高中数学选修2-3课件2：3-1 回归分析的基本思想及其初步应用

§3.1回归分析的思想及其初步应用（2）高中数学选修2-3·精品课件第三章统计案例复习回顾1、线性回归模型：y=bx+a+e,其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差.

3、

4.相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：

R21，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差.例2.一只红铃虫的产卵数y和温度x有关.现收集了7组观测数据列于表中：（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目.（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？温度xoC21232527293235产卵数y/个711212466115325非线性回归问题

解：选取气温为解释变量x，产卵数为预报变量y.假设线性回归方程为：ŷ=bx+a,由计算得：线性回归方程为y=19.87x-463.73,相关指数R2=r2≈0.8642=0.7464,当x=28时，y=19.87×28-463.73≈93.所以，二次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化.050100150200250300350036912151821242730333639方案1：一元线性模型问题探究.

93>66?模型不好？问题1：选用y=bx2+a，还是y=bx2+cx+a

？

产卵数气温问题2：如何求a、b？方案2:二次函数模型问题探究问题3：函数y=bx2+a?y=bt+a方案2解答平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a温度21232527293235温度的平方t44152962572984110241225产卵数y/个711212466115325作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.543，相关指数R2=0.802将t=x2代入线性回归方程得：

y=0.367x2-202.543当x=28时，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函数模型中温度解释了80.2%的产卵数变化.t方案2解答

变换

y=bx+a

问题2：非线性关系线性关系问题1：如何选取指数函数的底?产卵数气温方案3:指数函数模型对数

变换

y=bx+a

问题2：非线性关系线性关系问题1：如何选取指数函数的底?产卵数气温方案3:指数函数模型对数方案3解答温度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784产卵数y/个711212466115325

计算得：z关于x的线性回归方程为相关指数R2=0.98当x=28oC

时，y≈44

，指数回归模型中温度解释了98.5%的产卵数的变化.xz计算得：z关于x的线性回归方程为相关指数R2=0.98当x=28oC

时，y≈44

，指数回归模型中温度解释了98.5%的产卵数的变化.xz

产卵数气温产卵数气温线性模型二次函数模型指数函数模型最好的模型是哪个?模型比较函数模型相关指数R2线性回归模型0.7464二次函数模型0.80指数函数模型0.98回归分析则回归方程的残差计算公式分别为：由计算可得：x21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968因此模型（1）的拟合效果远远优于模型（2）回归分析则回归方程的残差计算公式分别为：由计算可得：x21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968因此模型（1）的拟合效果远远优于模型（2）

例3.下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．

解：(1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1、c2为待定的参数．

(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝lny，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a，(a＝lnc1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝lny，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a，(a＝lnc1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784yi7112124661153256.44311.10119.12532.95056.770128.381290.3250.557－0.1011.875－8.9509.23－13.38134.675(3)当x＝40时，y＝e0.272x－3.849≈1131.

巩固练习天数x/天

1

2

34

56繁殖个数y/个

6

12

25

49

95190

（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；

（2）描述解释变量与预报变量之间的关系；（3）计算残差、相关指数R2.为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：解：（1）散点图如图所示

x123456Z1.792.483.223.894.555.25由计数器算得，则有（3）6.0612.0924.0948.0495.77190.9y612254995190即解释变量天数对预报变量繁殖细菌得个数解释了99.99%.解决非线性回归问题的方法及步骤(1)确定变量：确定解释变量为x，预报变量为y；(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型；(3)变量置换：通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题；(4)分析拟合效果：通过计算相关指数等来判断拟合效果；(5)写出非线性回归方程．课堂小结

x123456Z1.792.483.223.894.555.25由计数器算得，则有巩固练习天数x/天

1

2

34

56繁殖个数y/个

6

12

25

49

95190

（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；

（2）描述解释变量与预报变量之间的关系；（3）计算残差、相关指数R2.为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.543，相关指数R2=0.802将t=x2代入线性回归方程得：

y=0.367x2-202.543当x=28时，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函数模型中温度解释了80.2%的产卵数变化.t方案2解答问题1：选用y=bx2+a，还是y=bx2+cx+a

？

产卵数气温问题2：如何求a、b？方案2:二次函数模型问题探究问题3：函数y=bx2+a?y=bt+a复习回顾1、线性回归模型：y=bx+a+e,其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差.

3、

解：选取气温为解释变量x，产卵数为预报变量y.假设线性回归方程为：ŷ=bx+a,由计算得：线性回归方程为y=19.87x-463.73,相关指数R2=r2≈0.8642=0.7464,当x=28时，y=19.87×28-463.73≈93.所以，二次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化.050100150200250300350036912151821242730333639方案1：一元线性模型问题探究.

93>66?模型不好？作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.543，相关指数R2=0.802将t=x2代入线性回归方程得：

y=0.367x2-202.543当x=28时，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函数模型中温度解释了80.2%的产卵数变化.t方案2解答问题1：选用y=bx2+a，还是y=bx2+cx+a

？

产卵数气温问题2：如何求a、b？方案2:二次函数模型问题探究问题3：函数y=bx2+a?y=bt+a例2.一