2.2二项分布及其应用

二项发布及其应用复习互斥事件:不可能同时发生的两个事件如果事件A1,A2,…,An,中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1,A2,…,An,彼此互斥.那么＝对立事件:必然有一个发生的互斥事件

问题(1)：甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B：乙掷一枚硬币，正面朝上.事件A、B是否互斥？事件A、B可以同时发生吗？事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率有无影响？（不互斥）（可以）（无影响）问题(2)：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B：从乙坛子里摸出1个球，得到白球.事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率有无影响？事件A、B是否互斥？事件A、B可以同时发生吗？（不互斥）（可以）（无影响）思考：三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，事件A的发生会影响事件B发生的概率吗?事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”。事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，即事件A的发生不会影响事件B

发生的概率．事件AB是什么？事件A,B同时发生，简称积事件问题(2)中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，即事件A，B同时发生，记作A·B.∵P(AB)=(3×2)/(5×4)=3/10,P(A)P(B)=(3/5)×(2/4)=3/10；于是：P(AB)=P(A)·P(B)相互独立事件的定义设A，B为两个事件，如果：P(AB)=P(A)P(B)则称事件A与事件B相互独立.事实上，事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立.一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1·A2…An)=P(A1)·P(A2)…P(An)练习判断下列事件是否为相互独立事件.①

篮球比赛“罚球两次”中，事件A：第一次罚球，球进了.

事件B：第二次罚球，球进了.②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.

事件A：第一次从中任取一个球是白球.

事件B：第二次从中任取一个球是白球.是不是是③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.

事件A：第一次从中任取一个球是白球.

事件B：第二次从中任取一个球是白球.练习判断下列各对事件的关系：（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与乙射中8环；互斥相互独立练习:已知A、B、C相互独立，试用数学符号语言表示下列关系①A、B、C同时发生概率；②A、B、C都不发生的概率；③A、B、C中恰有一个发生的概率；④A、B、C中恰有两个发生的概率；⑤A、B、C中至少有一个发生的概率；例1.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：

(1)都抽到某一指定号码；记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB。解:(1)P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.0025由于两次的抽奖结果是互不影响的,因此A和B相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为:例1.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,求两次抽奖中以下事件的概率

(2)恰有一次抽到某一指定号码；所求的概率为：解:“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用表示。由于事件与互斥，例1.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：

(3)至少有一次抽到某一指定号码．所求的概率为：由于事件两两互斥，另解：(逆向思考)至少有一次抽中的概率为解:“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用表示。例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；，解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A，乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与,与B,与，A与B，为相互独立事件;(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率？例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：或“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件或:“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”,例题讲解例3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率.解：分别记这段时间内开关JA,JB,JC，能够闭合为事件A，B，C由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响;这段时间内3个开关都不能闭合的概率是．正常工作的概率是例题讲解练习1.如图，添加第四个开关JD与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率.

P=例题讲解练习2.如图，两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率.P=或:正常工作只要排除JC开且JA与JB至少有1个开的情况.例4.已知某种高炮在它控制区域内击中敌机的概率为0.2

(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；被击中的就是至少有1门高炮击中敌机.解:(1)设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak(k=1,2,3,4,5)那么5门高炮都未击中敌机的事件为∵事件A1,A2,A3,A4,A5相互独立,∴敌机未被击中的概率为=

(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？例4.已知某种高炮在它控制区域内击中敌机的概率为0.2至少需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中，敌机被击中的概率为1-，∴n=11互斥事件相互独立事件

不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.如果事件A(或B)是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件P(A∪B)=P(A)+P(B)P（AB）=P(A)P(B)互斥事件A、B中有一个发生，相互独立事件A、B同时发生,计算公式

符号概念记作:A∪B(或A+B)记作:AB互斥事件、相互独立事件的对比课堂练习

1．在一段时间内，甲去某地的概率是1/4，乙去此地的概率是1/5，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是()练习：A3/20B1/5C2/5D9/20C

2．从甲口袋内摸出1个白球的概率是1/3，从乙口袋内摸出1个白球的概率是1/2，从两个口袋内各摸出1个球，那么5/6等于（）

A2个球都是白球的概率

B2个球都不是白球的概率

C2个球不都是白球的概率

D2个球中恰好有1个是白球的概率C练习3若甲以10发8中，乙以10发7中的命中率打靶，两人各射击一次，则他们都中靶的概率是()(A)(B)(D)(C)练习4某产品的制作需三道工序，设这三道工序出现次品的概率分别是P1,P2,P3。假设三道工序互不影响，则制作出来的产品是正品的概率是

