圆心，为半径长的圆．（3）点与圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有：若点在圆上若点在圆外若点在圆内考点五、直线与圆的位置关系位置关系图示公共点个数几何特征代数特征(解的个数)相离0无实数解相切1两组相同实数解相交2两组不同实数解常用结论：计算直线被圆截得的弦长为的方法：热考题型热考题型类型一、求两点间的距离、中点坐标【例1】已知点，则线段AB的中点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得：线段AB的中点坐标为，即.故选：A.【例2】已知的顶点分别为，，，则AB边上的中线长为．【答案】【解析】由已知，，设AB的中点为D，AB的中点D坐标为，.故答案为：.【变式1】已知线段的端点及中点，则点的坐标（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，的端点及中点，则，解得：，故点的坐标为，故选：B.【变式2】若点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】线段的中点为，设，所以，所以.故选：A.类型二、求直线的倾斜角、斜率【例1】过，两点的直线的倾斜角是（

）A．45 B．60° C．120° D．135°【答案】D【解析】由已知直线的斜率为，，所以倾斜角.故选：D.【例2】常值函数所表示直线的斜率为．【答案】0【解析】表示的直线平行于x轴，倾斜角为0°，故斜率为tan0°=0.故答案为：0．【变式1】直线的倾斜角为______．【答案】【解析】直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，，则，所以.故答案为：.【变式2】如图，已知直线，，的斜率分别为，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题图知直线的倾斜角为钝角，∴，又直线，的倾斜角均为锐角，且直线的倾斜角较大，∴，∴，故选：D.类型三、求直线方程【例1】已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.故选：C.【例2】已知直线过点，，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由直线的两点式方程可得，直线l的方程为，即．故选：C．【例3】倾斜角为，在轴上的截距为的直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由倾斜角为可知所求直线的斜率为，由直线的斜截式方程可得.故选：B.【变式1】已知直线过点，，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由直线的两点式方程可得，直线l的方程为，即．故选：C．【变式2】经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线方程为____________．【答案】x＋5y－27＝0【解析】由两点式得直线方程为eq\f(y－6,5－6)＝eq\f(x＋3,2＋3)，即x＋5y－27＝0.故答案为：x＋5y－27＝0.【变式3】直线在轴上的截距为5，斜率为2，则该直线方程为.【答案】【解析】直线方程为即.故答案为：.类型四、直线过定点、点到直线的距离【例1】直线恒过点（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为直线所以由直线的点斜式方程可得直线恒过点.故选：C.【例2】点到直线的距离是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】点到直线的距离为：,故选：B.【变式1】直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标是（

）A．(－2，3) B．(2，3) C．(3，－2) D．(3，2)【答案】B【解析】将直线方程化为点斜式得y－3＝k(x－2)，所以该直线过定点(2，3).故选：B.【变式2】已知，两点到直线l：的距离相等，则（

）A．或 B．或4 C．2或4 D．或【答案】A【解析】由题意得，解得或.故选：A.类型五、两直线的位置关系【例1】已知直线，．若，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由题意得，，解得.经验证符合题意.故选：D.【例2】已知直线：与：，则这两条直线的位置关系是（）A．重合 B．平行 C．垂直 D．不能确定【答案】C【解析】因为直线：的斜率为：，直线：的斜率为，所以，所以这两条直线的位置关系是垂直，故选：C.【变式1】若直线：与直线：互相平行，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】若直线：与直线：互相平行，，解得.故选：A．【变式2】已知直线与互相垂直，则（

）A． B． C．1 D．1或【答案】C【解析】因为直线与互相垂直，所以，解得.故选：C.类型六、圆的方程问题【例1】圆的圆心坐标和半径分别为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】由于圆，所以其圆心坐标为，即；半径为.故选：A.【例2】圆心为且过原点的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圆心为且过原点的圆的半径为，故圆心为且过原点的圆的圆的方程为.故选：C．【变式1】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为.故选：B.【变式2】以两点和为直径端点的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意可得，圆心为线段的中点，半径为，故要求的圆的方程为.故选：B.类型七、直线和圆的位置关系、求圆的弦长【例1】直线与圆相切，则（

）A．3 B． C．或1 D．3或【答案】D【解析】圆的圆心坐标为，半径为，又直线与圆相切，则，解之得或.故选：D．【例2】直线与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切【答案】A【解析】因为直线恒过定点，而，所以定点在圆内，所以直线与圆相交.故选：A.【例3】经过点且斜率为的直线与圆：相交于，两点，若，则的值为.【答案】或【解析】由已知条件得，设直线的方程为，圆：的圆心为，半径为，由勾股定理得圆心到直线的距离为，即圆心为到直线的距离为：，解得或.故答案为：或.【变式1】直线与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定【答案】B【解析】圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切.故选：B.【变式2】圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+