D(1－P1)(1－P2)(1－P3)练习5甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是P1,乙解决这个问题的概率是P2，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是多少？P1(1－P2)+(1－P1)P2+P1P2=P1+P2－P1P2课堂练习练习7某道路的A、B、C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是（）A35/192B25/192C35/192D65/192练习6电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是:()A0.128B0.096C0.104D0.384BA⑵甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是

．练习8⑴将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是

；1/320.56练习9棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6;（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为

；此穴无壮苗的概率为

．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为

；此穴有壮苗的概率为

.0.010.160.9990.936练习10一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.(P=)课堂练习()练习11制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？(P=)练习12甲袋中有8个白球和4个红球；乙袋中有6个白球和6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？课堂小结相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的.课堂练习独立重复试验与二项分布复习互斥事件:不可能同时发生的两个事件如果事件A1,A2,…,An,中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1,A2,…,An,彼此互斥.那么＝对立事件:必然有一个发生的互斥事件课堂练习相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.，若A与B是相互独立事件，则A与，与B,与也相互独立：相互独立事件同时发生的概率：一般地，如果事件A1,A2,…,An,相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.

独立重复试验定义：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验结果的影响独立重复试验的基本特征：1、每次试验是在同样条件下进行；2、每次试验都只有两种结果:发生与不发生；3、各次试验中的事件是相互独立的；4、每次试验,某事件发生的概率是相同的。不是是不是是判断下列试验是不是独立重复试验：1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上;2).某射击手每次击中目标的概率是0.9，他进行了4

次射击，只命中一次；3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次抽取5

个球,恰好抽出4个白球;4).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回的抽取5个球,恰好抽出4个白球独立重复试验的实际原型是有放回的抽样试验

则针尖向下的概率为q=1-p.投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验；用Ai(i=1,2,3)表示“第i次掷得针尖向上”，B1表示事件“仅出现1次针尖朝上”，则：B1=事件之间彼此互斥=q2p+q2p+q2p=3q2p.P(B1)=因此，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是3q2p。用Bk

(k=0,1,2,3)表示事件“连续一枚掷图钉3次，出现1次针尖朝上”，如果连续掷3次图钉，恰有k(k=0,1,2,3)次针尖向上的概率是多少？有什么规律吗？类似于前面的讨论，有：P(B0)==q3.P(B1)==3q2pP(B2)==3qp2P(B3)==p3.研究上述等式，可以发现，P(Bk)=（k＝0,1,2,3）二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则：记作X~B(n,p)，并称p为成功概率。（k＝0,1,2,…，n）此时称随机变量X服从二项分布，恰好是二项展开式中的各项的值，所以这个发布称为二项分布；（其中k=0，1，2，···，n）试验总次数事件A发生的次数一次试验中事件A发生的概率二项分布与两点分布有什么联系？二点分布是一种特殊的二项分布，即为n=1时的二项分布例1.某射手每次射击击中目标的概率是0.8.求这名射手在10次射击中。(1)恰有8次击中目标的概率；(2)至少有8次击中目标的概率.(结果保留两个有效数字)解：设X为击中目标的次数，则X~B(10,0.8)(1)在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为:(2)在10次射击中，至少有8次击中目标的概率为:练习

某射手射击1次，击中目标的概率是0.8，现连续射击3次.⑴第一次命中，后面两次不中的概率；⑵恰有一次命中的概率;⑶恰有两次命中的概率.∴=0.032∴恰有一次命中的事件的概率∴恰有两次命中的事件的概率例2．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布． 解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，P(ξ=0)=C20(95%)2=0.9025，P(ξ=1)=C21(5%)(95%)=0.095，P(ξ=2)=C22(5%)2=0.0025．因此，次品数ξ的概率分布是ξ012P0.90250.0950.0025例3．重复抛掷一枚骰子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．解：依题意，随机变量ξ～B(5,1/6)．∴P(ξ=4)==25/7776，P(ξ=5)==1/7776．∴P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=13/3888例4．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率.解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A．预报5次相当于5次独立重复试验，5次预报中恰有4次准确的概率:

.（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即例5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是1/4，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的